高數(shù)下冊各章總復(fù)習(xí)題及答案

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)：（1）在點(diǎn)可微分是在該點(diǎn)連續(xù)的充 分條件；在點(diǎn)連續(xù)是在該點(diǎn)可微分的必 要條件。（2）在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存在是在該點(diǎn)可微分的必 要條件；在點(diǎn)可微分是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存的充 分條件。（3）的偏導(dǎo)數(shù)及點(diǎn)存在且連續(xù)是在該點(diǎn)可微分的充 分條件。 （4）函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的充 分條件。8.02求函數(shù)的定義域，并求。解：1)，定義域： 2)由初等函數(shù)的連續(xù)性知：8.03 證明極限不存在。證明：當(dāng)點(diǎn)沿用趨于點(diǎn)時(shí)，有 ，顯然它是隨著的不同而改變的， 故：

2、極限不存在。8.04 設(shè) 求 及 解：1) 當(dāng)時(shí)，2) 當(dāng)時(shí)， ，故： ，故： 于是：8.05求下列函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)：（1）；解： ，（2）.解：8.06 求函數(shù)當(dāng)時(shí)的全增量和全微分。解：1) ，8.07設(shè)；證明：在點(diǎn)0處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分.證明：1) ，于是： 即： ; 即： 在點(diǎn)連續(xù) , 即：在處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 3) 假設(shè)在點(diǎn)處可微，則有： 又 書中18頁已證明：不存在，故(*)式在時(shí)極限不存在， 即：不能表示為的高階無窮小， 于是，在處不可微分。8.08設(shè)，而都是可微函數(shù)，求.解：8.09設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而；求。解：8.10設(shè)，其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求. 解：8.1

3、1設(shè).試求和.解：將兩邊同時(shí)對,y求偏導(dǎo)數(shù) 將兩邊同時(shí)對,求偏導(dǎo)數(shù) 聯(lián)立式得： 于是: 8.12求螺旋線在點(diǎn)處的切線法平面方程.解： 切線方程：，即： 法平面方程：，即：8.13 在曲面上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面，并寫出這法線的方程.解：曲面在點(diǎn)處的法線向量為： 平面的法向量為： 當(dāng)時(shí),曲面在點(diǎn)處的法線垂直于平面,此時(shí), , , 于是,點(diǎn)即為所求, 此時(shí),所求法線方程為: 8.13 設(shè)x 軸正向到方向的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)。并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有：（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0。解：, 于是,函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為: 當(dāng)時(shí),有最大值;時(shí),有最小值;或時(shí),

4、.8.15求函數(shù)在橢球面上點(diǎn)處沿外法線的方向?qū)?shù).解: 橢球面上點(diǎn)處的法線向量為: , 其方向余弦為: , , 于是,函數(shù)在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)為: (因在橢圓球面上)8.16求平面和柱面的交線上與平面距離最短的點(diǎn).解：平面與柱面的交線到面上的最短距離為函數(shù)的條件下的最小值 ,作函數(shù)： 令: 解得條件駐點(diǎn),最小值。 于是點(diǎn)即為所求。8.17 在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小。求這切面的切點(diǎn)，并求此最小體積。解：設(shè)為橢球面上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)。 橢球面在處的法向量為： 切平面為： 即： 切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為，該四面體體積為： 又因點(diǎn)在橢球面上 , 當(dāng)

5、且僅當(dāng)時(shí)等號成立。 于是： （當(dāng)時(shí)等號成立）。 于是：, 當(dāng)時(shí)等號成立。 故當(dāng)平面的切點(diǎn)為時(shí),切平面與坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小,為。第九章 重積分9.01計(jì)算下列二重積分：（1），其中D是頂點(diǎn)分別為（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形閉區(qū)域；y=x+121Dxx01解：區(qū)域D: y=sinx01x(2) 其中D是閉區(qū)域：；D解：x2+y2=Rx0Rxy（3） ，其中D是圓周所圍成的閉區(qū)域；D解：（4） ，其中D是閉區(qū)域： 解：區(qū)域D: 9.02 交換下列二次積分的順序：2x-20Dyy=2x+44（1） 解：（2） 解：xy0231D y1D1（3） D201x2解： 其

