高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之雙曲線(匯總解析版)

1、 圓錐曲線第2講 雙曲線【知識要點】1、 雙曲線的定義1. 雙曲線的第一定義：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之差的絕對值等于定長（）的點的軌跡叫雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距。注1：在雙曲線的定義中，必須強調(diào)：到兩個定點的距離之差的絕對值（記作），不但要小于這兩個定點之間的距離（記作），而且還要大于零，否則點的軌跡就不是一個雙曲線。具體情形如下：（）當(dāng)時，點的軌跡是線段的垂直平分線；（）當(dāng)時，點的軌跡是兩條射線；（）當(dāng)時，點的軌跡不存在；（）當(dāng)時，點的軌跡是雙曲線。特別地，若去掉定義中的“絕對值”，則點的軌跡僅表示雙曲線的一支。注2：若用表示動點，則雙曲線軌跡的幾何描

2、述法為（，），即。2. 雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到某一定點的距離與它到定直線的距離之比等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做雙曲線。2、 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1） 焦點在軸、中心在坐標(biāo)原點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（，）；（2） 焦點在軸、中心在坐標(biāo)原點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（，）.注：若題目已給出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，那其焦點究竟是在軸還是在軸，主要看實半軸跟誰走。若實半軸跟走，則雙曲線的焦點在軸；若實半軸跟走，則雙曲線的焦點在軸。2. 等軸雙曲線當(dāng)雙曲線的實軸與虛軸等長時（即），我們把這樣的雙曲線稱為等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）注：若題目已明確指出所要求的雙曲線為等軸雙曲線，則我們可設(shè)該等軸雙

3、曲線的方程為（），再結(jié)合其它條件，求出的值，即可求出該等軸雙曲線的方程。進(jìn)一步講，若求得的，則該等軸雙曲線的焦點在軸、中心在坐標(biāo)原點；若求得的，則該等軸雙曲線的焦點在軸、中心在坐標(biāo)原點。3、 雙曲線的性質(zhì)以標(biāo)準(zhǔn)方程（，）為例，其他形式的方程可用同樣的方法得到相關(guān)結(jié)論。（1） 范圍：，即或；（2） 對稱性：關(guān)于軸、軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱；（3） 頂點：左、右頂點分別為、；（4） 焦點：左、右焦點分別為、；（5） 實軸長為，虛軸長為，焦距為；（6） 實半軸、虛半軸、半焦距之間的關(guān)系為；（7） 準(zhǔn)線：；（8） 焦準(zhǔn)距：；（9） 離心率：且. 越小，雙曲線的開口越?。辉酱?，雙曲線的開口越大；（

4、10） 漸近線：；（11） 焦半徑：若為雙曲線右支上一點，則由雙曲線的第二定義，有，；（12） 通徑長：.注1：雙曲線（，）的準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為。注2：雙曲線的焦準(zhǔn)距指的是雙曲線的焦點到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。以雙曲線的右焦點和右準(zhǔn)線：為例，可求得其焦準(zhǔn)距為；注3：雙曲線的焦點弦指的是由過雙曲線的某一焦點與該雙曲線交于不同兩點的直線所構(gòu)成的弦。雙曲線的通徑指的是過雙曲線的焦點且垂直于其對稱軸的弦。通徑是雙曲線的所有焦點弦中最短的弦。設(shè)雙曲線的方程為（，），過其焦點且垂直于軸的直線交該雙曲線于、兩點（不妨令點在軸的上方），則，于是該雙曲線的通徑長為.四、關(guān)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要注意的幾個問題（

5、1） 關(guān)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，最基本的兩個問題是：其一，當(dāng)題目已指明曲線的位置特征，并給出了“特征值”（指、的值或它們之間的關(guān)系，由這個關(guān)系結(jié)合，我們可以確定出、的值）時，我們便能迅速準(zhǔn)確地寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；其二，當(dāng)題目已給出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，我們便能準(zhǔn)確地判斷出雙曲線的位置特征，并能得到、的值。（2） 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)、是雙曲線所固有的，與坐標(biāo)系的建立無關(guān)；、三者之間的關(guān)系：必須牢固掌握。（3） 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，實質(zhì)上是求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的未知參數(shù)、。根據(jù)題目已知條件，我們列出以、為未知參數(shù)的兩個方程，聯(lián)立后便可確定出、的值。特別需要注意的是：若題目中已經(jīng)指明雙曲線的焦點在

