高等代數(shù)論文

1、有關(guān)冪等矩陣與對合矩陣換位子的進(jìn)一步討論聶曉柳(數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 指導(dǎo)教師:楊忠鵬)摘 要：本文主要研究了復(fù)數(shù)域上冪等矩陣和對合矩陣換位子的秩等式，及其可逆的等價條件.同時利用冪等矩陣與對合矩陣的性質(zhì),研究了它們的差與和的秩等式及其可逆的等價條件.在這篇文章中，主要使用了兩種經(jīng)典的方法：一、把對合矩陣轉(zhuǎn)化為冪等矩陣；二、分塊矩陣的高斯消元法.我們還進(jìn)一步涉及了其它類型的特殊矩陣的換位子的相關(guān)性質(zhì)，并提出了以后的研究方向.關(guān)鍵詞：冪等矩陣 對合矩陣 換位子 矩陣的秩 可逆性Abstract：In this paper, we mainly study the rank equalities fo

2、r the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent

3、 matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And

4、 we also propose some problems for further work in the future.Key words： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility0、符號說明及引言冪等矩陣與對合矩陣是矩陣論中的重要組成部分,在許多內(nèi)容和各種學(xué)科中都非常有用,請參看1-11,14-17.為了后面的寫作方便，首先進(jìn)行符號說明.用表示復(fù)數(shù)域上的所有矩陣組成的集合; 表示復(fù)數(shù)域上所有維列向量組成的集合, 表示階單位矩陣，表示矩陣的秩。若，稱A為冪等矩陣。設(shè)復(fù)矩陣為的共

5、軛矩陣,其中為的共軛復(fù)數(shù).即對進(jìn)行轉(zhuǎn)置.表示的共軛轉(zhuǎn)置矩陣. 在本文中用表示A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣;若，稱為三次冪等矩陣。若，稱為m次冪等矩陣；若，稱為對合矩陣。若,稱為冪么矩陣；分塊矩陣,.,。若稱為矩陣，以下簡記為-矩陣；稱為與的換位子.表示的值域.對分塊矩陣的初等變換的符號說明:表示矩陣的第i行加上或減去第j行，表示矩陣的第i 列加上或減去第j列，表示第i行加上或減去第j行的倍；表示第i列加上或減去第j列的倍.Yongge Tian，George P.H.Styan在文獻(xiàn)1中得到了同一種類型矩陣的差，和，換位子的秩等式，即兩個冪等矩陣的差,和,換位子的有關(guān)秩等式,同時相應(yīng)地得到了兩個對合矩陣的

6、換位子的秩等式. 左可正在文獻(xiàn)2中分別得出了冪等矩陣的換位子與對合矩陣的換位子的可逆性的等價條件,至此基本上很少人涉及過冪等矩陣和對合矩陣的差，和，換位子的秩等式，及其可逆性等一些相關(guān)性質(zhì). 本文就從這里開始研究,因?yàn)檠芯繐Q位子的秩等式有很強(qiáng)的概括性，當(dāng)，則說明，說明它們可以同時對角化；若，則表明換位子可逆.本文利用兩條研究思路：“求同存異”，即把不同的兩類矩陣化成同一類矩陣，從而便于研究討論，在此利用基本工具對對合矩陣和冪等矩陣進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化；直接考慮一個冪等矩陣與一個對合矩陣的差與和，換位子的秩等式，利用分塊矩陣的高斯消元法直接進(jìn)行研究討論.文章在第三部分還對研究內(nèi)容進(jìn)行了延伸，討論了其它幾

7、種特殊類型的矩陣換位子的相應(yīng)性質(zhì),并提出了以后的研究方向.1、預(yù)備定理我們首先引入本論文用到的基本工具:引理1 (見20,),如果則當(dāng)且僅當(dāng).引理2 ,如果則當(dāng)且僅當(dāng).證明 的證明由,且,則當(dāng)且僅當(dāng)時才成立.的證明由得,則,則當(dāng)且僅當(dāng)成立時才可以. 引理3 如果,則當(dāng)且僅當(dāng).證明 的證明當(dāng)且僅當(dāng)成立.的證明由,得,由根據(jù),得到. 引理4 如果,則當(dāng)且僅當(dāng).證明 與引理3的證明類似,因此在此省略. 引理5 (見1,) 若且都為冪等矩陣,則有 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4)引理6 （見1,定理2.1） 設(shè)，是復(fù)數(shù)域上的兩個階冪等矩陣，則有下列秩等式: (1.5) (1.6) (1.