6、中 0aDyxy=xa9.03 證明:證明: ，證 畢 。D10y=11yxy=x2D3D21-19.04 把積分表為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中積分區(qū)域D是，解：曲線的極坐標(biāo)方程：曲線的極坐標(biāo)方程：區(qū)域D在極坐標(biāo)系下有：其中:xyzo9.05把積分化為三次積分，其中積分域是由曲面，及平面y=1,z=0所圍成的閉區(qū)域解：區(qū)域在xOy面投影為Dxy它由拋物線與圍成9.06計(jì)算下列三重積分：（1）,其中是兩個(gè)球：和（R>0）的公共部分。解：（2）,其中是由球面所圍成的閉區(qū)域。解：區(qū)域：關(guān)于坐標(biāo)面均對稱（特別就平面） 而被積函數(shù)關(guān)于z為奇函數(shù)（3），其中是由xOy平面上曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與

7、平面x=5所圍成的閉區(qū)域。解：區(qū)域：50yxz xy0baDxy9.07 求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積。 解：由已知得x0D-RRy0y9.08在均勻的半徑為的半圓薄片的直徑上，要接一個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片，為了使整個(gè)均勻薄片的重心恰好落在圓心上，問接上去的均勻薄片另一邊的長度應(yīng)是多少？解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系 整個(gè)均勻薄片所在區(qū)域關(guān)于y軸對稱；由已知題意，要求整個(gè)均勻薄片的重心恰好落在圓心(坐標(biāo)原點(diǎn))，即 又 ；即所接均勻矩形薄片另一邊的長度應(yīng)是D9.09 求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)）對于直0xy1-11線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：令 則9.10設(shè)在x

8、Oy面上有一質(zhì)量為M的勻質(zhì)半圓形薄片，占有平面區(qū)域：，的，過圓心O垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，求半圓形薄片對質(zhì)點(diǎn)P的引力。解：由 已 知，令為 面 密 度 ，薄 片 面 積 ， 薄 片 質(zhì) 量 zDpaR-R0yx 建 立 如 圖 所 示 直 角 坐 標(biāo) 系 由 區(qū) 域 D的 對 稱 性 知 其 中 第十章 曲線積分與曲面積分10.01 填 空(1) 第二類曲線積分化成第一類曲線積分是，其中為上點(diǎn)處切 向量 的方向角。(2) 第二類曲面積分化成第一類曲面積分是，其中為上點(diǎn)處的法 向 量的方向角10.02 計(jì)算下列曲線積分：x2+y2=ax0axya/2L(1) ,其中為圓周解：表示

9、為參數(shù)方程:有 (2) ,其中為曲線， 解： (3),其中為擺線，上對應(yīng)從到的一段弧。解: (4)，其中是曲線上由到的一段弧。解:（5），其中L為上半圓周，沿逆時(shí)針方向。解: 補(bǔ)直線段由格林公式,有Dyx02aa(x-a)2+y2=a2LA 區(qū)域D的面積又 （6），其中是用平面截球面所得的截痕，從軸的正向看去，沿逆時(shí)針方向解: ，用參數(shù)方程表示為:10.03 計(jì)算下列曲面積分：x0zyRH(10.03 (1)圖)（1），其中是界于平面及之間的原柱面解：投影到平面上的投影為 其中x0zy1Dxyhx2+y2=h2(10.03 (2)圖)（2），其中為錐面,的外側(cè)。 解：補(bǔ)平面上側(cè)（如上頁下圖），

10、與構(gòu)成一封閉曲面：的外側(cè)由高斯公式得:又 故 （3），其中為半球面的上側(cè)x0zy1RRx2+y2=R2R解: 補(bǔ)平面下側(cè),與構(gòu)成一封閉曲面：的外側(cè)；由高斯公式得: 區(qū)域的體積 又 ，（4），其中為曲面的上側(cè)。解: 補(bǔ)平面下側(cè), 與曲面構(gòu)成一封閉曲面：的外側(cè)；而由高斯公式得：又（其中）（5），其中為曲面 的外側(cè)解：方法1:其中： 方法2：補(bǔ) 由高斯公式得: 而 0xyA(0,1)B(0,y)C(x,y)10.04證明：在整個(gè)xOy平面的除去的負(fù)半軸及原點(diǎn)的開區(qū)域內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù)證明：在整個(gè)平面除去y的負(fù)半軸及原點(diǎn)的開區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分。10.05設(shè)在

