解析幾何第四版呂林根課后答案

1、第一章 矢量與坐標§1.1 矢量的概念1.下列情形中矢量終點各構成什么圖形？ （1）把空間中一切單位矢量歸結到共同的始點； （2）把平行于某一平面的一切單位矢量歸結到共同的始點； （3）把平行于某一直線的一切矢量歸結到共同的始點；（4）把平行于某一直線的一切單位矢量歸結到共同的始點. 解：（1）單位球面； （2）單位圓 A F B E C （3）直線； （4）相距為2的兩點2. 設點O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、 、O、 、和中，哪些矢量是相等的？解：如圖1-1，在正六邊形ABCDEF中，相等的矢量對是： 圖1-13. 設在平面上給了一個四邊形ABCD，點K、L、M、N分別

2、是邊、 的中點，求證：. 當ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立？證明：如圖1-2，連結AC, 則在DBAC中， KLAC. 與方向相同；在DDAC中，NMAC. 與方向相同，從而KLNM且與方向相同，所以. 4. 如圖1-3，設ABCD-EFGH是一個平行六面體，在下列各對矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：圖13(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 解：相等的矢量對是（2）、（3）和（5）； 互為反矢量的矢量對是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量應滿足什么條件？（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）所

3、在的直線垂直時有； （2）同向時有 （3）且反向時有 （4）反向時有 （5）同向，且時有§1.3 數量乘矢量1 試解下列各題 化簡 已知，求，和 從矢量方程組，解出矢量，解 ， ， 2 已知四邊形中，對角線、的中點分別為、，求 解 3 設，證明：、三點共線 證明 與共線，又為公共點，從而、三點共線 4 在四邊形中，證明為梯形 證明 ，為梯形6. 設L、M、N分別是ABC的三邊BC、CA、AB的中點，證明：三中線矢量, , 可 以構成一個三角形. 證明： 從而三中線矢量構成一個三角形。7. 設L、M、N是ABC的三邊的中點，O是任意一點，證明+=+. 證明 = 由上題結論知：8. 如圖

4、1-5，設M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點，證明+4.圖1-5證明：因為(+), (+),所以 2(+)所以+4.9 在平行六面體（參看第一節(jié)第4題圖）中，證明 證明 10. 用矢量法證明梯形兩腰中點連續(xù)平行于上、下兩底邊且等于它們長度和的一半 證明 已知梯形，兩腰中點分別為、，連接、 ， ， ，即 ，故平行且等于11. 用矢量法證明，平行四邊行的對角線互相平分. 證明：如圖1-4，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點圖1-4但 由于而不平行于， ，從而OA=OC，OB=OD。12. 設點O是平面上正多邊形A1A2An的中心，證明:+.證明：因為l,l,+l,l,所以

5、2(+)l(+),所以 (l2)(+).顯然 l2, 即 l20. 所以 +.13在12題的條件下，設P是任意點，證明：證明： 即 §1.4 矢量的線性關系與矢量的分解1在平行四邊形ABCD中，（1）設對角線求解：設邊BC和CD的（2）中點M和N，且求。解：2在平行六面體ABCD-EFGH中，設三個面上對角線矢量設為試把矢量寫成的線性組合。證明：， ，圖1-73. 設一直線上三點A, B, P滿足l(l¹1),O是空間任意一點，求證：證明：如圖1-7，因為,所以 l (),(1+l)+l, 從而 .4. 在中,設.(1) 設是邊三等分點,將矢量分解為的線性組合;（2）設是角

6、的平分線(它與交于點),將分解為的線性組合解：（1）， ，同理（2）因為 ,且 與方向相同，所以 .由上題結論有.5在四面體中，設點是的重心（三中線之交點），求矢量對于矢量的分解式。解：是的重心。連接并延長與BC交于P同理 C O （1） G P （2）A B （3） （圖1）由（1）（2）（3）得 即6用矢量法證明以下各題（1）三角形三中線共點證明：設BC，CA，AB中，點分別為L，M，N。AL與BM交于，AL于CN交于 BM于CN交于，取空間任一點O，則 A A 同理 N M B L C 三點重合 O 三角形三中線共點 （圖2） （第3頁）7已知矢量不共線，問與是否線性相關？證明：設存在不

