非慣性參考系習(xí)題解答

1、3.1、一船蓬高，在雨中航行時(shí)，它的雨蓬庶著蓬的垂直投影后的甲板；但當(dāng)停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前處。如果雨點(diǎn)的速率是8。求船航行的速率解：由題意設(shè)雨的絕對速度為，雨的相對速度為，船航行的速度為，數(shù)據(jù)如圖所示。則有在速度三角形中，正弦定理：由圖中數(shù)據(jù)知：，已知雨的絕對速率代入前面數(shù)據(jù)可得：3.2、河的寬度為，水的流速與離開河岸的距離成正比。岸邊水的流速為0，河中心處水的流速為，河中一小船內(nèi)的人，以相對于水流恒定的速率，垂直于水流向岸邊劃去。求小船的航行軌跡和抵達(dá)對岸的地點(diǎn)。解：建立如圖坐標(biāo)系，取小船的出發(fā)點(diǎn)為。軸垂直于河岸，軸平行于河岸因河流中心水流速度為，水的流速與離開河岸的距離

2、成正比所以水流速度為：河的左側(cè)()水流速率為：河的右側(cè)()水流速率為：由速度變換關(guān)系知：小船位于河岸的左側(cè)內(nèi)()：積分有解得 ，()小船位于河岸的右側(cè)內(nèi)()：積分有解得，()所以小船的航行軌跡為： ，()，()若小船位于河岸的左側(cè)內(nèi)()，當(dāng)?shù)诌_(dá)河的中心時(shí)有：那么若小船位于河的中心()，當(dāng)?shù)诌_(dá)河岸時(shí)，那么所以小船位于河岸的左側(cè)內(nèi)()，當(dāng)?shù)诌_(dá)河岸時(shí)，若小船位于河岸的右側(cè)內(nèi)()，當(dāng)?shù)诌_(dá)河岸時(shí)，那么若小船從河岸的左側(cè)出發(fā)，那么3.3、一圓盤以勻角速度繞過圓心并與圓盤面垂直的軸轉(zhuǎn)動。一質(zhì)點(diǎn)沿圓盤上的弦，以恒定的相對速度運(yùn)動，如圖所示。已知該弦離盤心的距離為。求在以地面為參考系時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度(表示

3、成質(zhì)點(diǎn)離弦中點(diǎn)的距離的函數(shù))。解：在圓盤上建立如圖所示的隨盤轉(zhuǎn)動的直角坐標(biāo)系，地面為慣性系。則：或利用可直接求出。3.4、一飛機(jī)在赤道上空以速率水平飛行，考慮到地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，分別在下列情形下求出飛機(jī)相對于慣性坐標(biāo)系，不隨地球轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系)的速率：(i)向北飛行(ii)向西飛行(iii)向東飛行。已知地球半徑為解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使飛機(jī)位于軸上。則飛機(jī)位于赤道上空以速率水平飛行，則(i)向北飛行，那么 所以(ii)向西飛行，那么(iii)向東飛行，那么3.5、一契子，頂角為，以勻加速度沿水平方向加速運(yùn)動。質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿楔子的光滑斜面滑下，如圖所示。求質(zhì)點(diǎn)相對于楔子的加速度及質(zhì)點(diǎn)對楔子

4、斜面的壓力解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系附著在楔子上。在中的受力分析如圖所示。則有： (1) (2)由(1)式可求得：所以質(zhì)點(diǎn)對楔子斜面的壓力由(2)式可求得：3.6、一纜車，以大小為，與地平線成角的勻加速度上升，纜車中一物體自離纜車地板高度處自由下落。求此物體落至地板處的位置。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系附著在纜車上取物體開始落的位置為原點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的平面為受力分析如圖示。設(shè)質(zhì)點(diǎn)自由下落到地板的時(shí)間為，則有：方向：方向：聯(lián)立求得，即物體落到初始位置在地板的投影點(diǎn)后面處。3.7、一單擺擺長為，懸掛點(diǎn)在水平線上作簡諧振動：。這里是懸掛點(diǎn)離開水平線上的固定點(diǎn)的距離，如圖，開始時(shí)擺錘鉛直下垂，相對于的