8、7)引理7 (見1，推論2.3)若且都為冪等矩陣,則有下列秩等式:(1.8) (1.9) (1.10)更進(jìn)一步,有且是非奇異的當(dāng)且僅當(dāng).引理8 (見1,定理2.19) 設(shè)且是任意選取的,且,則 (1.11) (1.12)若，則 . (1.13)引理9 (見1,推論2.20)是復(fù)數(shù)域上階冪等矩陣，則(1.14) (1.15)(1.16) (1.17).引理10 (見1,定理2.11) 是復(fù)數(shù)域上階冪等矩陣，則和滿足下列4個秩等式:(1.18)(1.19)(1.20)(1.21)引理11 (見1, )都是矩陣,是復(fù)數(shù)域上任意的數(shù),則有下列秩等式成立: (1.22) (1.23) (1.24) (1

9、.25) (1.26)引理12 (見11,) 設(shè)為n階矩陣，,則為冪等矩陣的充要條件是存在可逆矩陣,使.引理13 (見11,) 設(shè)為n階矩陣，則下面三個命題是等價的：1）；2）存在可逆矩陣T ，使得；3） 2、主要結(jié)果由于本文主要研究的是冪等矩陣與對合矩陣的換位子的秩,利用的基本工具是引理1中的冪等矩陣與對合矩陣的相互轉(zhuǎn)化公式,所以首先把冪等矩陣與對合矩陣的關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)分類.2.1、冪等矩陣與對合矩陣相互轉(zhuǎn)化之后秩的分類情況 由引理1,引理2可知:一個對合矩陣可以產(chǎn)生兩個冪等矩陣:若 且,令則,且有和.因?yàn)橛梢?3,可知存在可逆矩陣,使得,則. 所以有,則即成立.定理2.1.1 兩個對合矩陣

10、的差與和的秩可以表示成兩個冪等矩陣之差的秩.證明 設(shè)是對合矩陣，令由引理1,引理2,可知都是冪等矩陣,且相對應(yīng)地有:則 (2.1.1) (2.1.2)即兩個對合矩陣的差與和的秩轉(zhuǎn)化為兩個冪等矩陣之差的秩. 定理2.1.2 兩個冪等矩陣的差的秩可以表示成兩個對合矩陣的差或和；兩個冪等矩陣和的秩可以表示成兩個對合矩陣的和的秩.證明 設(shè),令；由引理3,引理4可知都是對合矩陣，則(2.1.3) ()又有引理1,引理2,可知 , 都是冪等矩陣.即兩個冪等矩陣的差的秩能轉(zhuǎn)化為兩個對合矩陣的差或和的秩；兩個冪等矩陣的和的秩轉(zhuǎn)化為兩個對合矩陣的和的秩。 定理2.1.3 一個冪等矩陣與一個對合矩陣的差與和的秩可

11、以表示成兩個冪等矩陣的和的秩.證明 設(shè),令,相應(yīng)地有;令，則，由引理1,引理2可知 都是冪等矩陣,由引理3,引理4可知,都是對合矩陣. () () 因?yàn)楫?dāng)是冪等矩陣時,也是冪等矩陣.同時,都是矩陣. 推論1 若,則其中.證明 由定理2.1.3和引理6可以得到. 2.2、 一個冪等矩陣與一個對合矩陣的差，和的秩在這里我首先給出了一個冪等矩陣與一個對合矩陣的差與和的新的秩等式,然后用新的方法得到了兩個對合矩陣的差與和的秩等式,并且得到了幾個推論.之前Tian與Styan在1中只對兩個冪等矩陣與兩個對合矩陣的秩等式進(jìn)行了研究,沒有涉及過一個冪等矩陣與一個對合矩陣的差與和的秩,我以下給出了新的秩等式.

12、定理 若,則 () ()證明 利用分塊矩陣的高斯消元法和冪等矩陣與對合矩陣的性質(zhì),首先有因?yàn)榉謮K矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,所以有 ()又因?yàn)橥瑯痈鶕?jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,有 (2.2.4)由()和(2.2.4),我們有；因?yàn)楫?dāng) 對合矩陣時,則也是對合矩陣,用代替 即有. 因?yàn)楫?dāng)P是冪等矩陣時，則，也是；當(dāng)是對合矩陣時，則也是對合矩陣，則有以下推論.推論1 若 是復(fù)數(shù)域上的n階冪等矩陣, 是復(fù)數(shù)域上的n階對合矩陣,則有 （） （） ()證明 若是冪等矩陣，則分別也是冪等矩陣，是對合矩陣時，則也是對合矩陣。用代替，代替，就可以得到秩等式以上的所有秩等式. 推論2 若 是復(fù)數(shù)域上的n

