矩陣在線性方程組中的應(yīng)用

1、 矩陣在線性方程組中的應(yīng)用摘 要 矩陣和線性方程組都是高等數(shù)學的重要教學內(nèi)容。在高等數(shù)學教學中利用矩陣解線性方程組的方法基本上是所知的固定幾種：利用矩陣初等變換、克拉默法則、高斯若爾當消去法。但是解一個線性方程組有時需要幾種方法配合使用，有時則需要選擇其中的最簡單的方法。而對于一些特殊的線性方程組的解法很少有進行歸類、講解。我們希望可以通過對本課題的研究，總結(jié)和歸納用特殊矩陣解幾類特殊線性方程組的解法。關(guān)鍵詞 矩陣；線性方程組；齊次線性方程組；非齊次線性方程組MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONSABSTRA

2、CTMatrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations;Cramer's Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choos

3、e one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some sp

4、ecial system of linear equations with special matrices.KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations目 錄中文摘要I英文摘要II目 錄III引 言11.矩陣和線性方程組的概述11.1矩陣的概念11.2線性方程組的概念21.3線性方程組解的情況32.矩陣在線性方程組中的應(yīng)用32.1克拉默法則32.2高斯消元法52.3非齊次線性方程組新

5、解法的解題步驟62.4直接通過矩陣變換及運算求出方程組的解法72.5利用追趕法解線性方程組9LU分解9追趕法102.6利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組122.7用加邊矩陣求解非齊次線性方程組143結(jié) 論17參考文獻17致 謝19引 言矩陣的概念最早在19世紀由英國數(shù)學家凱利提出。在數(shù)學史上，研究過矩陣論的著名數(shù)學家有許多。在文獻1中介紹了英國數(shù)學家西爾維斯特于1852年對矩陣的合同發(fā)現(xiàn)著名的“慣性定理”。在文獻2中英國數(shù)學家凱萊發(fā)表了重要文章矩陣論的研究報告，對矩陣的基本理論進行了系統(tǒng)的闡述。當然還有許多數(shù)學家對矩陣的發(fā)展做出了偉大的貢獻。隨著時代的不斷發(fā)展，矩陣已經(jīng)在各個領(lǐng)域得到了廣泛的運用

6、，是一種非常常用的用具。在數(shù)學領(lǐng)域中作為解決線性方程的工具之一，前人對此已經(jīng)做了大量的的研究。1693年，微積分的發(fā)現(xiàn)者之一德國數(shù)學家萊布尼茨建立了行列式論。1750年，瑞士數(shù)學家克萊姆其后又定下了克拉默法則（又稱克萊姆法則）。1800年，高斯和威廉·若爾當建立了人們熟知的高斯若爾當消去法。 線性方程組是各個方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。在文獻3中了解到線性方程組在線性代數(shù)的教學中非常重要，行列式、矩陣、向量組的線性相關(guān)性、線性空間的基變換、坐標變換等，都和線性方程組有著非常密切的聯(lián)系。 矩陣和線性方程組都是高等數(shù)學的重要教學內(nèi)容，矩陣和線性方程組是相輔相成的，在高等數(shù)學教學中利用

7、矩陣解線性方程組的方法基本上是所知的固定幾種。對于一些線性方程組的特殊解法很少有進行歸類、講解。本文主要研究用特殊矩陣解一些線性方程組的方法，通過認真閱讀本課題相關(guān)文獻，如陳祥云的矩陣的初等變換及其應(yīng)用，辛奎東的關(guān)于線性方程組新解法的探索，劉紅旭的利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組，楊可的用加邊矩陣求解非齊次線性方程組的嘗試等等，分析、總結(jié)和歸納用特殊矩陣解線性方程組的解法。1.矩陣和線性方程組的概述 1.1矩陣的概念由個數(shù)，排成個橫行個豎列的數(shù)表，稱為行列矩陣或級矩陣，簡稱矩陣。數(shù)位矩陣的元素，矩陣常簡單記為或或，或簡記為，等。1.2線性方程組的概念 線性方程組的一般形式如下： （1-1） 其

8、中表示個未知量，是方程組的個數(shù)，則表示方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項。假如所有的常數(shù)項都等于0，即為 （1-2） 則方程組（1-2）稱為齊次線性方程組。否則稱為非其次線性方程組。線性方程組（1-1）的解是數(shù)域的一個有序數(shù)組，當未知量分別用代入時，（1.1）中的每個方程都成立。這里將方程組（1-1）記為矩陣形式，。在此處把稱為這個線性方程組的系數(shù)矩陣，假如再將常數(shù)項添加進去，讓它稱為矩陣的最后一列：稱其為此線性方程組的增廣矩陣，記為。1.3線性方程組解的情況 在求解線性方程組時，首先需要討論線性方程組解的情況。它可能無解，可能存在唯一解或者可能存在無窮多組解。在這里，我們討論線性方程組解的情況，以及它

