行測(cè)立體折疊學(xué)習(xí)筆記.

1、圖形推理之立方體拆疊一、基礎(chǔ)知識(shí)（1）正方體性質(zhì)正方體共有 8 個(gè)頂點(diǎn)， 12 條邊， 6 個(gè)面。每個(gè)面有且有一個(gè)相對(duì)面，有 4 個(gè)相鄰面。每 3 個(gè)相鄰面有一個(gè)公共頂點(diǎn)，每 2 個(gè)相鄰面有一條公共邊。即每個(gè)頂點(diǎn)都必然為 3 個(gè)相鄰面共居，每條邊都必然為 2 個(gè)相鄰面共居。每個(gè)頂點(diǎn)有 3 條邊從該點(diǎn)出發(fā)。（2）拆開(kāi)、疊起正方體的拆開(kāi)是指正方體沿著邊剪開(kāi)而使六個(gè)面由立體組合變?yōu)槠矫娼M合，從而形成一個(gè)由六個(gè)正方形組成的平面圖。疊起即將這個(gè)過(guò)程復(fù)原的操作。公務(wù)員考試中疊起的方向是從外向內(nèi)疊起，拆開(kāi)的方式從外向內(nèi)平鋪（即立體視圖中的表面為外表面） 。由于拆開(kāi)是沿著邊剪開(kāi)，并且保證六個(gè)面始終連接（而不是

2、把六個(gè)面分別剪開(kāi)，再隨意組合在一起的） ，所以不管如何拆疊，正方體還是那個(gè)正方體，所以，正方體的根本性質(zhì)不會(huì)改變，即：在立體圖和展開(kāi)圖中相對(duì)面依舊是相對(duì)面，相鄰面依舊是相鄰面；每條邊所共居的兩個(gè)面不會(huì)改變；每個(gè)頂點(diǎn)共居的三個(gè)面不會(huì)改變；各面上圖案指向公共邊、公共頂點(diǎn)的方向，與公共邊、公共頂點(diǎn)的相對(duì)位置，與公共邊、公共頂點(diǎn)形成的角度，與其他面上圖案的關(guān)系不會(huì)改變；從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊不會(huì)改變。由于正方體有多種拆疊方式， 并且在拆開(kāi)、 疊起的過(guò)程有可能會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，所以有些表面現(xiàn)象可能會(huì)變化，即：立體圖的邊有可能被剪開(kāi)成為 2 條邊，分開(kāi)到 2 個(gè)正方形；頂點(diǎn)有可能被剪開(kāi)分開(kāi)到 2 個(gè)、 3 個(gè)正

3、方形；面的左右、上下位置可能會(huì)改變；面上圖案的方向可能會(huì)改變。但是這些變化是規(guī)律的改變，這就是做題的關(guān)鍵：被剪開(kāi)的邊必然分布在它原本的 2 個(gè)相鄰面上，在疊起的過(guò)程中重合；被剪開(kāi)的頂點(diǎn)必然分布在它原本的 2 個(gè)、 3 個(gè)相鄰面上，在疊起的過(guò)程中重合；- 1 -（立方體的疊起就是一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)、線(xiàn)與線(xiàn)重合的過(guò)程）由于立方體、平面圖都可以旋轉(zhuǎn)，所以上下、左右關(guān)系只是一種膚淺、錯(cuò)誤的空間認(rèn)知方式，但無(wú)論如何剪開(kāi)、如何旋轉(zhuǎn)，不可能改變的是面與面之間旋轉(zhuǎn)方向，即 3 個(gè)面，沿著面 1、面 2、面 3 劃箭頭的順時(shí)針、逆時(shí)針性質(zhì)不會(huì)改變。（兩個(gè)面很難判定是順逆時(shí)針， 而在立方體的一個(gè)視圖中只能看見(jiàn) 3 個(gè)面）

