解析幾何求軌跡方程的常用方法

1、解析幾何求軌跡方程的常用方法求軌跡方程的一般方法：1. 定義法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。 2. 直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。 3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系xf（t），yg（t），

2、進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）0。 4. 代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把P的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。5：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。一：用定義法求軌跡方程例1：已知的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C

3、 為動(dòng)點(diǎn)，且滿足求點(diǎn)C的軌跡。例2： 已知中，、的對邊分別為、，若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，求頂點(diǎn)的軌跡方程.【變式】：已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程?！咀兪健浚篊：內(nèi)部一點(diǎn)與圓周上動(dòng)點(diǎn)Q連線AQ的中垂線交CQ于P，求點(diǎn)P的軌跡方程.二：用直譯法求軌跡方程例3：一條線段兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，且BM=a，AM=b，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程？【變式】: 動(dòng)點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？三：用參數(shù)法求軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注

4、意參數(shù)的取值范圍。例4過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。例5: 過拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【變式】過圓O：x2 +y2= 4 外一點(diǎn)A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡。四：用代入法求軌跡方程 例6. 軌跡方程。yQOxNP例7: 如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【變式】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程 五、用交軌法求軌跡方

5、程例8.已知橢圓（abo）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2，求A1P1與A2P2交點(diǎn)M的軌跡方程.xA1A2OyNMP例9： 如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀.六、用點(diǎn)差法求軌跡方程例10. 已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；課后作業(yè)1.在中，B，C 坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，則點(diǎn)A的軌跡方程是_.2.兩條直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是 _ .3.已知圓的方程為(x-1)2+y

6、2=1,過原點(diǎn)O作圓的弦0A，則弦的中點(diǎn)M的軌跡方程是 _4.當(dāng)參數(shù)m隨意變化時(shí)，則拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程為_。5:點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程為_。6:求與兩定點(diǎn)距離的比為1：2的點(diǎn)的軌跡方程為_7.拋物線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在拋物線上，求ABC重心P的軌跡方程。8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點(diǎn)P的軌跡方程。9.過原點(diǎn)作直線l和拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。10、已知定點(diǎn)A ( 3, 0 )，P是圓x 2 + y 2 = 1上的動(dòng)點(diǎn)，AOP的平分線交AP于M

7、，求M點(diǎn)的軌跡。11、已知常數(shù)，經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)，且以為方向向量的直線相交于點(diǎn)，其中 求點(diǎn)的軌跡的方程，它是什么曲線； 若直線與曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，求曲線的離心率的范圍12、過點(diǎn)，作直線l交雙曲線于A、B不同兩點(diǎn)，已知。（1）、求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（2）、是否存在這樣的直線，使若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。補(bǔ)充例題：1.過拋物線 y 2 = 4 p x ( p 0 )的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡。2.已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2的外角平分線為l

8、，點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R (1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值 POx yABCD圖11-5-13如圖11-5-1，已知圓： 點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，直線與垂直，并交圓于另一點(diǎn). （1）求證：； （2）若點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程.求軌跡方程的常用方法 答案CByxOA例1：由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點(diǎn)）。例2：解：如右圖，以直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系. 由題意，構(gòu)成等差數(shù)列，

9、即，又，的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中，故的軌跡方程為.【變式】解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動(dòng)圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【解答】令動(dòng)圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。二：用直譯法求曲線軌跡方程例3： 一條線段AB的長等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？解 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為 由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點(diǎn)的軌跡是

10、以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點(diǎn)評】此題中找到了OM=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設(shè)條件的等式：有時(shí)題中無坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運(yùn)用有關(guān)公式：有時(shí)要運(yùn)用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時(shí)動(dòng)點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時(shí)可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分

11、析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法.【變式2】: 動(dòng)點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？【解答】|PA|=代入得化簡得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例4 【解析】分析1：從運(yùn)動(dòng)的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)是由直線l1引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法1：設(shè)M（x，y），設(shè)直線l1的方程為y4k（x2），（k） M為AB的

