高三立體幾何大題專題用空間向量解決立體幾何類問題

1、【知識梳理】1、 空間向量的概念及相關(guān)運算1、 空間向量基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量稱為基向量。2、 空間直角坐標系的建立分別以互相垂直的三個基向量的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸，y軸和z軸。則（x,y,z）稱為空間直角坐標。注：假如沒有三條互相垂直的向量，需要添加輔助線構(gòu)造，在題目中找出互相垂直的兩個面，通過做垂線等方法來建立即可。3、 空間向量運算的坐標表示(1)若，則：=(2)設(shè)則(3)，則二、應(yīng)用：平面的法向量的求法：1、建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼?2、設(shè)平面法向量n=（x，y，z） 3、在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3

2、） 4、根據(jù)法向量的定義建立方程組n*a=0 n*b=0 5、解方程組，取其中一組解即可。 應(yīng)用1：證明空間位置關(guān)系（1）線線平行：證明，即證明（2）線線垂直：證明，即證明（3）線面平行：證明（平面）（或在面內(nèi)），即證明垂直于平面的法向量或證明與平面內(nèi)的基底共面；（4）線面垂直：證明，即證明平行于平面的法向量或證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對應(yīng)的向量；（5）面面平行：證明兩平面（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個面的法向量垂直于另一個平面；（6）面面垂直：證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一個面的法向量在內(nèi)一個面內(nèi)。應(yīng)用2：利用空間向量求線線角、線面角、二面角（1）異面直線的

3、夾角：。設(shè)是兩條異面直線，是上的任意兩點，是直線上的任意兩點，則，即所成的角為（2）直線與平面的夾角：。設(shè)是平面的斜線，設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則，即與平面所成的角為（3）二面角：設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補角的大小。需具體分析是哪一個。當(dāng)法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于法向量的夾角的大小。當(dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于法向量的夾角的補角。應(yīng)用三：求距離（1）兩點間距離：，則（2）點到直線距離：在直線上找一點，過定點且垂直于直線的向量為，則定點到直線的距離為（3）點到平面距離：點是平面外一點，是平面內(nèi)的一定點

4、，為平面的一個法向量，則點到平面的距離為（4）兩異面直線距離：設(shè)直線是兩條異面直線，是公垂線AB的方向向量，又C、D分別是上的任意兩點，則與之間距離（5）直線平面 （）的距離：轉(zhuǎn)化為點到平面的距離（6）平面與平面（）的距離（為平面的法向量）：轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的點到平面的距離。應(yīng)用四：解決探究問題對于存在判斷型問題，解題的策略一般為先假設(shè)存在，然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在。這是一種最常用也是最基本的方法. 立體幾何中的點的位置的探求經(jīng)常借助于空間向量，引入?yún)?shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù). 這是立體幾何中的點的位置的探求的常用方法.方法：點

5、F是線PC上的點，一般可設(shè)，求出值，P點是已知的，即可求出F點 點F在平面PAD上一般可設(shè)、計算出后，D點是已知的，即可求出F點。【經(jīng)典例題】AEFBCDHGXYZ一、平行垂直的證明（包含存在性問題）例1、如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點。 (1)求證：平面；(2)求證：平面；例2、 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC=90o，PD平面ABCD，AD =1，AB=，BC =4。 （I）求證：BDPC；（2）設(shè)點E在棱PC上，若DE平面PAB，求的值【變式1-1】在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，/，（）求證：平面；（2）線段上是否存在點，使平面

6、平面？證明你的結(jié)論【變式1-2】PDABCFE如圖，在四棱錐中，平面平面，且， 四邊形滿足，點分別為側(cè)棱上的點，且（）求證：平面；（）當(dāng)時，求異面直線與所成角的余弦值； （）是否存在實數(shù)，使得平面平面？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由【變式1-3】ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中點將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖）（）求證：平面； （）求證：平面；【變式1-4】在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，點在線段上，且（）求證：；（）求證：平面;【變式1-5】如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD平面ABCD，NBMD，且NB=1，MD=2；（）求證