4、。面上圖案的旋轉(zhuǎn)是由于立方體的旋轉(zhuǎn)造成的，圖案本身不可能旋轉(zhuǎn)，面也不可能單獨(dú)旋轉(zhuǎn)，所以圖案和公共頂點(diǎn)、公共邊的關(guān)系，圖案和其他面上圖案的關(guān)系都不可能改變。 （這要在首先復(fù)原公共頂點(diǎn)、公共邊，或確定其他面的前提下來(lái)應(yīng)用）（3）視圖（考試所用）一個(gè)立體視圖可以看到正方形的 3 個(gè)面，包含上頂面、左側(cè)面、右側(cè)面。例如：1、任意三個(gè)非相對(duì)面都可以構(gòu)成1 個(gè)視圖；2、A、B、C 面內(nèi)不能有相對(duì)面；3、A、B、C 面共享 1 個(gè)公共頂點(diǎn)；4、沿著 A、B、C 三個(gè)面畫(huà)箭頭的順、逆時(shí)針性質(zhì)與平面圖一致（具體應(yīng)用下面說(shuō)明）；5、從 4 可以推出， 3 個(gè)確定的面只能構(gòu)成3 種視圖，例如：（圖中 A-B-C 的

5、順序都是逆時(shí)針。從A、B 面考慮，它們?cè)谝晥D中的- 2 -分布方式可以有 C(3，1)*C（2,1）=6 種方式，但是另外三種方式不可能和 C 面組成，只能和 C 面的相對(duì)面組成）6、從三個(gè)面組成的一個(gè)視圖可以旋轉(zhuǎn)得到另外兩個(gè)視圖（正方體是唯一且確定的，三個(gè)視圖是旋轉(zhuǎn)形成的不同視覺(jué)效果）。7、正方體不可能有2 個(gè)相同的視圖 （一個(gè)視圖的全部信息應(yīng)包括視圖所包含的3 個(gè)面、 3 個(gè)面在視圖中的位置、面上圖案的方向、視圖的1公共頂點(diǎn)、 3 條公共邊）。8、實(shí)際上，一個(gè)面就可以確定一個(gè)視圖 （一個(gè)面的全部信息應(yīng)包括面、面在視圖中的位置、 面上圖案的方向、 面上的 4 個(gè)點(diǎn)（4 條邊）的位置）。設(shè) A

6、 的對(duì)面為 D，B 的對(duì)面為 E，C 的對(duì)面?zhèn)€為 F，則A 可以和 BC，BF，EC，EF 分別組成 3 個(gè)視圖，計(jì) 12 個(gè)視圖。A 在上頂面可以和BC，BF，CE，EF 分別組成 1 個(gè)視圖，計(jì) 4 個(gè)視圖（ A 在左側(cè)面、右側(cè)面相同） 。A 面上圖案的方向是否會(huì)改變要根據(jù)具體圖案來(lái)定。A 面上的 4 個(gè)點(diǎn)（ 4 條邊）的位置在每個(gè)視圖中都不同。9、根據(jù)以上規(guī)律，可以得出，在解題中，判斷一個(gè)視圖是否可以有平面圖得到的方法為（按照從易到難的邏輯順序排列） ：（1）三個(gè)面是否可能構(gòu)成視圖三個(gè)面中不能有相對(duì)面；（2）三個(gè)面是否可以構(gòu)成指定視圖（面在視圖中的位置是否正確）根據(jù)時(shí)針?lè)ǎ刂齻€(gè)面畫(huà)箭

7、頭的順、逆時(shí)針性質(zhì)與平面圖一致。（3）面上圖案的方向是否錯(cuò)誤面上圖案與公共頂點(diǎn)、 公共邊的關(guān)系， 面上圖案與和其他面上圖案的關(guān)系與平面圖一致（例如上例中，字母 A 的尖端始終指向 AB 面的公共邊，B 的上頂點(diǎn)始終指向 BC 面的公共邊， C 的開(kāi)口始終指向 CA 面的公共邊， A 的尖端始終指向 C 的下端， C 的開(kāi)口始終指向 B 的上端， B 的豎直線(xiàn)始終與 A 字母平行）。（4）點(diǎn)（邊）的位置是否正確由于點(diǎn)（邊）本身都長(zhǎng)一樣，所以通過(guò)面上圖案和點(diǎn)（邊）的關(guān)系來(lái)判斷。- 3 -三個(gè)面的公共頂點(diǎn)的性質(zhì)在視圖和平面圖中應(yīng)該一致。兩面之間的公共邊的性質(zhì)在視圖和平面圖中應(yīng)該一致。即：公共邊為黑邊