5、速度為零。證明單擺此后的微小振動規(guī)律為，式中解：以點(diǎn)為極點(diǎn)，豎直向下為極軸，受力分析如圖所示。因，所以，當(dāng)角度很小時(shí)，有，由牛頓第二定律，在橫向有：代入，可得：易知的通解為：，式中，為積分待定常數(shù)設(shè)的特解為的虛部，代入有：，解得：，故特解為所以的通解為：代入初始條件，時(shí)，可得：，所以有：3.8、一豎直放置的鋼絲圓圈，半徑為，其上套有一質(zhì)量為的光滑小環(huán)。今若鋼絲圈以勻加速度豎直向上運(yùn)動，求小環(huán)相對于鋼絲圈的速率和鋼絲圈對小環(huán)的作用力大小已知初始時(shí)刻鋼絲圈圓心與小環(huán)的連線跟鉛直線之間的夾角，小環(huán)的相對速率解：以點(diǎn)為極點(diǎn)，豎直向下為極軸，建立平面極坐標(biāo)系。受力分析如圖，則有：徑向： (1)橫向： (

6、2)初始條件：時(shí)， (3)對(2)變形：分離變量：，代入(3)有：所以(負(fù)根舍去)代入(1)有3.9、一平放于光滑水平桌面上的圓盤，以恒定角速度繞固定的圓盤中心轉(zhuǎn)動。有一質(zhì)量為的人沿圓盤上確定的半徑以恒定的相對速率向圓盤的邊緣走動。試分別利用：(a)地面慣性系(b)圓盤非慣性系，討論圓盤對人的作用力。解：受力分析如圖示，左圖為地面慣性系中人受力情況，右圖為圓盤非慣性系中人受力情況地面慣性系中建立極坐標(biāo)系，取圓心為原點(diǎn)，初始時(shí)刻人走的半徑為極軸，方向那么相對速度：，相對位移為：，角速度為： (a)地面慣性系中，由受力圖示分析可知：圓盤對人的作用力為：由牛頓第二定律知：，即所以圓盤對人的作用力為：

7、由于都為常數(shù)，所以圓盤對人的作用力只跟有關(guān)。(b)圓盤非慣性系中，受力分析如圖所示，人勻速行走。所以有：，即即所以圓盤對人的作用力為：由于都為常數(shù)，所以圓盤對人的作用力只跟有關(guān)。3.10、 半徑為豎直放置的光滑圓環(huán)，繞通過其圓心的鉛直軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)動。在此圓環(huán)上套有一質(zhì)量為的小環(huán)，自處相對于圓環(huán)無初速地沿環(huán)下滑。問小環(huán)的位置為何值時(shí)，它的滑動將開始反向？這里是圓心與小環(huán)的連線跟轉(zhuǎn)軸之間的夾角。解：以圓環(huán)為參考系。受力分析如圖所示。小環(huán)受到重力，大圓環(huán)的支持力，科里奧利力和慣性離心力。在整個(gè)運(yùn)動過程中只有重力和慣性離心力做功。對小環(huán)由動能定理有：即開始反向時(shí)，即解得：顯然取，即時(shí)，小環(huán)開始反

8、向運(yùn)動。3.11、一內(nèi)壁光滑的管子，在水平面內(nèi)繞通過其端點(diǎn)的的鉛直軸，以恒定的角速度轉(zhuǎn)動。管內(nèi)有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，用一自然長度為，勁度系數(shù)為的彈簧和管子的端點(diǎn)相連，設(shè)初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)到的距離為且。求質(zhì)點(diǎn)在管中的運(yùn)動方程及它對管壁的壓力解：取點(diǎn)為原點(diǎn)，建立附著在管子上的直角坐標(biāo)系。質(zhì)點(diǎn)受到重力，管壁的壓力，彈簧的張力，科里奧利力和慣性離心力若假定質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置向軸正向移動，受力分析如圖示，由牛頓第二定律知：即化簡：的通解為：，為積分待定常數(shù)。設(shè)的特解為，其中為常數(shù)代入可得：所以的通解為：代入初始條件，時(shí)，可得：，所以有，因彈簧振子的圓頻率，所以上式又可寫成：3.12、質(zhì)量為的小環(huán)套在半徑為的光滑圓圈上