13、階冪等矩陣,是復(fù)數(shù)域上的n階對合矩陣，則以下幾個命題等價:(a) 可逆；(b) 證明由（），顯然易得。推論3 若是復(fù)數(shù)域上的n階冪等矩陣,是復(fù)數(shù)域上的n階對合矩陣，則以下幾個命題等價:(a) 可逆；(b) 證明 由（），顯然易得.推論4 若,則 () () ()證明 令,則根據(jù)引理2,可知,則根據(jù)引理6,即可得證.推論5 若,則 ()()(2.2.13)證明 令,則根據(jù)引理1,可知,則根據(jù)引理6,即可得證.定理 若,則下列秩等式成立:() () ()更進(jìn)一步,有 ；是非奇異的證明 若，則，把代入引理2，有定理 若,是矩陣,是任意實(shí)數(shù),則有下列秩等式成立:()() (2.2.19)()()()證

14、明 因?yàn)槭蔷仃?則則是冪等矩陣,因?yàn)?在引理13中,令,把引理11中的用來代替,則得到上述秩等式. 2.3、 研究冪等矩陣與對合矩陣的換位子的秩及其可逆性定理2.3.1 若,則()證明 設(shè)換位子的形式為利用待定系數(shù)法,可以計(jì)算出根據(jù),可有又因?yàn)楦鶕?jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,得到所以 推論1 ,若,則, () () (2.3.4) (2.3.5 )且有. 證明 由定理可知(2.3.2)式成立,再代入引理6,可得(2.3.3),(2.3.4),(2.3.5)都成立. 推論2 ,則下列幾個命題是等價的:可逆;與都可逆; 且. 證明 因?yàn)樗猿闪?因?yàn)榭赡?所以同理.又因?yàn)榭赡?也是可逆的,由

15、定理的(b)式可知成立.因?yàn)橛啥ɡ淼耐普? 和定理的(b)式可得 再由定理的(2.2.14)式可知.則(b)成立. 推論3 ,有下列秩等式成立: () () () ()證明 由定理2.3.1 可知 ,由()式可以得到(2.3.6),由定理2.2.1的推論4得到(2.3.8),由引理5,只要令即可得到(2.3.9),(2.3.10). 推論4 若,則下列幾個命題是等價的:且且. 證明 由定理2.3.1 的(2.3.1)式可以直接得到.可以由定理得到.顯然易得. 根據(jù)Hartwig and Styan在文獻(xiàn)7中的定理:若,則.令,由引理2就可以得到,再根據(jù),就可以證得. 因?yàn)?則顯然成立.推論5

16、若,則下列幾個命題是等價的:是非奇異的.證明 若(a) 成立,則由推論3的()得到即又因?yàn)閯t當(dāng)且僅當(dāng)(b)式成立時才可以.由()式可以直接得到. 定理 若,則下列等式成立: ()證明 首先利用分塊矩陣的高斯消元法,又有以下結(jié)果成立:根據(jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,得到 (2.3.11)然后再利用冪等矩陣和對合矩陣的性質(zhì)有:同樣的道理, (2.3.12)聯(lián)立(2.3.11)和(2.3.12)則有秩等式定理2.3.4., ()(2.3.18)(2.3.19) ()證明 根據(jù)引理2,令則,同時有 ,代入,得到,則把直接代入引理9,就可以 得到以上幾個秩等式. 定理2.3.4 若,則有下列秩等式

17、成立: (2.3.21)(2.3.22)(2.3.23)(2.3.24)證明 由引理1,可令,則,再代入引理10,就可以得到以上的秩等式. 定理2.3.5 若,則有下列秩等式成立: (2.3.25)證明 由定理2.3.1的關(guān)于的秩等式(2.3.1) ,再聯(lián)立秩等式(2.3.21)即可以得到定理2.3.5的秩等式. 在引理7中研究這種情況的秩：設(shè)且是任意選取的,且,研究的秩，與我在本文中研究的一個冪等矩陣和一個對合矩陣的換位子形式不同。但由引理7可以得到幾個特殊矩陣與一個任意的n階矩陣的換位子的秩等式.定理2.3.6 若,是復(fù)數(shù)域上的任意矩陣,則證明 令,則，即一個對合矩陣與任意一個矩陣的換位子

18、的值等于一個冪等矩陣與任意一個矩陣的換位子的值.在引理8中,若令,就可以得到一個冪等矩陣與任意一個階矩陣的換位子: 若,是復(fù)數(shù)域上的任意矩陣,則 (2.3.26) (2.3.27)把代入(),(2.3.27)就得到定理2.3.6. 3、問題的延伸本部分在原來研究的基礎(chǔ)上再深入一些,下面研究幾類特殊矩陣的換位子問題,然后推廣到階.首先研究冪等矩陣,對合矩陣,三冪等矩陣三種矩陣的換位子問題:可以分為6類換位子:兩個冪等;兩個對合矩陣;一個冪等矩陣與一個對合矩陣;兩個三冪等矩陣;一個冪等矩陣與一個三冪等矩陣;一個三冪等矩陣與一個對合矩陣.已經(jīng)有人研究了,我在本論文中也討論了,這部分研究換位子問題.由