9、的通解表示形式。對于一般情況下的線性方程組（1-1），將它的增廣矩陣化為行階梯矩陣。這個階梯形矩陣在適當調(diào)動前列的順序之后可能有兩種情形：或者 其中。在前一種情況我們判定為原來方程組無解，而在后一種情形方程組有解。我們對后面一種情況進行討論： a：若，則原方程組(1-1)有唯一解。 b：若且，則原方程組(1-1)有無窮多組解。這無窮多組解可以用一般解來表示，其中自由變量有個，主變量有個。2.矩陣在線性方程組中的應(yīng)用2.1克拉默法則在這里簡單介紹了利用克拉默法則解線性方程組?？死▌t：如果含有個方程的元線性方程組 (2-1) 的系數(shù)矩陣的行列式則方程組（2-2）有唯一解，并且其中是將系數(shù)行列式

10、的第列元，換成常數(shù)項后的行列式。下面運用克拉默法則解一個簡單的線性方程組。例2.1.1 解線性方程組解： 而所以即原方程組的解為。例2.2.2 當下述方程組有非零解時，取何值時：解：該齊次方程組有非零解，當且僅當其系數(shù)矩陣的行列式所以由上可知，當齊次方程組有非零解時，。2.2高斯消元法高斯消元法也是一種常用的解線性方程組的方法。對于含有個方程，個未知量的元線性方程組首先用初等行變換先把上面方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣，然后寫出該階梯形矩陣所對應(yīng)的方程組，逐步回代，即可以求出方程組的解。因為它們?yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了上面方程組的解。這種方法被稱為高斯消元法。例 解方程組解：先寫出增廣矩陣

11、，再化成階梯形矩陣，即=根據(jù)最后一個增廣矩陣可以得出其表示的線性方程組為將最后一個方程乘，再將項移至等號的右端，得將其代入第二個方程，解得再將，代入第一個方程組，解得因此，方程組的解為其中可以任意取值。2.3非齊次線性方程組新解法的解題步驟在文獻7中介紹了非齊次線性方程組新解法的解題步驟： （1）約化階梯形矩陣。 （2）寫出對應(yīng)的方程組。 （3）把上面每個方程中下標最小的變量用其他變量表示，其它缺失的變量相應(yīng)的補齊。 （4）寫出方程組解的向量形式。例2.4.1 解線性方程組解：（1）首先約化階梯形矩陣然后對增廣矩陣進行初等變化，化為簡化的階梯型矩陣則原方程有無窮多個解。（2） 寫出對應(yīng)的方程組

12、。 （3）把上述每個方程中下標最小的變量用其它變量表示，其它缺失的變量補齊。 （4）寫出方程組的解。2.4直接通過矩陣變換及運算求出方程組的解法下面介紹直接通過矩陣變換及運算求出方程組的解法。首先對增廣矩陣進行初等變換、零拓展矩陣和轉(zhuǎn)解運算，再直接求出齊次方程組的基礎(chǔ)解系和非齊次方程組的特解，進而求出非齊次方程組的通解。定義18 對于矩陣增加個維行向量而生成的新矩陣稱做的拓展矩陣；若增加行向量都是零向量，則生成的新矩陣稱為的零拓展矩陣，若增加的行向量組成一個單位方陣則生成的新矩陣稱為的單位拓展矩陣。定義28 在矩陣中，若，有，則稱為廣義上三角矩陣。定義38 設(shè)是廣義三角矩陣，在中，若，而，構(gòu)造

13、成一個新矩陣，當，有；當，令，則定義為歸零運算（或稱轉(zhuǎn)解運算），生成的矩陣稱為歸零矩陣（或轉(zhuǎn)解矩陣）。定理18 設(shè)實數(shù)域上非齊次線性方程組，對進行零拓展，使其成為，對進行初等變換，使其成為對角線上的元素只取1和0的廣義上三角矩陣（若而時則進行行行交換使得所在的行變?yōu)橹械牡谛校?；令，則矩陣中元素只取0或-1值；若當說對應(yīng)的第列為零向量，則所有說對應(yīng)的第列向量就構(gòu)成方程的基礎(chǔ)解系，而第列向量則是方程組的特解。定理28 對于方程組（2-1）說對應(yīng)的增廣矩陣進行拓展和初等變換，得到滿足定理1的；當時，而時，做轉(zhuǎn)解運算生成轉(zhuǎn)解矩陣，使得當時，有，則所對應(yīng)的列向量的全體即為方程組的基礎(chǔ)解系，矩陣中的第列向

