透視仿射對應(yīng)仿射對應(yīng)仿射變換及其關(guān)系圖形的仿射性質(zhì)和仿射變換的特例

1、章主要討論透視仿射對應(yīng)，仿射對應(yīng)，仿射變換及其關(guān)系，圖形的仿射性質(zhì)和仿射變換的特例。關(guān)鍵詞：透視仿射對應(yīng)，仿射變換，仿射對應(yīng)，仿射坐標(biāo)，圖形的仿射性質(zhì)，單比，同素性，結(jié)合性，平行性;引言在歐氏平面上建立仿射坐標(biāo)系，研究仿射變換下圖形的仿射性質(zhì)（單比，同素性，結(jié)合性，平行性）及仿射變換的特例（正交變換，位似變換，相似變換，壓縮變換等）為以后學(xué)習(xí)射影變換和圖形的射影性質(zhì)打下基礎(chǔ)。1. 預(yù)備知識1.1單比定義1：設(shè),是有向直線上的兩個定點， 是這有向直線的另一點，分有向線段為兩個有向線段和，則其量數(shù)的比叫做三點的單比；記為，即=，其中 ，叫做基點，叫做分點顯然 當(dāng)在,之間時, 當(dāng)在,之外時, 當(dāng)與重

2、合時, 當(dāng)與重合時, 不存在 當(dāng)為線段的中點時, =-1.如果已知一直線上三點的單比,另一直線上兩點,則在第二直線上可以唯一地確定一點而使=。現(xiàn)在我們將共線三點的單比用坐標(biāo)表示。 定理：設(shè)共線三點的仿射坐標(biāo)順次為則單比 =； 這就是單比的坐標(biāo)表示。1.2 透視仿射對應(yīng). 透射仿射對應(yīng)的分類一般透射仿射對應(yīng)可以分為兩個：（1）二直線間的透視仿射對應(yīng)定義1：在一平面上設(shè)有直線和，為此平面上與，均不平行的另一直線，通過直線上各點分別作與平行的直線，順次交于這樣 （圖1）使得到直線上點到上點的一個一一對應(yīng),稱為透視仿射對應(yīng)。 如果直線與相交，則交點是透視仿射對應(yīng)的二重點或稱自對應(yīng)點， （如是自對應(yīng)點）

3、；（2）二平面間的透視仿射對應(yīng) 定義2：設(shè)有兩個平面與，通過平面內(nèi)各點引平行線交于這樣使平面內(nèi)的點與平面內(nèi)的點建立一種一一對應(yīng) （圖2）關(guān)系，這種對應(yīng)叫做到的透視仿射對應(yīng)。如果平面和相交于直線，則上的每個點都是自對應(yīng)點，并且在平面和間的透視仿射對應(yīng)下的所有自對應(yīng)點都在其交線上，直線叫做透視軸，簡稱軸，如果平面和平行則無自對應(yīng)點，也不存在透視軸了。顯然，透視仿射對應(yīng)由平行射影所得到的對應(yīng)。 透視仿射對應(yīng)的性質(zhì)透視仿射對應(yīng)具有如下的性質(zhì)：（1）透視仿射對應(yīng)保持同素性； 即透視仿射對應(yīng)使點對應(yīng)點，直線對應(yīng)直線，我們稱這個性質(zhì)為同素性。（2）透視仿射對應(yīng)保持結(jié)合性；如圖2中，點在直線上，經(jīng)過透視仿射對

4、應(yīng)后，其對應(yīng)點在對應(yīng)直線上，這就是說，透視仿射對應(yīng)保持點和直線的結(jié)合關(guān)系。（3）透視仿射對應(yīng)保持共線三點的單比不變；如圖2中，平面內(nèi)的共線三點，經(jīng)過透視仿射對應(yīng)后，變?yōu)槠矫鎯?nèi)的共線三點由于互相平行，所以有，即；（4）透視仿射對應(yīng)保持二直線的平行性；圖3中，在平面內(nèi)，直線，經(jīng)過平面和間的透視仿射對應(yīng)后，對應(yīng)，對應(yīng)，對應(yīng)，對應(yīng)；容易可得，； （圖3） 1.3 仿射對應(yīng) . 仿射對應(yīng)的分類我們所討論的仿射對應(yīng)有兩種情況：（1）兩直線間的仿射對應(yīng)定義1：設(shè)同一平面內(nèi)有條直線，順次表示到，到，到的透視仿射對應(yīng)，經(jīng)過這一串透視仿射對應(yīng)，使上的點與上的點建立了一一對應(yīng)，這個對應(yīng)稱為到的仿射對應(yīng)，用表示，于是