9、，若圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度繞其圓周上的一點(diǎn)轉(zhuǎn)動。試分別寫出小環(huán)沿圓圈切線方向和法線方向的運(yùn)動微分方程(以小環(huán)相對于圓圈繞圓心轉(zhuǎn)過的角度為參量寫出)。設(shè)圓圈對小環(huán)的作用力大小用表示，并可略去小環(huán)的重力。解：由于略去了小環(huán)的重力，所以在選取圓圈為參考系中，小環(huán)的受力如圖所示，小環(huán)受到圓圈的作用力，科里奧利力小環(huán)相對點(diǎn)的慣性離心力相對點(diǎn)有向心加速度，小環(huán)的慣性力：那么小環(huán)的運(yùn)動學(xué)方程為：切向：，即法向，即事實(shí)上，也可通過，求得。3.13、一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，位于光滑的水平平臺上，此平臺以勻角速度繞通過平臺上一定點(diǎn)的鉛直軸轉(zhuǎn)動。若質(zhì)點(diǎn)受到點(diǎn)的吸引力作用，這里是質(zhì)點(diǎn)相對于點(diǎn)的徑矢。試證明：質(zhì)點(diǎn)在任何起始條

10、件下，將繞點(diǎn)以角速度作圓周軌道運(yùn)動。證明：水平臺以勻角速度繞通過平臺上一定點(diǎn)的鉛直軸轉(zhuǎn)動。取水平平臺為參考系。水平平臺光滑，質(zhì)點(diǎn)受到重力、平臺的支持力和點(diǎn)的吸引力以及慣性離心力。質(zhì)點(diǎn)在豎直方向上沒有離開水平平臺，有：，在水平方向所以質(zhì)點(diǎn)相對水平平臺靜止，故小球繞點(diǎn)以角速度作圓周軌道運(yùn)動。或者利用證明。3.14、一拋物線形金屬絲豎直放置，頂點(diǎn)向下，以勻角速率繞豎直軸轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為的光滑小環(huán)套在金屬絲上。寫出小環(huán)在金屬絲上滑動時(shí)的運(yùn)動微分方程。已知金屬絲構(gòu)成的拋物線方程為，這里為常數(shù)。解：如圖，取頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系附著在多屬絲上。在中，小環(huán)受到重力，科里奧利力，慣性離心力，金屬絲的作用力由

11、牛頓第二定律可得：方向：，即 (1)方向：，即 (2)方向：，即 (3)又金屬絲構(gòu)成的拋物線方程為，求一階導(dǎo)化簡得： (4)二階導(dǎo)為：聯(lián)立(1)、(2)、(4)可求得：化簡求得小環(huán)在金屬絲上滑動時(shí)的運(yùn)動微分方程：3.15、在北緯處，一質(zhì)點(diǎn)以初速率豎直上拋，到達(dá)高度時(shí)又落回地面。考慮地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，不計(jì)空氣的阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地位置與上拋點(diǎn)之間的距離；是偏東還是偏西？為什么解：取拋點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系附著在地面上。其中軸指向正南，軸指向正東，軸豎直向上。質(zhì)點(diǎn)只受到重力，故質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程為： (1) (2) (3)質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動狀態(tài)為：時(shí)，對(1)、(2)、(3)積分并代入初始條件得： (4) (5) (6)因，忽略項(xiàng)。把(5)式代入(1)、(3)式可得：，質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)，對于豎直上拋后落地時(shí)間為又，所以落地時(shí)間為把(4)、(6)式代入(2)式可得：，即積分兩次并代入初始條件得：把時(shí)間代入可得：，偏西3.16、在北緯的地方，以仰角向東方發(fā)射一炮彈的出口速率為，考慮地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，證明炮彈落地點(diǎn)的橫向偏離為解：取發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，