8、的，仍為黑邊；公共頂點(diǎn)有 m 根對(duì)角線(xiàn)穿過(guò)的，仍有 m 根對(duì)角線(xiàn)。10、視圖中首先要確定的組成這個(gè)視圖的三個(gè)面，然后才是面上圖案的方向。在解題時(shí)，不要為擔(dān)心圖案的旋轉(zhuǎn)而牽絆住。二、解題策略總體思路為排除法，即找出選項(xiàng)中答案是否有不符合的部分。注意：下述方法按照解題從易到難的順序排列，同時(shí)，解題時(shí)必須遵守的思路，即必須先判斷是否出現(xiàn)相對(duì)面，而后使用時(shí)針?lè)▉?lái)判斷位置是否正確，進(jìn)而確定構(gòu)成視圖的三個(gè)面。在確定面之后，利用圖案之間，圖案和公共頂點(diǎn)、公共邊的關(guān)系來(lái)判斷圖案是否錯(cuò)誤。而描點(diǎn)法可以用來(lái)確定公共邊、公共頂點(diǎn)的，從而來(lái)判斷圖案是否正確，也可以作為殺手锏單獨(dú)使用（通常用于線(xiàn)條類(lèi)或者圖案多有重復(fù)的題

9、目） 。根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí) -視圖 -9 的知識(shí)，按照以下方法來(lái)操作：（1）相對(duì)面排除法 -判斷三個(gè)面是否可能構(gòu)成視圖平面圖中的相對(duì)面變?yōu)橄噜徝妫瑒t錯(cuò)誤。1、相對(duì)面的判斷方法- 4 -以上 4 個(gè)平面圖中，陰影面在正方體中都是相對(duì)面。即： I 型圖，即兩個(gè)面在同 1 列或同 1 行，中間隔 1 個(gè)面，則兩個(gè)面相對(duì)（如果中間隔 2 個(gè)面，則為相鄰）。Z 型圖，即兩個(gè)面之間相隔 1 列，且劃線(xiàn)可以構(gòu)成 Z 字型，則兩個(gè)面相對(duì)。注意：左圖中的兩個(gè)黑面不是相對(duì)面，因?yàn)?Z 字明顯一長(zhǎng)一短，應(yīng)該如右圖所示。2、相鄰面的判斷方法平面圖中相鄰的面必然相鄰，有公共頂點(diǎn)的面必然相鄰；在同1 列或同 1 行中間隔 2

10、個(gè)面的相鄰（它們的相對(duì)面在平面圖中相鄰的）。注意：立體圖中相鄰的面在平面圖中不一定相鄰，這是因?yàn)榀B是一個(gè)重合的過(guò)程，而拆是一個(gè)剪開(kāi)的過(guò)程。總結(jié)起來(lái)就是：相對(duì)必然不相鄰，平面相鄰立體必相鄰，立體相鄰需分析。（2）時(shí)針?lè)?-判斷三個(gè)面是否可以構(gòu)成該視圖沿著三個(gè)面畫(huà)箭頭，平面圖和立體圖的順、逆時(shí)針應(yīng)該一致。使用條件：1、三個(gè)面沒(méi)有相對(duì)面；2、平面圖中，三個(gè)面應(yīng)該至少形成兩對(duì)面相鄰（有公共邊或者公共頂點(diǎn)）。3、不適用于面上圖案發(fā)生旋轉(zhuǎn)的題目（注意：這里的不適用是指使用時(shí)針?lè)o(wú)法判斷圖形是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即無(wú)法真正實(shí)現(xiàn)解題，但并不是說(shuō)時(shí)針?lè)ň蜔o(wú)法參與解題。在圖形十分簡(jiǎn)單或者圖案出現(xiàn)重復(fù)的題目中，使用時(shí)針?lè)?/p>

11、以幫助確定構(gòu)成視圖的面，從而促進(jìn)解題） 。例題解析：- 5 -利用相對(duì)面排除法， 可以排除選項(xiàng) C，選項(xiàng) A 中 1-4-6的順序?yàn)槟鏁r(shí)針，和平面圖中不相同，故排除。選項(xiàng) D 中 2-4-6 的順序?yàn)槟鏁r(shí)針，和平面圖中不相同，故排除。選項(xiàng) B 中，1-3-4 的順序?yàn)槟鏁r(shí)針，和平面圖中相同，故選擇 B。注意：如果三個(gè)面無(wú)法構(gòu)成條件 2，則可以尋找其中一個(gè)面的相對(duì)面，它往往和另兩個(gè)面能夠構(gòu)成條件 2，而它和另兩個(gè)面畫(huà)箭頭的順、逆順序和原來(lái)的面相反。如果，相對(duì)面仍然無(wú)法構(gòu)成條件 2，則可以選擇將較遠(yuǎn)面翻轉(zhuǎn)到另兩個(gè)面旁邊，即將該面翻轉(zhuǎn)到自己的相對(duì)面的相對(duì)面（即平面圖中該面的相對(duì)面的其他相對(duì)面位置）