7、全為0的，使得即 故由已知不共線得與假設矛盾， 故不存在不全為0的，使得成立。所以線性無關。8. 證明三個矢量+3+2, 46+2，3+1211共面，其中能否用,線性表示？如能表示，寫出線性表示關系式.證明：由于矢量, , 不共面，即它們線性無關. 考慮表達式 l+m+v，即l (+3+2)+m (46+2)+v (3+1211),或 (l+4m3v) +(3l6m12v) +(2l+2m11v) .由于, , 線性無關，故有解得 l10，m1，v2.由于 l10¹0，所以能用,線性表示.9證明三個矢量共面。證明： 三個矢量線性相關，從而三個矢量共面。l(),所以 l,從而 /.故

8、A，B，C三點共線. §1.5 標架與坐標3. 在空間直角坐標系O;下，求P(2,3,1)，M(a, b, c)關于 (1) 坐標平面；(2) 坐標軸；(3) 坐標原點的各個對稱點的坐標.解：M (a, b, c)關于xOy平面的對稱點坐標為(a, b, c)，M (a, b, c)關于yOz平面的對稱點坐標為(a, b, c)，M (a, b, c)關于xOz平面的對稱點坐標為(a,b, c)，M (a, b, c)關于x軸平面的對稱點坐標為(a,b,c)，M (a, b, c)關于y軸的對稱點的坐標為(a, b,c)，M (a, b, c)關于z軸的對稱點的坐標為(a,b, c)

9、.類似考慮P (2,3，1)即可.8. 已知矢量, , 的分量如下：(1) 0, 1, 2，0, 2, 4，1, 2, 1；(2) 1, 2, 3，2, 1, 0，0, 5, 6.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式.解:(1) 因為 0,所以 , , 三矢量共面, 又因為, 的對應坐標成比例，即/，但，故不能將表成, 的線性組合. (2) 因為 0,所以 , , 三矢量共面.又因為 , 的對應坐標不成比例，即，故可以將表成, 的線性組合.設 l+m, 亦即0, 5, 6l1, 2, 3+m2, 1, 0從而 解得 l2，m1,所以 2.7已知A,B,C三點坐標如下

10、：（1）在標架下，（2）在標架下，判別它們是否共線？若共線，寫出和的線形關系式.解：（1）因為 所以 共線（2）設，但不存在所以不共線.得 所以 .9. 已知線段AB被點C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,試求這個線段兩端點A與B的坐標.答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).10.證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍. 用四面體的頂點坐標把交點坐標表示出來.證明：設四面體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(i1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點Pi，使3, 從而，設Ai (xi, yi, zi)

11、(i1, 2, 3, 4)，則G1,G2,G3,G4,所以P1(,)ºP1(,).同理得P2ºP3ºP4ºP1，所以AiGi交于一點P，且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的三倍.§1.6 矢量在軸上的射影1已知矢量與單位矢量的夾角為，且，求射影矢量與射影，又如果，求射影矢量與射影.解 射影= 射影矢量= 射影= 射影矢量=2試證明：射影l(fā)(ll+ln)l1射影l(fā)+射影l(fā)+ln射影l(fā).證明：用數學歸納法來證.當n2時，有射影l(fā)(l1l2)射影l(fā)()+射影l(fā)()l1射影l(fā)+l2射影l(fā).假設當nk時等式成立，即有射影l(fā)()l1射影l(fā)+lk射影l(fā). 欲證當nk+1時亦然. 事實上射影l(fā)()射影l(fā)()+射影l(fā)()+射影l(fā)()