初中常見動(dòng)點(diǎn)問題解題方法45770

1、初中常見動(dòng)點(diǎn)問題解題方法初中常見動(dòng)點(diǎn)問題解題方法 唐江紅旗學(xué)校 張遠(yuǎn)強(qiáng)引言引言 以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題.動(dòng)態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點(diǎn)是圖形中的某些元素（點(diǎn)、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素?cái)?shù)量和關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋. 常見的動(dòng)點(diǎn)問題常見的動(dòng)點(diǎn)問題一、求最值問題二、動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形問題一、一、求最值問題求最值問題 初中利用軸對(duì)稱性質(zhì)實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”求幾何圖形中一些線段和最小值

2、問題。利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個(gè)： （1）兩點(diǎn)之間線段最短； （2）三角形兩邊之和大于第三邊； （3）垂線段最短。 求線段和最小值問題可以歸結(jié)為：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題。一、一、求最值問題求最值問題 例、如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，使PD+PE的值最小，則其最小值是 _ 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)特點(diǎn)：特點(diǎn)： 已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一 動(dòng)點(diǎn)的位置，使動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)線段和最小，求出最小值。動(dòng)點(diǎn)的位置，使動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)線

3、段和最小，求出最小值。思路：思路： 解決這類題目的方法是找出其中一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，解決這類題目的方法是找出其中一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)， 連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn) 滿足最值的位置。滿足最值的位置。 考題中，經(jīng)常利用本身就具有對(duì)稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等考題中，經(jīng)常利用本身就具有對(duì)稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)就在這個(gè)圖形上點(diǎn)就在這個(gè)圖形上。32p練習(xí)1、如圖，等邊AB

4、C的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則ECF的度數(shù)為（ ）A15 B.22.5 C.30 D. 45 2、如圖，在直角梯形中，ADBC，ABBC,AD=2， BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，當(dāng)PA+PD取得最小值時(shí)，APD中AP邊上的高為 _ 3、如圖， O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在 O上，OAOB, AOC=60，P是OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是_ 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（一）兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（一）特點(diǎn)：已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間， 分別在兩直線上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)使線段和最小。思路：這類問題通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對(duì)稱

5、 點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”，把線段“移”到同 一直線上來解決。例例、如圖，AOB=45，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值是_ 。BA PPEF例例、如圖，AOB=45，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值是_ 。解析：解析：P P連接與OB，OA的交點(diǎn)即為R、Q過OB作P的對(duì)稱點(diǎn)P連接 OP，O P P過OA作P的對(duì)稱點(diǎn)9090P PPQR周長(zhǎng)的最小值=210OP=O POP=P P由對(duì)稱性知： PR+PQ+RQ=P PO=10 練習(xí)1. 如圖，已知AOB的大小為，P是AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP=2，

6、點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若PEF周長(zhǎng)的最小值等于2，則=（ ）A30 B.45 C.60 D.902. 如圖，AOB=30，內(nèi)有一點(diǎn)P且OP=2，若M、N為邊OA、OB上兩動(dòng)點(diǎn)，那么PMN的周長(zhǎng)最小為（ ）A26 B.6 C. 6/2 D. 6 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（二）兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（二）特點(diǎn)：兩動(dòng)點(diǎn)在兩條直線上，定點(diǎn)和其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)共特點(diǎn)：兩動(dòng)點(diǎn)在兩條直線上，定點(diǎn)和其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)共 線，求不共線動(dòng)點(diǎn)分別到定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距線，求不共線動(dòng)點(diǎn)分別到定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距 離和最小值離和最小值。思路：（思路：（1 1）利用軸對(duì)稱變換，使不共線動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)）利用軸對(duì)稱變換，使不共線動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng) 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的

7、連線段上（點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的連線段上（兩點(diǎn)之間線段兩點(diǎn)之間線段 最短最短） 例例 、如圖，在銳角ABC中AB=42,BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 _（2 2）這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直）這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直線時(shí)，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段線時(shí)，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 例例 、如圖，在銳角ABC中，AB=42,BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 _CDMBNANCBDNMNA解析：解析：作點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N

8、此時(shí)BMMNBMMN要使BMMN最小則要滿足： B，M，三點(diǎn)共線NBM+MN的最小值 B =AB B垂直于 ACNN練習(xí)1. 如圖，在ABC中，C=90，CB=CA=4，A的平分線交BC于點(diǎn)D，若點(diǎn)P、Q分別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CQ+PQ的最小值是_2. 在銳角三角形ABC中，AB=4，BAC=60，BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 _ 小結(jié) 以“搬點(diǎn)移線”為主要方法，利用軸對(duì)稱性質(zhì)求解決幾何圖形中一些線段和最小值問題。如何實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”（1）確定被“搬”的點(diǎn)（2）確定被“移”的線二、動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形二、動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形 問題背景是特殊圖形,考

9、查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置).分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決。ABCD 如圖：梯形ABCD中，AD/BC，AD=9cm,BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AD的方向向終點(diǎn)D以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APCB為平行四邊形.P問題導(dǎo)入ABCDP解析解析6t四邊形APCB為平行四邊形 AP=6 t=6動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形解題方法動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形解題方法4、根據(jù)所求,利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關(guān)系

10、， 找出等量關(guān)系列出方程來解決動(dòng)點(diǎn)問題2、先確定特定圖形中動(dòng)點(diǎn)的位置,畫出符合題意 的圖形化動(dòng)為化動(dòng)為靜靜3、根據(jù)已知條件，將動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)距離以及解決 問題時(shí)所需要的條件用含t的代數(shù)式表示出來1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程;思考運(yùn)動(dòng)初始狀 態(tài)時(shí)幾何元素的關(guān)系，以及可求出的量 如圖，在RtABC中，B=90，BC=5 ，C=30.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）.過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF

11、；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由.3例題講解（1）求證：AE=DF解析： At2ttCB又AE=t，AE=DF。在DFC中，DFC=90o o，C=3030o o，DC=2t,DF=t 3030o o1單位/s2單位/s53030o o3（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.At2ttCB解析：能，理由如下，ABBC，DFBC，四邊形AEFD為平行四邊形。由（1）知AE=DFAE DF在RtABC中，設(shè)AB=x, 則AC=2x, 解得x= 5 ,即AB=

12、 5 ,AC=10. 若使平行四邊形AEFD為菱形，則須AD=AE，即t= 10 -2t, t= 即當(dāng)t= 時(shí)，四邊形AEFD為菱形。3030o o1單位/s2單位/s53030o o331031010-2t10-2t222ABBCAC222532XX（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由.At2tCB 若EDF=90o時(shí)，則四邊形EBFD為矩形3030o o10-2t10-2t解析在RtAED中，ADE=C=30o ,AD=2AE即10-2t=2t,t=3030o o當(dāng)EDF=90o時(shí)1單位/s2單位/s53030o o3即10-2t= t（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由.At2tCB當(dāng)DEF=90o時(shí)解析：由（2）知EFADADE=DEF=90oA=90o-C=60oAD= AE2121則t=41