19、于存在,即一個對合矩陣是一個非奇異的三冪等矩陣,則根據(jù)三冪等矩陣是否是非奇異的分兩種情況討論:(1) 三冪等矩陣是非奇異的,則三冪等矩陣是對合矩陣.就相應(yīng)地變?yōu)榍闆r；(2) 三冪等矩陣不是非奇異的. 則首先討論一個三冪等矩陣與一個對合矩陣的換位子: 定理3.5.1 若，且，則換位子可以轉(zhuǎn)化為兩對冪等矩陣與對合矩陣的換位子的代數(shù)差.證明 因?yàn)?，則存在可逆矩陣T，使得 通過簡單的計(jì)算可以知道矩陣都是冪等矩陣.則有: 這類換位子的秩等式及可逆性作為以后的研究內(nèi)容.以下研究兩個三冪等矩陣的換位子問題：定理3.5.2 若則根據(jù)以上的討論，則換位子可以轉(zhuǎn)化為四對冪等矩陣的換位子的代數(shù)和.證明 由定理3.5

20、.1的分析,有，在這里都是冪等矩陣，則有這類換位子的秩等式及其可逆性將作為以后的研究重點(diǎn).因?yàn)樵诰仃囀欠瞧娈惖那闆r下,階冪等矩陣就是階的冪么矩陣.，而對于，則,對任意的正整數(shù)k都成立。則對于滿足的A，B 的換位子的各種相應(yīng)性質(zhì)如何，將是以后的研究內(nèi)容.利用對合矩陣的性質(zhì),由引理3,，可以化為兩個冪等矩陣的差，即存在可逆陣,使得分別是n階冪等矩陣，則則研究的對象轉(zhuǎn)化為研究兩對冪等矩陣的換位子的代數(shù)和.這個作為以后的討論重點(diǎn).結(jié)束語本論文是在認(rèn)真研究閱讀George P.H. Styan 和 Yongge Tian 的文章（文獻(xiàn)1）和左可正的文章（文獻(xiàn)2）之后，查閱大量相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，提出了新的

21、研究方向，即研究一個冪等矩陣與一個對合矩陣的差，和，換位子等的秩等式，可逆性相關(guān)性質(zhì),研究秩等式有很強(qiáng)的概括性,在引言中已經(jīng)簡單說明過.本文不僅是在原來研究內(nèi)容上的拓寬，研究程度上的深入,在研究方法上,所得結(jié)果都有創(chuàng)新之處。最重要的是此研究課題是幾乎沒有人涉及到的新問題,同時得到了很多好的結(jié)論.并且提出了以后的研究方向,本文初步涉及了三階冪等矩陣的換位子,三冪等矩陣與冪等矩陣和對合矩陣交叉項(xiàng)的換位子形式.還可以更深入地研究階冪等矩陣與階冪么矩陣的換位子的相應(yīng)性質(zhì)。這里有很大的研究空間。參考文獻(xiàn)：1 Yongge Tian,George PH styan .Rank equalities for

22、 idempotent and involutory matrices J.Linear Algebra Appl ISSN, 2001(335):101-117.2 左可正.冪等矩陣與對合矩陣的換位子的可逆性N. 湖北師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)出版社), 2007,27(2): 11-14.3GroJ,Trenkler G. Nonsingularity of the difference of two oblique projectorsJSIAM J. Matrix Anal Appl,1999(21):390-395. 4 G.E.Harting,G.P.H.Styan,Equalitie

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24、 and rank subtractivity,Linear Algebra Appl.1986(82): 145 - 161.7J.J.Koliha,V.Rakocevic.The nullity and rank of linear combinations of idempotent matricesJ. Linear Algebra and its Applications ISSN, 2006 (418):11-14.8 Gro J.On the product of orthogonal projectors J Linear Algebra Appl ,1999(289):141

25、-150.9Y.Takane,H.Yanai,on the oblique projectors, Linear Algebra Appl.1999(289 ): 297-310.10 樊惲. 代數(shù)學(xué)辭典.華中師范大學(xué)出版社, 1994(1) 499-506. 11Gro J,Trenkler G.on the product of oblipue projectors J.Linear and Multilinear Algebra, 1998(44):247-259.12Jerzy K.Baksalary,Oskar Maria Baksalary. Idempotency of Linear combinations of two idempotent matreces J.Linear Algebra Appl,2000(321):3-7.13 T