7、：AM平面BCN;（）求AN與平面MNC所成角的正弦值；（）E為直線MN上一點，且平面ADE平面MNC，求的值.【變式1-6】如圖，在直三棱柱中，是中點.（I）求證：平面；（II）若棱上存在一點，滿足，求的長；【變式1-7】如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，為棱的中點（）求證：/ 平面；（）求證：平面平面；【變式1-8】在四棱錐中，底面是正方形，為的中點. （）求證：平面；（）求證：；（）若在線段上是否存在點，使？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由二、利用空間向量求二面角，線面角，線線角例1、在棱長為的正方體中，分別是的中點，ABCDEFGxyz（1）求直線所成角；（2）求直線與平面所成

8、的角，（3）求平面與平面所成的角 例2、如圖，四棱錐的底面為菱形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，側(cè)面底面.()設(shè)的中點為，求證：平面；（）求斜線與平面所成角的正弦值；（）在側(cè)棱上存在一點，使得二面角的大小為，求的值.【變式2-1】在四棱錐中，側(cè)面底面， 為直角梯形，/，為的中點（1）若PC與AB所成角為，求的長；（2）在（）的條件下，求二面角F-BE-A的余弦值【變式2-2】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF平面ABCD， EF / AB，BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，點P在棱DF上（）若P是DF的中點， () 求證：BF / 平面ACP；

9、() 求異面直線BE與CP所成角的余弦值； （）若二面角D-AP-C的余弦值為，求PF的長度【變式2-3】如圖，四邊形為正方形，（I）證明：平面；（II）求異面直線與所成角的余弦值;（III）求直線與平面所成角的正弦值【變式2-4】已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)棱，其中，為側(cè)棱上的兩個三等分點，如圖所示.（）求證：；（）求異面直線與所成角的余弦值；（）求二面角的余弦值.3、 求距離ABCA1B1C1M例、如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，CB=1,CA=, AA1=,M為側(cè)棱CC1上一點, （1）求證: AM平面；（2）求二面角BAMC的大??；（3）求點C到平面AB

10、M的距離【變式3-1】如圖1，在Rt中，D、E分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2ABCDE圖1圖2A1BCDE（）求證： 平面；（）若，求與平面所成角的正弦值；（） 當(dāng)點在何處時，的長度最小，并求出最小值 【強化訓(xùn)練】&【課后作業(yè)】（注：本專題根據(jù)學(xué)生的程度及上課接受情況適當(dāng)選擇部分進行上課練習(xí)，部分做為課后作業(yè)。）（13，西城一模）在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，/，（）求證：平面；（）求與平面所成角的正弦值；（）線段上是否存在點，使平面平面？證明你的結(jié)論（13，延慶一模） 如圖，四棱錐的底面為菱形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，側(cè)面底面.()設(shè)的中點為，求證

11、：平面；（）求斜線與平面所成角的正弦值；（）在側(cè)棱上存在一點，使得二面角的大小為，求的值.（13，朝陽一模）PDABCFE如圖，在四棱錐中，平面平面，且， 四邊形滿足，點分別為側(cè)棱上的點，且（）求證：平面；（）當(dāng)時，求異面直線與所成角的余弦值； （）是否存在實數(shù)，使得平面平面？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由（13，東城一模）已知幾何體ABCED的三視圖如圖所示，側(cè)視圖俯視圖正視圖1444其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形（）求此幾何體的體積V的大小;（）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；（）試探究在棱DE上是否存在點Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ的

12、長，不存在說明理由.（13，房山一模）在四棱錐中，側(cè)面底面， 為直角梯形，/，為的中點（）求證：PA/平面BEF；（）若PC與AB所成角為，求的長；（）在（）的條件下，求二面角F-BE-A的余弦值（13，門頭溝一模）ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中點將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖）（）求證：平面； （）求證：平面；（）求二面角的余弦值（13，海淀一模）在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，點在線段上，且（）求證：；（）求證：平面;（）求二面角的余弦值（13，豐臺一模）16如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD平面ABCD，NBMD，且NB=1，MD=2；（）求證