12、中點(diǎn)， 消去k，得x2y50。 另外，當(dāng)k0時(shí)，AB中點(diǎn)為M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當(dāng)k不存在時(shí)，AB中點(diǎn)為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。 綜上所述，M的軌跡方程為x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21時(shí)，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用PAB為直角三角形的幾何特性： 解法2：設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB為直角三角形化簡，得x2y50，此即M的軌跡方程。分析3：設(shè)M（x，y），由已知l1l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點(diǎn)坐標(biāo)表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)。事

13、實(shí)上，由M為AB的中點(diǎn)，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法3：設(shè)M（x，y），M為AB中點(diǎn)，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2過點(diǎn)P（2，4），且l1l2 PAPB，從而kPAkPB1， 注意到l1x軸時(shí)，l2y軸，此時(shí)A（2，0），B（0，4） 中點(diǎn)M（1，2），經(jīng)檢驗(yàn)，它也滿足方程x2y50 綜上可知，點(diǎn)M的軌跡方程為x2y50?！军c(diǎn)評】1） 解法1用了參數(shù)法，消參時(shí)應(yīng)注意取值范圍。解法2，3為直譯法，運(yùn)用了kPAkPB1，這些等量關(guān)系。用參數(shù)法求解時(shí)，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時(shí)間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體

14、的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響例5: 解：設(shè)，直線的斜率為，則直線的斜率為.直線OA的方程為，由解得，即，同理可得.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，消去，得，此即點(diǎn)的軌跡方程.【變式】過圓O：x2 +y2= 4 外一點(diǎn)A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡。解法一：“幾何法” 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)M 是弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC, 所以|OM | | ，即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化簡得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)M的軌跡方程為 （x2）2+ y2

15、=4 （0x1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法” 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2,所以x1.所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程 例6. 軌跡方程。 分析：

16、題中涉及了三個(gè)點(diǎn)A、B、M，其中A為定點(diǎn)，而B、M為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，顯然M的運(yùn)動(dòng)是由B的運(yùn)動(dòng)而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點(diǎn)，故采用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。 【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0） 則由M為線段AB中點(diǎn)，可得 即點(diǎn)B坐標(biāo)可表為（2x2a，2y）yQOxNP 【點(diǎn)評】代入法的關(guān)鍵在于找到動(dòng)點(diǎn)和其相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)間的等量關(guān)系例7 如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，則.在直線上， 又得即.聯(lián)解得.又點(diǎn)在雙曲線上，化簡整理得：，此即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【變式】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A

17、、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程 【解析】： 設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng) 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 用交軌法求軌跡方程 例9

18、解：設(shè)及，又，可得直線的方程為；直線的方程為.得. 又，代入得，化簡得，此即點(diǎn)的軌跡方程. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓.六、用點(diǎn)差法求軌跡方程例10.分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）課后作業(yè)：【正確解答】ABC為三角形，故A，B，C不能三點(diǎn)共線。軌跡方程里應(yīng)除去點(diǎn)，即軌跡方程為2.兩條直線與的

19、交點(diǎn)的軌跡方程是 .【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點(diǎn)O作圓的弦0A，則弦的中點(diǎn)M的軌跡方程是 .【解答】:令M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,則A的坐標(biāo)為(2,代入圓的方程里面得:4:當(dāng)參數(shù)m隨意變化時(shí)，則拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程為【分析】：把所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y分別用已有的參數(shù)m來表示，然后消去參數(shù)m，便可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程?！窘獯稹浚簰佄锞€方程可化為它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為消去參數(shù)m得：故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為。5:點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程為【分析】：點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，意味著點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0

20、）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出點(diǎn)M的軌跡方程。【解答】：依題意，點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點(diǎn)距離的比為1：2的點(diǎn)的軌跡方程為_【分析】:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P，由題意，則依照點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件，可列出等量關(guān)系式。【解答】：設(shè)是所求軌跡上一點(diǎn)，依題意得由兩點(diǎn)間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在拋物線上，求ABC重心P的軌跡方程。【分析】：拋物線的焦點(diǎn)為。設(shè)ABC重心P的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為。其中【解答】：因點(diǎn)是重心，則由分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：即由點(diǎn)