證明三角形的五心性質(zhì)

1、向量和三角形的五心一、前言： 在本校自然資優(yōu)班的一次數(shù)學課堂中，筆者講到以下的性質(zhì)：在中，若點為的重心，則，其中點為任一點。 下課后，有位許同學便到辦公室提出以下的問題：（1）在中，點為的重心，可得到的結(jié)果；那么反過來， 若有一點，滿足，是否保證點為的重心呢？（2）在中，另外的四心，即內(nèi)心、垂心、外心、傍心，是否也有類似充要條件的性質(zhì)呢？ 當時筆者告訴許同學，重心、內(nèi)心、傍心有類似性質(zhì)，其中重心的性質(zhì)是充要條件沒錯；至于內(nèi)心、傍心的性質(zhì)是否為充要，還須再證明看看；而垂心、外心的向量充要性質(zhì)老師還沒看過，容老師再思考一些時間。 接到許同學的問題后，筆者便與劉國莉老師一起討論，經(jīng)過仔細探討之后，我

2、們得到以下的結(jié)果：1. 重心向量性質(zhì)的充要條件與證明。2. 內(nèi)心向量性質(zhì)的充要條件與證明。3. 傍心向量性質(zhì)的充要條件與證明。4. 外心向量性質(zhì)的充要條件與證明。5. 垂心向量性質(zhì)的充要條件與證明。二、重心的向量性質(zhì)： 我們將三角形重心與向量性質(zhì)的充要條件寫成定理1如下：定理1：如圖（一），在中，則點為的重心的充要條件為（其中點為任一點）圖（一）證明：設(shè)點為的重心，延長交于點，則，。因此，。 設(shè)點為任一點， 。 另一方面，已知，其中點為任一點，令代入得。延長交于點，設(shè)，共線，得。因此，故為邊上的中線。同理可證：延長交于點，則為邊上的中線，故點為的重心。三、內(nèi)心的向量性質(zhì)： 我們先證明三角形的內(nèi)

3、分比性質(zhì)的充要條件，再進一步證明三角形內(nèi)心與向量性質(zhì)的充要條件，分別寫成性質(zhì)1及定理2如下：性質(zhì)1：圖（二）如圖（二），在中，點為上的一點，則為的角平分線的充要條件為證明：證明省略。圖（三）如圖（三），設(shè)中，因，設(shè)，為正數(shù)。作交的延長線于點，則?？芍?，得為的角平分線。定理2：如圖（四），在中，點為任一點，則點為的內(nèi)心的充要條件為圖（四）證明：已知點為的內(nèi)心，延長交于點，則， 。因此， 。 設(shè)點為任一點， 。已知，其中點為任一點，可取點等于點代入，得。 延長交于點，設(shè) ，因共線。，由性質(zhì)1可知：為的角平分線。同理，可證為的角平分線，因此點為的內(nèi)心。四、傍心的向量性質(zhì)： 我們先證明三角形的外分

4、比性質(zhì)的充要條件，再進一步證明三角形傍心與向量性質(zhì)的充要條件，分別寫成性質(zhì)2及定理3如下：性質(zhì)2：圖（五）如圖（五），在中，則為的外角平分線（點在的延長線上）的充要條件為。證明：已知為的外角平分線，作平行交于點；又平行，即得。由平行可得。已知，作交于點， 。，。因此為的外角平分線。定理3：如圖（六），在中，點為任一點，則（1）點為所對之傍心的充要條件為。（2）點為所對之傍心的充要條件為圖（六）（3）點為所對之傍心的充要條件為證明：只證明（1），而（2）與（3）同理，故省略。如圖（六），點為，所對之傍心。過點作平行分別交、的延長線于、。由性質(zhì)1，可設(shè)，又且，由。所以 。 設(shè)為任一點， 。已知，令

5、點為點代入，得。 設(shè)交于點，可設(shè)，因共線 。，由性質(zhì)1知：為的內(nèi)角平分線。另一方面，令點為點代入，得，。又為的內(nèi)角平分線；因此，。，由性質(zhì)2可知：為的外角平分線。同理可證：為的外角平分線。故為中所對之傍心。五、外心的向量性質(zhì)： 我們將三角形外心與向量性質(zhì)的充要條件寫成定理4如下：定理4：如圖（七），在中，點為任一圖（七）點，則點為的外心的充要條件為，（其中表的面積）證明：如圖（七），已知點為的外心，。設(shè)于點，于點，則。同理，。 設(shè) -（），由方程組（）可得。由海龍公式，其中，可知。由方程組（）可得，。所以 。 設(shè)平面上任一點， 。已得到，利用面積公式，及余弦定理、代入上式，即可得。圖（八）已知

6、，點為平面上任一點，令點為點代入，得。如圖（八），設(shè)點為中點，。因此。所以，直線為的中垂線。同理可證為的中垂線。故點為的外心。六、垂心的向量性質(zhì)： 我們將三角形垂心與向量性質(zhì)的充要條件寫成定理5如下：定理5：如圖（九），在中，點為任一點，則點為的垂心的充要條件為（其中表的面積）圖（九）證明：如圖（九），中，。于點，于點，點為的垂心。則 ，；因此， 。 設(shè) -（）。由方程組（）可得。，。設(shè)平面上任一點， 接者，將面積公式，及余弦定理、代入，即可得。 如圖（九），已知，點為任一點。令點為點代入，得。因此，直線垂直。同理可證，直線垂直，故點為的垂心。七、結(jié)論： 我們在本文的探討研究中，發(fā)現(xiàn)學生有時會提出看似平凡而卻容易被遺漏的問題，而這些問題在被提出后，往往是令人覺得深思的問題。平常在教學過程中，看到三角形的重心，便自然想到向量的性質(zhì)的口訣，甚至很少特別提出這是三角形重心的充要條件；內(nèi)心、傍心亦復如是。匆匆歲月，經(jīng)過學生提問，才激勵我們將三角形五心與向量性質(zhì)的充要條件，作進一步的整理，并完成五心與向量性質(zhì)充要條件的證明，實在是感恩學生的提問與智慧。 從探討中我們深深感到教學相長的真實，學生的提問有時會激發(fā)老師另層的深入思考，難怪古人說：有天才學生，沒有天才老師。因此，在此提出，千萬不可