6、軸或軸上，則以、為未知參數(shù)的方程組只有一個解，即、只有一個值；若題目未指明雙曲線的焦點在哪個軸上，則以、為未知參數(shù)的方程組應(yīng)有兩個解，即、應(yīng)有兩個值。（4） 有時為方便解題，中心在坐標(biāo)原點的雙曲線的方程也可設(shè)為，但此時、必須滿足條件：. （5） 與橢圓不同，雙曲線中，最大，離心率，它除了有準(zhǔn)線，還有漸近線，而且漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)。對于漸近線：要掌握漸近線的方程；要掌握漸近線的傾斜角、斜率的求法；會利用漸近線方程巧設(shè)雙曲線方程，再運用待定系數(shù)法求出雙曲線的方程。（6） 雙曲線（，）的漸近線方程可記為，即；雙曲線（，）的漸近線方程可記為，即. 特別地，等軸雙曲線（）的漸近線方程為. 反過來講

7、，若已知某一雙曲線的漸近線方程為（，為給定的正數(shù)），則該雙曲線的實半軸與虛半軸具有關(guān)系：或.（7） 雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.證明：設(shè)雙曲線的方程為（，），其左、右焦點為、，漸近線方程為，即.則焦點到漸近線的距離，焦點到漸近線的距離.顯然故雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（8） 與橢圓類似，求雙曲線的離心率的值，就是要尋找除這一等量關(guān)系之外、之間的另一等量關(guān)系；求雙曲線的離心率的取值范圍，就是要尋找、之間的不等關(guān)系，有時還要適當(dāng)利用放縮法，這里面體現(xiàn)了方程和不等式的數(shù)學(xué)思想?！纠}選講】題型1：雙曲線定義的應(yīng)用1. 若一動點到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(shù)（），求點的軌跡方程.解：由題意

8、知，（），（）當(dāng)時，此時點的軌跡是線段的垂直平分線，其方程為（）當(dāng)時，此時點的軌跡是兩條射線，其方程分別為或（）當(dāng)時，此時點的軌跡是以為左、右焦點的雙曲線，其中實半軸長為，半焦距，虛半軸，所以其方程為.2. 方程表示的曲線是（）A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 雙曲線的左支 D. 雙曲線的右支解：設(shè)是平面內(nèi)一點，則方程 即為該式表示平面內(nèi)一點到兩個定點、的距離之差等于定長8. 顯然。故由雙曲線的第一定義知，點的軌跡是雙曲線，但僅是雙曲線的左支。3. 已知兩圓：，：，動圓與兩圓、都相切. 則動圓圓心的軌跡方程是_.解：圓：的圓心為，半徑為；圓：的圓心為，半徑為.動圓與兩圓、都相切，有以下四種情況：

9、（）動圓與兩圓、都外切；（）動圓與兩圓、都內(nèi)切；（）動圓與圓外切、與圓內(nèi)切；（）動圓與圓內(nèi)切、與圓外切.設(shè)動圓的半徑為由（）知，；由（）知，于是由（）、（）可知，點的軌跡方程是線段的垂直平分線，其方程為由（）知，由（）知，于是由（）、（）有，這表明，點的軌跡方程是以、為左、右焦點的雙曲線，其中， 即由（）、（）可知，點的軌跡方程為故動圓圓心的軌跡方程是或4. 已知直線與雙曲線有且僅有一個公共點，則=_.解：聯(lián)立得，（）當(dāng)，即時，直線與雙曲線有且僅有一個公共點或，不滿足題意.（）當(dāng)，即時，由直線與雙曲線有且僅有一個公共點可知，解得故或5. 已知過點的直線與雙曲線的右支交于、兩點，則直線的斜率的取

