部分課外平面幾何定理證明

1、部分課外平面幾何定理證明一.四點(diǎn)共圓很有用的定理，下面的定理證明中部分會(huì)用到這個(gè)，這也是我把它放在第一個(gè)的原因。這個(gè)定理根據(jù)區(qū)域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，據(jù)筆者所知，北京中考是可以直接用的。其余的還是問問老師比較好。起碼在選擇題是大有用處的。二.三角形三垂線交于一點(diǎn)四點(diǎn)共圓的一次運(yùn)用。很多人都知道三垂線交于一點(diǎn)，在這里給出證明三三角形垂心是連接三垂直所得到新三角新的內(nèi)心 由三角形的三垂線可得多組四點(diǎn)共圓，一般有垂心的題都離不開四點(diǎn)共圓。估計(jì)這個(gè)結(jié)論在中考是不能直接用的，如果地區(qū)允許四點(diǎn)共圓的話稍微證一下就行了。四圓冪定理（在這里只是一部分） ·為割線定理、切割線定理于

2、相交弦定理的總稱。這個(gè)應(yīng)該是很多地方都允許用的，如果不能用的話也是稍微證一下就行了。五射影定理（歐幾里得定理） 什么也不說了，初中幾何里應(yīng)該是比較常用的。目測考試隨便用六三角形切線長公式 ·已知三角形三邊長可求內(nèi)切圓切點(diǎn)到頂點(diǎn)距離 可能是做的題比較少吧，很少見有這樣的中考題。推導(dǎo)也是很簡單的。七廣勾股定理 估計(jì)中考允許用的地方不多，除非你那允許“引理”這貨八弦切角定理 很簡單，估計(jì)每個(gè)地方都允許的。就算不把它當(dāng)定理，自己也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論九燕尾定理（共邊比例定理） 面積法思想，出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)可以用來證線段相等（例如下一個(gè)，重心），另外用于比例也是挺好使的。 中考的時(shí)候，直接用的話估計(jì)老師會(huì)

3、認(rèn)為你跳躍度太大，考慮的時(shí)候想到這個(gè)，證明的時(shí)候用面積法就行了。十海倫公式 已知三角形三邊可求其面積，可用余弦定理和正弦求面積公式推導(dǎo)，但余弦定理是高中知識（在后面會(huì)放出 來）所以不用在這里。另外公式里帶根號，若三邊中有根號的配湊一下應(yīng)該可以開根。 這里是海倫公式的一個(gè)探討，推廣至n邊形面積。在第五頁有海倫公式的各種變形，其中變形的個(gè)邊帶有平方，可以解決邊長帶根號的問題，缺點(diǎn)是過于冗繁。吧友可以根據(jù)自己的情況進(jìn)行探討。 中考嘛，一直不是很喜歡，過多的限制，不能發(fā)揮自己的能力。這個(gè)公式就不推薦考試的時(shí)候用了。十一重心 三中線交于一點(diǎn)。同垂心十二重心定理：重心把中線分為2:1兩部分。 總的來說這些

4、定理考試能用否得問老師，不能用的話，作平行線把推導(dǎo)過程代進(jìn)證明過程就算是側(cè)面使用定理了，肯定不會(huì)扣分的。十三歐拉線 由重心定理簡單得出 估計(jì)中考題都不會(huì)考共線神馬的（起碼廣東這地方是不會(huì)考的）。十四托勒密定理 很好用的一個(gè)競賽定理。中考填空就能用這個(gè)解，作垂線設(shè)方程就得出來了，其他人還向外做了正三角形神馬的。所以個(gè)人感覺了解多點(diǎn)知識對于考試或?qū)τ谂d趣都是挺好的十五余弦定理十六正弦定理十七賽瓦定理（ceva定理）十八梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理menelaus定理）如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/

5、EA)=1。十九調(diào)和點(diǎn)列二十中線定理·表述了三角形三邊與中線長的關(guān)系三角形一條中線兩側(cè)所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。即，對任意三角形ABC，設(shè)I是線段BC的中點(diǎn)，AI為中線，則有如下關(guān)系：AB2+AC2=2BI2+2AI2或作AB2+AC2=1/2BC2+2AI2二十一角平分線定理 ·角平分線的比例性質(zhì)二十二九點(diǎn)共園定理（歐拉圓、費(fèi)爾巴赫圓） 三角形三邊的中點(diǎn)，三條高的垂足，垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)這九點(diǎn)共圓二十三張角定理 在ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD。那么sinBAD/AC+sinCAD/AB=sinBAC/AD。 逆定理： 如果sinBA

6、D/AC+sinCAD/AB=sinBAC/AD，那么B,D,C三點(diǎn)共線。 定理的推論： 在定理的條件下，且BAD=CAD，即AD平分BAC，則B D C共線的充要條件是：2cosBAD/AD=1/AB+1/AC二十四蝴蝶定理 由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內(nèi)容：圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。二十五清宮定理設(shè)P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上二十六西姆

7、松定理（cave定理） 過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。二十七角元塞瓦定理 設(shè)P為平面上一點(diǎn)（不在AB、BC、AC三條直線上），且（sinBAP/sinPAC）（sinACP/sinPCB）（sinCBP/sinPBA）=1則AD、BE、CF三線共點(diǎn)或互相平行 推論若所引的三條線段都在ABC 內(nèi)部，則這三條直線共點(diǎn)。【暫時(shí)缺圖】二十八莫利定理 將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。二十九斯坦納定理 如果三角形中兩內(nèi)角平分線相等，則必為等腰三角形三十斯臺(tái)沃特定理（斯氏定理） 任意三角形ABC中，D是底邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD，則有：AB2×CD+AC2×BD=(AD2+BD×DC)×BC也可以有另一種表達(dá)形式：設(shè)BD=u，DC=v，則有：AD2=(b2×u+c2×v)/a-uv三十一笛沙格定理 平面上有兩個(gè)三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。三十二牛頓定理 牛頓定理1：四邊形兩條