14、量乃是的特解，經(jīng)過若干次轉(zhuǎn)解運算存在滿足定理1條件的轉(zhuǎn)解矩陣。例2.5.1 求解方程組解：對增廣矩陣進行變換，因此由定理1知方程組的解為。2.5利用追趕法解線性方程組本小節(jié)的解法是先把線性方程組的系數(shù)矩陣分解成為下三角陣和上三角陣的乘積，然后運用追趕法來求解線性方程組。為了把系數(shù)矩陣分解為一個下三角陣和一個上三角陣的乘積，則需要運用LU分解法（也稱為三角形分解法）。LU分解9令的前n-1個順序主子矩陣非奇異，那么就存在單位下三角陣，以及上三角陣，使得并且這樣的分解是唯一的。令矩陣有LU分解，即將兩端的第一行元素進行對比可以得出將兩端的第一列元素進行對比可以得出將兩端的第二行其余元素進行對比可以

15、得出將兩端的第二列其余元素進行對比可以得出則對于一般的用遞推關(guān)系得出 （2-2） 即可求出和，從而實現(xiàn)的三角分解。這一過程就是矩陣的LU分解。追趕法9線性方程組的系數(shù)矩陣，先通過公式(2-2)進行LU分解，接著利用追趕法解出該線性方程組，是一個非常方便快捷的方法。追過程和趕過程是追趕法的關(guān)鍵所在。記a) 分解對計算b) 追過程對于計算c) 趕過程對于計算而對于線性方程組（1-1）中，可得該線性方程組的Jacobi迭代公式如下：簡記成：下面我們通過具體的例子來了解用追趕法解線性方程組的解題過程。例2.5.1 用追趕法解線性方程組解：系數(shù)矩陣利用公式(2-3)對進行LU分解，所以追過程：解即趕過程

16、：解即即得線性方程組的解。2.6利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組通過文獻10可以得知，假如是一個階非奇異陣，把進行分塊，其中分別是和矩陣。如果是非奇異方陣，則一定可以找到一個上三角分塊，令，其中，并且是非奇異陣。根據(jù)上面的結(jié)論，得出用來求解個方程的非其次線性方程組是比較方便的?？梢砸酪韵逻^程求解：對于非齊次線性方程組 （2-3） 把（2-3）寫成矩陣方程為 此處為系數(shù)矩陣。假如是非奇異陣，即，那么方程組（2-3）有唯一解。把階陣分塊：，并注意為非奇異階陣，同時把和進行對應(yīng)的分塊，可以使，的行數(shù)等于的行數(shù)，的行數(shù)等于的行數(shù)。那么矩陣方程可以寫成把上面式子的兩邊分別左乘上三角分塊矩陣，即可以得到

17、（2-4） 其中 。 把方程（2-4）分解成為下面兩個矩陣方程 （2-5）根據(jù)初等變換的性質(zhì)我們可以知道（2-4）和（2-5）是同解方程。由于，所以存在，且，再把代入中，得到。據(jù)此，得出。 例 2.6.1 解非齊次線性方程組解：將方程寫成矩陣方程并進行分塊，有 。這里，。先求出的逆矩陣，計算，方程左乘，得到，解矩陣方程，解得，故所以所求方程的解為。2.7用加邊矩陣求解非齊次線性方程組在文獻11中主要介紹利用加邊矩陣的初等變換，把非其次線性方程組解的判定和解的結(jié)構(gòu)融于一體，在方程組有解的基礎(chǔ)上，直接找出唯一解或者導出基礎(chǔ)解系和原方程的一個特解。個方程個未知數(shù)的非其次線性方程組的一般形式是： （2

18、-6）其中至少有一個不為。方程組（2-6）的向量形式為 （2-7）式子中是維向量。（2-7）式子說明假如有一組個數(shù)滿足那么維向量即為方程組（2-6）的一個解向量。令方程組（2-6）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，作的轉(zhuǎn)置矩陣，并將的每行順序記為，據(jù)此作出的加邊矩陣：矩陣中即為（2-7）中的。對矩陣用初等行變換求秩。這里對所在的行進行初等變換時有如下限制：a:所在的行不與其他行交換；b:其余任意行不作加上或者減去所在行的倍數(shù)的初等變換；c:所在行可以作加上或者減去其余行的倍數(shù)的初等變換。即在整個變換過程中，所在的行一直保留在矩陣的最后一行。假設(shè)原方程（2-6）系數(shù)矩陣的秩。對于用初等變換求出秩，最后化出下列矩陣：說明，說明。根據(jù)線性方程組解的判定定理，中有解，中無解。我們可以根據(jù)式最后一行，得到根據(jù)（2-7）得出是方程組（2-6）的一個特解（或唯一解）。從最后一行上面部分可以找出方程組（2-6）對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，在得出原方程組的一般解。例2.7.1 求方程組的解。解：寫出矩陣，并做初等變換：根據(jù)上面可得方程組存在唯一解，由最后一行得，即，所以原方程的唯一解為。3結(jié) 論矩陣和線性方程組都是高等數(shù)學中的重要教學內(nèi)容。而矩陣在線性方程組的求解中應(yīng)用廣泛。本文只是簡單討論、歸納了應(yīng)用矩陣求解線性方程組解的幾種方式，希望幫助大家今后在求解線性方程組時可以運用多種方法。參考文獻