5、有，即間的一一對應(yīng)。 （圖4） 定義2：（兩直線間的仿射變換的另一種定義）：兩直線之間的一個一一對應(yīng)，如果滿足任何三點的單比不變，那么這種對應(yīng)叫做兩直線間的仿射對應(yīng)。（2）兩平面間的仿射對應(yīng)定義1:設(shè)有個平面,如果在平面偶之間都存在著透視仿射對應(yīng),即每兩個相鄰平面之間都存在著平行投影,這樣在平面與的點之間就建立一種一一對應(yīng),這種對應(yīng)叫做平面到的仿射對應(yīng). 既有限個透視仿射對應(yīng)的乘積為一個仿射對應(yīng)。 (圖5表示經(jīng)過四次平行投影而得到的平面到的仿射對應(yīng).) （圖5）定義2：(兩平面間的仿射對應(yīng)的另一種定義)兩個平面與之間的一個一一對應(yīng),如果滿足以下條件:任何共線點的象仍是共線點，任何共線三點的單比

6、不變；則此一一對應(yīng)叫做平面與的仿射對應(yīng)。仿射對應(yīng)和透視仿射對應(yīng)的關(guān)系將透視仿射對應(yīng)可以看作仿射對應(yīng),但是仿射對應(yīng)不一定透視仿射對應(yīng)，因為在透視仿射對應(yīng)中,連接對應(yīng)點的直線相互平行,但是在仿射對應(yīng)中,連接對應(yīng)點的直線不一定相互平行.仿射對應(yīng)的性質(zhì)仿射對應(yīng)具有下列性質(zhì)：(1) 仿射對應(yīng)保持同素性和結(jié)合性，(2) 仿射對應(yīng)保持共線三點的單比不變， (3) 仿射對應(yīng)保持直線的平行性；2. 仿射變換下面介紹仿射變換的三種定義：定義1：如果平面與重合，則到的仿射對應(yīng)叫做平面到自身的仿射變換。定義2：平面上點之間的一個線性變換中，如果，則這種變換叫做仿射變換。定義3：平面內(nèi)的點之間的一個一一變換，如果滿足以

7、下條件：（1）任何共線點的象仍是共線點，（2）任何共線三點的單比不變;則此一一變換叫做平面內(nèi)的仿射變換。2.1. 仿射變換的性質(zhì)仿射變換具有下列性質(zhì)；(1) 仿射變換保持同素性和結(jié)合性，(2) 仿射變換保持共線三點的單比不變； (3) 仿射變換保持直線的平行性。2.2. 仿射變換的代數(shù)表示式設(shè)在平面內(nèi)給定仿射坐標(biāo)系,如果有一個仿射變換把變?yōu)樽鴺?biāo)系,把點變?yōu)辄c,其中都是對于的坐標(biāo)?，F(xiàn)在要求出與的關(guān)系,假定向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為,點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。（圖6） 在圖6中,由于仿射變換保持平行性不變,所以為平行四邊形（分別為的象),又由于仿射變換保持單比不變,所以點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。因為 所以

8、 但是 比較以上兩個等式得 這就是仿射變換的代數(shù)表示式。推論:不共線的三對對應(yīng)點決定唯一一個仿射變換。例1：求使三點順次變到點的仿射變換。解：設(shè)所求仿射變換為于是有 ， , , ， ， 解方程組,得 , ， , 故所求的仿射變換為例2：試確定仿射變換,使軸, 軸的象分別為直線,且點的象為原點。解：設(shè)式為所求變換的逆變換表示式,于是有的象為的象為但由題設(shè)的對應(yīng)直線 的對應(yīng)直線，所以 與表示同一直線,即 因此,有 同理,由于 與表示同一直線,所以,有 又因為的象為，所以 , 代入，得所求變換式的逆變換式為解出,得所求變換式為;3. 圖形的仿射性質(zhì)定義：圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)(量),稱為

9、圖形的仿射性質(zhì).(仿射不變量).由以上可知同素性,結(jié)合性是圖形的仿射性質(zhì),單比是仿射不變量,關(guān)于圖形的仿射性質(zhì)。下面再利用仿射變換的代數(shù)表示推論一些仿射性質(zhì)與仿射不變量。定理1：兩條平行直線經(jīng)過仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線。證明：設(shè)在笛氏坐標(biāo)系下,已知二平行直線： 其中 ，經(jīng)過仿射變換后,，分別變?yōu)椋?令 ， 則 ； 于是 ， ， 但是 （因為否則將有，因此）所以，表示的兩直線平行。由定義1得到下面的兩種推論：推論1：兩條相交直線經(jīng)仿射變換后仍變成兩條相直線。推論2：共點的直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)楣颤c的直線。定理2：兩平行線段之比是仿射不變量。證明：設(shè)在笛氏直角坐標(biāo)系下，已知四點且經(jīng)過仿射變換后