10、值范圍是_.解：在雙曲線中，由直線與雙曲線的右支交于、兩點知，直線的斜率由直線過點可知，直線的方程為，即設(shè)，聯(lián)立，得（）由題設(shè)條件及韋達(dá)定理，有解得：或故直線的斜率的取值范圍是注：對于中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的雙曲線而言，若某一直線與其左支交于不同的兩點，則當(dāng)聯(lián)立雙曲線方程與直線方程得到一個一元二次方程后，一般有四個結(jié)論：二次項系數(shù)不為零，判別式，兩交點的橫坐標(biāo)之和小于零，兩交點的橫坐標(biāo)之積大于零；若直線與其右支交于不同的兩點，則當(dāng)聯(lián)立雙曲線方程與直線方程得到一個一元二次方程后，一般也有四個結(jié)論：二次項系數(shù)不為零，判別式，兩交點的橫坐標(biāo)之和大于零，兩交點的橫坐標(biāo)之積大于零。這些基本結(jié)論在做題

11、時，必須格外注意。6. 已知雙曲線（）的兩個焦點分別為、，點為該雙曲線上一點，且，則=_.解：在雙曲線中， 在中，又代入得，故題型2：求雙曲線的方程7. （1）與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線的方程是_； （2）與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線的方程是_.解：（1）設(shè)所求雙曲線的方程是（）則由該雙曲線過點，有故所求雙曲線的方程是，即（2） 設(shè)所求雙曲線的方程是（）則由該雙曲線過點，有又由、得，故所求雙曲線的方程是8. 設(shè)是常數(shù)，若點是雙曲線的一個焦點，則該雙曲線的方程是_.解：在雙曲線中，而由題意知，故該雙曲線的方程是9. 已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，兩對稱軸都在坐標(biāo)軸上，且過、兩點，

12、則該雙曲線的方程是_.解：設(shè)所求雙曲線的方程為（）則由該雙曲線過、兩點，有故所求的雙曲線的方程是，即.10. 已知雙曲線：經(jīng)過點，兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的方程為_.解：由雙曲線：經(jīng)過點，有 由雙曲線的兩條漸近線的夾角為，并且其經(jīng)過點，可知聯(lián)立、，得，故雙曲線的方程為11. 已知雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共的焦點，則該雙曲線的方程是_.解：在橢圓中，于是橢圓的左、右焦點分別為、又所求雙曲線的離心率而于是，故所求雙曲線的方程為12. 與雙曲線有相同焦點，且經(jīng)過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解：在雙曲線中，于是雙曲線的左、右焦點分別為、據(jù)此可設(shè)所求雙曲線的方程為則由其過點，有又聯(lián)立、，得，故

13、所求雙曲線的方程為13. 已知雙曲線（）的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則該雙曲線的方程是_.解：由是所求雙曲線的一條漸近線知，由拋物線的準(zhǔn)線方程為知， 由、得，故該雙曲線的方程是題型3：雙曲線的性質(zhì)14. 雙曲線的實軸長是_.解：在雙曲線，即中，故該雙曲線的實軸長15. 雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)=_.解：在雙曲線，即中，即于是有故16. 設(shè)雙曲線（）的漸近線方程為，則=_.解：在雙曲線中，于是該雙曲線的漸近線方程為又由題意知，該雙曲線的漸近線方程為，即故17. 已知點和點的橫坐標(biāo)相同，點的縱坐標(biāo)是點的縱坐標(biāo)的2倍，點和點的軌跡分別為雙曲線和. 若的漸近線方程為，

14、則的漸近線方程為_.解：設(shè)的方程為（），的方程為（）設(shè)，則由題設(shè)條件知，于是由、兩點分別在和上，有又雙曲線的漸近線方程為 于是故雙曲線的漸近線方程為題型4：與雙曲線的焦點有關(guān)的三角形問題18. 設(shè)、為雙曲線的兩個焦點，點在該雙曲線上，且滿足，則的面積為_.解：在雙曲線中，于是，在中，又代入得， 故19. 已知橢圓（）與雙曲線（）有公共焦點，點是它們的一個公共點.（1）用和表示；（2）設(shè)，求.解：（1）在中，由余弦定理有點是橢圓與雙曲線的一個公共點，于是由、有故（2） 由（1）知，故題型5：雙曲線的離心率計算問題20. 已知點在雙曲線：（，）上，的焦距為4，則它的離心率為_.解：點在雙曲線：上又