11、半平面內(nèi)有力構(gòu)成力場，其中k為常數(shù)，；證明在此力場中場力所作的功與所取路徑無關(guān)。證明：又 故 P(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域:半平面,有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān)。10.06求均勻曲面的重心的坐標(biāo)解：曲 面 在xOy面投影為：又 是關(guān)于yoz面, xoz面對稱,又 區(qū)域的面積 重心 10.07設(shè)在閉區(qū)域D上都具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，分段光滑的曲線L為的正向邊界曲線。證明：（1） （2） 其中分別是沿L的外法線向量的方向?qū)?shù),符號稱二維拉普拉斯算子L證明：令為 x軸正向到方向的轉(zhuǎn)角 為 x軸正向到切線方向的轉(zhuǎn)角 則 又 根據(jù)格林公式： （2）由（1）知 同理 由上

12、兩式作差：；證畢 。10.08求向量通過區(qū)域：，的邊界曲面流向外側(cè)的通量解：由已知條件得所求通量為：的體積10.09求力沿有向閉曲線所作的功，其中為平面被三個(gè)坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界，從軸正向看去，沿順時(shí)針方向解：取為平面下側(cè)被圍成, 的單位法向量即 ,令為在xoy面的投影;由斯托克斯公式有：y1x11z0Dxy 的面積第十一章 無窮級數(shù)11.01填 空（1）對級數(shù)；是它收斂的必 要條件，不是它收斂的充 分條件。（2）部分和數(shù)列有界是正項(xiàng)級數(shù)收斂的充 要條件。（3）若級數(shù)絕對收斂，則必定收 斂；若級數(shù)條件收斂，則必定發(fā) 散。11.02判別下列級數(shù)的收斂性（1）;解： 級數(shù)發(fā)散。（2） ;

13、解：; 原級數(shù)發(fā)散。（3）;解：0 而 是收斂的; 原級數(shù)收斂。（4）;解：; 級數(shù)發(fā)散。（5）解： 當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng) 時(shí)：原級數(shù)為 故原級數(shù)11.03設(shè)正項(xiàng)級數(shù)和都收斂，證明級數(shù)也收斂。證明： 同理 收斂。 又， 收斂。 故 也收斂11.04設(shè)假設(shè)收斂，且，問是否收斂？試說明理由。解：不一定。如：，是收斂的； 又如： 但是發(fā)散的。11.05討論下列級數(shù)的絕對收斂性和條件收斂性。（1）解： 當(dāng)p>1時(shí)收斂 故絕對收斂。 當(dāng)時(shí)，屬交錯(cuò)級數(shù)；而發(fā)散. 故條件收斂。 當(dāng)p<0時(shí)，很顯然原級數(shù)發(fā)散（2）解： 原級數(shù)絕對收斂。（3）解：; 故發(fā)散 但是交錯(cuò)級數(shù) ; 原級數(shù)條

14、件收斂。（4）解： 原級數(shù)絕對收斂。11.06求下列極限：（1）解： 單增小于, 故 收斂于定值，原式（2）解：極限值為 11.07求下列級數(shù)的收斂區(qū)間。（1）解：， 時(shí)，級數(shù)發(fā)散， 時(shí)，級數(shù)收斂； 故收斂區(qū)間（2）解：（3）解：（3）解： 時(shí)，級數(shù)顯然發(fā)散，故收斂區(qū)間為。11.08求下列級數(shù)的和（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：11.09求下列各項(xiàng)級數(shù)的和：（1）解：（2）解：11.10將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：（1）解： 又 （2）解： 11.11設(shè)是周期為的函數(shù),它在上的表達(dá)式為 ， 將展開成Feurier級數(shù)。解：11.12將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解：將作奇延拓,則

15、同理偶延拓,則 第十二章 微分方程12.01求以為通解的微分方程。（其中為任意常數(shù)）解：兩邊對求導(dǎo)得： 由 故： 兩邊平方得： 整理后得： 12.02求以為通解的微分方程。（其中為任意常數(shù)）解：兩邊對求導(dǎo)得： 兩邊再對求導(dǎo)得： 由 故： 整理后得：12.03求下列微分方程的通解。（1）解：這是一個(gè)齊次方程，令，則 整理后得： 由 兩邊積分，得： 故其通解為： （c為常數(shù)）（2）解：令，則 整理后得： 兩邊積分，得： 故其通解為：（3）解：作變換 （1） 這是一個(gè)非齊次的一階線性微分方程，作對應(yīng)于（1）的齊次微分方程 （2） 用分離變量法求（2）的通解為： 用常數(shù)變易法，作： （3） 得： （4