10、變?yōu)椤?則由定理1知，所以， 由仿射變換可得 因此有又 ， 所以 ；推論：一直線上兩線段之比是仿射不變量。定理3：兩個三角形面積之比是仿射不變量。證明：在笛氏直角坐標(biāo)系下，已知不共線三點，則的面積為 的絕對值經(jīng)過仿射變換后變?yōu)?，則 ， 的面積為 的絕對值. 的絕對值. 的絕對值. 所以 同理，另一個三角形與其象三角形面積之比 ； 所以 根據(jù)定理3可得下面的兩個推論：推論1：兩個多邊形面積之比是仿射不變量。推論2：兩個封閉圖形面積之比是仿射不變量。例1：求一仿射變換，將橢圓變成一個圓。 解：設(shè)，則變換 是一個仿射變換，橢圓 經(jīng)過這個仿射變換后的象為 ；這是一個圓。當(dāng)然也可以經(jīng)過一個仿射變換將圓變

11、為橢圓（如例2）。由于圓和橢圓為仿射對應(yīng)圖形，所以可以從圓的某些性質(zhì)導(dǎo)出橢圓的一些性質(zhì)，如圖7，已知及其內(nèi)切圓，內(nèi)切圓與三邊形的切點順次為，則三線共點，經(jīng)過放射變換，圓的象為橢圓，三角形的象仍為三角形，又由于仿射變換保持結(jié)合性。所以圖7的對應(yīng)圖形為圖8，顯然有三線共點。（圖7）（圖8）例2：求橢圓的面積。解：設(shè)在笛氏直角坐標(biāo)系下橢圓的方程為，經(jīng)過仿射變換 其對應(yīng)圖形為圓 如圖9，在仿射變換之下，所以對應(yīng)，其中；有 , (圖9)所以 因此所給橢圓的面積為；4. 仿射變換的特殊情況仿射變換的特殊情況有幾種:(1)正交變換定義：平面上的變換,如果保持任何兩點的距離不變,即當(dāng)時必然有,這樣的變換叫做平

12、面上的正交變換。正交變換的代數(shù)表示式為 正交變換的系數(shù)必順滿足以下條件 （2）位似變換定義：在平面上取定一點,規(guī)定的象即自己,平面上其他點與其象點滿足以下條件:點在直線上單比 (為常數(shù)),則這種變換叫做位似變換,常數(shù)叫做位似比,定點叫做位似中心；（圖10） （圖11）在位似變換下,除位似中心外,其他任何兩點的連線與它們對應(yīng)點的連線平行,在圖10與圖11分別表示位似比與的情況,其中為位似中心，為三對對應(yīng)點。下面求位似變換的代數(shù)表示式。取笛氏直角坐標(biāo)系的原點為位似中心，設(shè)點在位似變換下變成點， 則 其中為位似比。更一般地，考慮變換 不難證明所表示的變換或者是一個以原點為位似中心的位似變換于一個平移

13、的乘積，或者是二者之中的一個（當(dāng)時為平移，當(dāng)時為位似變換）。(3)相似變換定義：平面上的變換,如果任何兩點，與其象點,滿足以下條件 (為常數(shù))則這種變換叫做相似變換.叫做相似比。相似變換是正交變換的推廣(時即為正交變換),正交變換保持圖形的大小與形狀都不變,而相似變換只保持圖形的形狀不變.但是不一定保持大小不變.相似變換可以表示為一個正交變換與一個位似變換的乘積.所以在笛氏直角坐標(biāo)系下,相似變換的代數(shù)表示式為其中為四個獨立參數(shù)。當(dāng)時,叫做同向相似變換；當(dāng)時,叫做異向相似變換。不難看出同向相似變換是第一種正交變換與位似變換的乘積，異 ( 圖12）向相變換是第二種正交變換與位似變換的乘積。注意：同向相似變換與異向相似變換也可以分別寫為其中 與 其中 相似變換具有以下性質(zhì)：共線點變?yōu)楣簿€點；共線三點的單比保持不變；兩直線所構(gòu)成的角度不變。(4)壓縮變換 定義：形式如 的變換叫做壓縮變換。仿射變換的特殊情況很多，不只以上幾種，這里不再一一列舉了?？偨Y(jié)上面論述了關(guān)于仿射變換與它的特殊情況的有些概念證明和例題。希望讀者在閱讀過程中進一步探索規(guī)律，總結(jié)證明方法，從而訊速，準(zhǔn)確的解決與仿射變換有關(guān)的問題，而不斷提高對仿射變換的了解。參考文獻梅向明，劉增賢等編，高等幾何，高等教育出版社 M 1983年11月第一版 (17-34)梅向明，劉增賢等編，高等