15、雙曲線的焦距為4于是有由、得，或（舍去） ，故雙曲線的離心率21. 若一個雙曲線實軸的長度、虛軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率=_.解：由，成等差數(shù)列，有又（）（）式兩邊同時除以，得 解得：或（舍去）故該雙曲線的離心率22. 若雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則該雙曲線的離心率為_.解：（）當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，由題意知，于是而此時（）當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，由題意知，于是而此時故該雙曲線的離心率為或223. 已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_.解：由雙曲線的漸近線方程為，即可知，或當(dāng)時， ，即于是此時該雙曲線的離心率當(dāng)時， ，即，亦即于是此時該雙曲線的離心率故該雙曲線

16、的離心率為或24. 設(shè)，則曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D. 解：由，有，于是方程表示的曲線是雙曲線在雙曲線，即中，而于是又雙曲線的離心率故25. 已知、是雙曲線：（，）的左、右焦點，點在上，與軸垂直，且，則的離心率為_.解：（法一）軸又，即于是 又（）（）式兩邊同時除以，得 解得：或（舍去）故雙曲線的離心率（法二），等式中的表示的外接圓的直徑.故雙曲線的離心率26. 設(shè)雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為，如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么該雙曲線的離心率為_.解：設(shè)雙曲線的方程為（）則該雙曲線的漸近線方程為設(shè)，則在該雙曲線的兩條漸近線中，與直線垂直的一條漸近線方程為：

17、由，有 ，即又，此即 解得：又故該雙曲線的離心率題型6：與雙曲線有關(guān)的綜合問題27. 若曲線與曲線（）恰有三個交點，則=_.解：曲線表示左、右焦點分別為，的雙曲線，其左、右頂點分別為，曲線（）表示圓心為，半徑為的圓雙曲線與圓恰有三個交點圓與雙曲線的左支交于點于是有又故28. 已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點、在坐標(biāo)軸上，且過點.（1）求該雙曲線的離心率；（2）求該雙曲線的方程；（3）若點在該雙曲線上，證明：.解：（1）在等軸雙曲線中，實軸長=虛軸長，即故等軸雙曲線的離心率（2） 所求雙曲線為等軸雙曲線可設(shè)其方程為（）又該雙曲線過點 故所求雙曲線的方程為，即（3） 在雙曲線中， 于是，又，于是又

18、點在雙曲線上故29. 若點和點分別為雙曲線（）的中心和左焦點，點為該雙曲線右支上任意一點，則的取值范圍是_.解：在雙曲線中，由可知，于是該雙曲線的方程為設(shè)，則由點在雙曲線右支上知，令，其對稱軸為函數(shù)在上單調(diào)遞增于是對任意的，都有這表明，故的取值范圍是30. 已知橢圓：（）與雙曲線：有公共的焦點，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于、兩點，若恰好將線段三等分，則橢圓的方程為_.解：由橢圓：與雙曲線：有公共的焦點知， 于是橢圓的方程可化為，即雙曲線：的一條漸近線方程為設(shè)線段被橢圓所截得的弦為，則，且聯(lián)立得，由此有于是有 解得：（舍去） 于是故橢圓的方程為31. 過點且與雙曲線有一個公共點的直線方

19、程為_.解：顯然，點在雙曲線外（1）當(dāng)所求直線的斜率不存在時，顯然，過點且與雙曲線有一個公共點的直線方程為（2）當(dāng)所求直線的斜率存在時，不妨設(shè)其斜率為則由其過點可知，所求直線的方程為，即聯(lián)立，得（）（）若，則當(dāng)時，由（）式，有無解，不滿足題意，舍去當(dāng)時，由（）式，有而此時所求直線的方程為將代入中，得即此時所求直線與雙曲線的唯一公共點為，滿足題意于是當(dāng)時，所求直線的方程為（）若，即，則對（）式，由所求直線與雙曲線僅有一個公共點，有，而這顯然與矛盾，舍去于是當(dāng)時，所求直線不存在故所求直線的方程為或32. 過點且與雙曲線有一個公共點的直線方程為_.解：顯然，點在雙曲線外由題意知，所求直線的斜率是存在