16、） 將（3），（4）代入（1）得 得 兩邊積分得： 故其通解為： （c為常數(shù)）（4） 解：這是一個(gè)Bernoulli方程，兩邊同除，得： 作變換，則 （1） 這是一個(gè)非齊次的一階線性微分方程 解（1）的齊次線性方程的通解為： 作常數(shù)變易法： （2） 得： （3） 將（2），（3）代入（1）得： 解得： 故方程的通解為： 既 （c為常數(shù)）（5）解：這不是一個(gè)全微分方程，但把方程分成兩部分為 在前一個(gè)括號內(nèi)，有 在后一個(gè)括號內(nèi)，有 故兩個(gè)括號內(nèi)的為兩個(gè)全微分方程 故其通解為 即 （c為常數(shù)）（6） 解：設(shè)，則 故原方程化為 ，即 解得：，即 即 得： 即 （為常數(shù)）（7） （1）解：作二階齊次微分

17、方程為： （2） 其特征方程為： 有兩個(gè)共軛復(fù)根： 故方程（2）的通解為： 由于是的虛部 則方程（1）的特解為 （3）的解的虛部 由不是（2）的特征根，作（3）的特解 （4） 將（4）代入（3）得： 比較兩邊系數(shù)，得： 令，代入得： 故 所以方程（1）的通解為（8）解：這個(gè)非齊次線性方程所對立的齊次線性方程為： （1）的特征方程為： 特征根為： 故（1）的通解為： 為了求方程組的特解，考慮下列兩個(gè)方程： （3） （4） 對于（3），由于是單特征根，故要的特解 對于（4），由于是單特征根，故要的特解 故原方程的特解為： 代入原方程，得： 兩邊比較系數(shù)，得： 所以微分方程的通解為：（9）解： 不是

18、全微分方程作 ，得：將等式兩邊乘以，得：這是一個(gè)全微分方程，所以 得： 整理后得： （為常數(shù)）（10）解：令，則兩邊對求導(dǎo)，得：故得 ，即令，即 得 即 得 用分離變量法，得 ，即 將 代回得： （各處的為不同的常數(shù)） 這就是方程的通解。12.04求下列微分方程滿足所給的初始條件的特解：(1)解：原方程可寫為：第一項(xiàng)有積分因子而方程顯然有積分因子于是上面方程可寫為： ，即 為滿足第一項(xiàng)，應(yīng)有，從而原方程積分因子為，于是 ，即 積分可得方程的通解為：將初始條件代入得：故方程的特解為：即 （2）解：設(shè)則則原方程可化為：用分離變量法解為：由時(shí)，可得，即，由此可得：解之可得：由時(shí)可得故方程的特解為：（

19、3）時(shí)解：令，則故原方程為：解之得：由時(shí)得可得：解之得：將初值條件代入得：故其特解為：（4）時(shí)解：特征方程為：由，所以二階線性微分方程：的通解為：又顯見為方程的一個(gè)特解所以方程的通解為：將初值條件代入得：所以通解為：12.05已知曲線經(jīng)過點(diǎn)，它的切線在縱軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求它的方程。解：設(shè)，則，切點(diǎn)為，切點(diǎn)的斜率為所以切線的方程為：由于切線在縱軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即，即得：令，得：；解之得：得：由初值條件時(shí)，得故曲線的方程為：12.06已知某車間容積為，其中的空氣含的(以容積計(jì)算)，現(xiàn)以含的新鮮空氣輸入，問每分鐘應(yīng)輸入多少，才能在后使車間空氣中的含量不超過（假定輸入的新鮮空氣與原有空氣很快混和均勻后，以相同的流量排出）解：設(shè)輸入速度為，設(shè)在時(shí)刻車間內(nèi)有此時(shí)刻的濃度為，當(dāng)時(shí)間由增加到時(shí)刻，的含量由增加到，此時(shí)，減少的為（為車間容積）于是得到：得：；即 解之得：由初值條件：當(dāng)時(shí)，代入得；故得：由題設(shè)條件：當(dāng)即得；解之得：應(yīng)大于約。12.07設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足，求