近世代數(shù)期末考試試題（卷）與答案解析

1、 一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、設(shè)G 有6個元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集（ ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代數(shù)系統(tǒng)（G，*）中，（ ）不是群 A、G為整數(shù)集合，*為加法 B、G為偶數(shù)集合，*為加法 C、G為有理數(shù)集合，*為加法 D、G為有理數(shù)集合，*為乘法 3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運算是可結(jié)合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、設(shè)、是三個置換，其中=（12）（23）（13

2、），=（24）（14），=（1324），則=（ ）A、 B、 C、 D、5、任意一個具有2個或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交換群二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、凱萊定理說：任一個子群都同一個-同構(gòu)。2、一個有單位元的無零因子-稱為整環(huán)。3、已知群中的元素的階等于50，則的階等于-。4、a的階若是一個有限整數(shù)n，那么G與-同構(gòu)。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-。6、若映射既是單射又是滿射，則稱為-。7、叫做域的一個代數(shù)元，如果存在的-使得。8、是代數(shù)系統(tǒng)的元素，對

3、任何均成立，則稱為-。9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結(jié)合律成立、-。10、一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是-。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、設(shè)集合A=1,2,3G是A上的置換群，H是G的子群，H=I,(1 2)，寫出H的所有陪集。2、設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，“”是數(shù)的乘法，則“”是E中的運算，（E，）是一個代數(shù)系統(tǒng)，問（E，）是不是群，為什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、若<G，*>是群

4、，則對于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、設(shè)m是一個正整數(shù)，利用m定義整數(shù)集Z上的二元關(guān)系：ab當且僅當mab。近世代數(shù)模擬試題三一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（ ）。A、2階B、3 階 C、4 階 D、 6 階2、設(shè)G是群，G有（ ）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個 B、5個 C、6個 D、7個3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于（ ）。A、偶數(shù) B、奇數(shù) C、4的倍數(shù) D、2的正整數(shù)次冪4、下列哪個偏序集構(gòu)成有

5、界格（ ）A、（N,） B、（Z,） C、（2,3,4,6,12,|（整除關(guān)系） D、 (P(A),)5、設(shè)S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（ ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是-的，每個元素的逆元素是-的。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則-。3、區(qū)間1，2上的運算的單位元是-。4、可換群G中|a|=6,|x|=8

6、,則|ax|=。5、環(huán)Z8的零因子有 -。6、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)-。7、從同構(gòu)的觀點，每個群只能同構(gòu)于他/它自己的-。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的-。9、設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為-。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？2、S1，S2是A的子環(huán)，則S1S2也是子環(huán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？3、設(shè)有置換，。1求和；2確定置換和的奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群

7、，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。近世代數(shù)模擬試題一 參考答案一、單項選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、；2、單位元；3、交換環(huán)；4、整數(shù)環(huán)；5、變換群；6、同構(gòu);7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積： 可知為奇置換，為偶置換。 和可以寫成如下對換的乘積： 2、解：設(shè)A是任意方陣，令，則B是對稱矩陣，而C是反對稱矩陣，且。若令有，這里和分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則，而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于

8、是兩邊必須都等于0，即：，所以，表示法唯一。3、答：（，）不是群，因為中有兩個不同的單位元素0和m。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、對于G中任意元x，y，由于，所以（對每個x，從可得）。2、證明在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個商域 證畢。近世代數(shù)模擬試題二 參考答案一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群；2、交換環(huán)；3、25；4、模n乘余類加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；

9、三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：H的3個右陪集為：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 )H的3個左陪集為：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（E，）不是群，因為（E，）中無單位元。3、解 方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(

10、a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明 設(shè)e是群<G，*>的幺元。令xa1*b，則a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若x¢G也是a*xb的解，則x¢e*x¢(a1*a)*x¢a1*(a*x¢)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易證明這樣的關(guān)系是Z上的一個等價關(guān)系，把這樣定義的等價類集合記為Zm，每個整數(shù)a所在的等價類記為a=xZ；mxa或者也可記為，稱之為模m剩余類。若mab也記

11、為ab(m)。當m=2時，Z2僅含2個元：0與1。近世代數(shù)模擬試題三 參考答案一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解 在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，等等，可得總共8種。2、證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2：因為S1，S2是A的子環(huán)，故a-b, abS1和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以S1S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解： 1，；2兩個都是偶