20、的，不妨設(shè)為則由其過點可知，所求直線的方程為，即聯(lián)立，得（）（）若，則當(dāng)時，由（）式，有而此時所求直線的方程為將代入中，得即此時所求直線與雙曲線的唯一公共點為，滿足題意當(dāng)時，由（）式，有而此時所求直線的方程為將代入中，得即此時所求直線與雙曲線的唯一公共點為，滿足題意于是當(dāng)時，所求直線的方程為（）若，即，則對（）式，由所求直線與雙曲線僅有一個公共點，有，即，滿足題意 于是當(dāng)時，所求直線的方程為故所求直線的方程為或33. 已知雙曲線：.（1） 求雙曲線的漸近線方程；（2） 已知點的坐標(biāo)為，設(shè)是雙曲線上的點，是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點. 記，求的取值范圍.解：（1）在雙曲線中，故該雙曲線的漸近線方程為

21、（2） 設(shè)則又，于是又點在雙曲線上于是，其中或?qū)τ诤瘮?shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減對任意的，都有對于函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增對任意的，都有故對任意的，總有，即的取值范圍是.34. 已知雙曲線的頂點和焦點分別是橢圓的焦點和頂點.（1） 求橢圓的方程；（2） 已知橢圓上的定點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，設(shè)點是橢圓上的任意一點，若直線和的斜率都存在且不為零，試問直線和的斜率之積是定值嗎？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；（3） 對于橢圓長軸上的某一點（不含端點），過作動直線（不與軸重合）交橢圓于、兩點，若點滿足：，證明：.解：（1）在雙曲線中，于是該雙曲線的左右頂點分別為；左右焦點分別為設(shè)橢圓的方程為（）則由題

22、意知，于是故橢圓的方程為（2） 點是橢圓：上的定點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，顯然點也在橢圓上設(shè)則，于是又點和點都在橢圓：上于是有 -得，于是故，即直線和的斜率之積為定值（3） （）當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)其斜率為則由其過點可知，直線的方程為，即橢圓的方程可化為設(shè)，聯(lián)立，得由韋達(dá)定理，有于是又而由，有于是，即故（）當(dāng)直線垂直于軸時，由橢圓的對稱性可知，綜上可知，總有35. 已知雙曲線（）的左右焦點分別為、，直線過點且與該雙曲線交于、兩點.（1） 若直線的傾斜角為，是等邊三角形，求該雙曲線的漸近線方程；（2） 設(shè). 若直線的斜率存在，且，求直線的斜率.解：（1）在雙曲線中，直線的傾斜角為、兩點關(guān)于軸對稱

23、，并且點的橫坐標(biāo)于是又是等邊三角形于是有 解得：或（舍去）故該雙曲線的漸近線方程為（2） 當(dāng)時，雙曲線的方程為由，得，又直線的斜率存在，不妨設(shè)為則由直線過點可知，直線的方程為，即雙曲線的方程可化為設(shè)，聯(lián)立，得 顯然由韋達(dá)定理，有又而，（）又，由（）式有，而于是有 ，即， 解得：故直線的斜率為或【雙曲線中常用的幾種數(shù)學(xué)思想方法】1、 數(shù)形結(jié)合思想1. 已知為一定點，為雙曲線的右焦點，在雙曲線的右支上移動，則當(dāng)最小時，點的坐標(biāo)是_.解：在雙曲線中，其離心率，右準(zhǔn)線：過點作于點則由雙曲線的第二定義知，于是，當(dāng)且僅當(dāng)、三點共線時，最小，且.由、三點共線有，把代入雙曲線方程中，得于是或（舍去）故點的坐標(biāo)為2、 對稱思想2. 若曲線與曲線恰有三個交點，則實數(shù)的值為_.解：（法一）由于變量在兩個方程中都以平方的形式出現(xiàn)，因此若是兩曲線的一個交點，則也是它們的一個交點.這表明，一般情況下，這兩個曲線的交點個數(shù)不可能有三個（奇數(shù)個），除非有，即.把代入中，得或把或，代入中，得或，即或若，則兩