12、，前提是翻轉(zhuǎn)后的平面圖依舊能夠構(gòu)成立方體。（3）圖案關(guān)系法 -判斷面上的圖案是否正確立體圖中，指定面上圖案與公共頂點(diǎn)、公共邊的關(guān)系，面上圖案與和其他面上圖案的關(guān)系與平面圖一致。例題解析：相對(duì)面排除法：平面圖中，1 點(diǎn)面和 4 點(diǎn)面相對(duì)，故排除B。時(shí)針?lè)ǎ浩矫鎴D中， 1 點(diǎn)面 -3 點(diǎn)面 -2 點(diǎn)面為順時(shí)針，故 1 點(diǎn)面 -3 點(diǎn)面 -6 點(diǎn)面為逆時(shí)針， A 項(xiàng)符合。 4 點(diǎn)面 -5 點(diǎn)面 -6 點(diǎn)面為逆時(shí)針，故 1 點(diǎn)面 -5 點(diǎn)面 -6 點(diǎn)面為順時(shí)針，所以排除 C。2 點(diǎn)面 -3 點(diǎn)面 -4 點(diǎn)面為順時(shí)針， D- 6 -項(xiàng)符合。圖案關(guān)系法：平面圖中，2 點(diǎn)面、 3 點(diǎn)面、 4 點(diǎn)面相鄰，優(yōu)先

13、判斷D 項(xiàng)。發(fā)現(xiàn)平面圖中 2 點(diǎn)與 2 點(diǎn)面、 3 點(diǎn)面的公共邊平行，垂直于2 點(diǎn)面、 4 點(diǎn)面的公共邊，而D 中 2 點(diǎn)與 2 點(diǎn)面、 3 點(diǎn)面的公共邊垂直，平行于2 點(diǎn)面、 4 點(diǎn)面的公共邊，故排除D，答案為 A。（4）標(biāo)點(diǎn)法 -判斷公共頂點(diǎn)、公共邊是否正確立體圖中三個(gè)面的公共頂點(diǎn)，兩個(gè)面的公共邊的性質(zhì)應(yīng)該與平面圖中一致。立方體的疊起就是一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)、邊與邊復(fù)合的過(guò)程。 1 個(gè)點(diǎn)攜帶有且只有 3 個(gè)面， 1 條邊攜帶有且只有 2 個(gè)面，相對(duì)面不能共享點(diǎn)、 面。所以標(biāo)點(diǎn)法，就是要將平面圖中的各個(gè)點(diǎn)、邊找到自己的“下家” 。1、平面圖會(huì)出現(xiàn) 14 個(gè)點(diǎn)，部分點(diǎn)攜帶 3 個(gè)面（ L 型的三個(gè)面的公

14、共點(diǎn)），如圖中的 N 點(diǎn)， G 點(diǎn)。部分點(diǎn)攜帶 2 個(gè)面，如圖中的 C 點(diǎn)、 E 點(diǎn)、F 點(diǎn)、J 點(diǎn)、M 點(diǎn)、L 點(diǎn)。部分點(diǎn)攜帶 1 個(gè)面，如圖中的 A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、D 點(diǎn)、H 點(diǎn)、I 點(diǎn)、K 點(diǎn)。2、3 面點(diǎn)即是它所攜帶的3 個(gè)面的公共頂點(diǎn)，如 N（1,2,3）、G（4,5,6）。3、2 面點(diǎn)會(huì)和 1 面點(diǎn)重合，成了2 個(gè)點(diǎn)原本分別攜帶的3 個(gè)面的公共頂點(diǎn)。如 A 點(diǎn)和 M 點(diǎn)重合（ 1,3,4），B 點(diǎn)和 L 點(diǎn)重合（ 1,4,5），C 點(diǎn)和K 點(diǎn)重合（ 1,2,5）D 點(diǎn)和 J 點(diǎn)重合（ 2,5,6），E 點(diǎn)和 I 點(diǎn)重合（ 2,3,6），F(xiàn)點(diǎn)和 H 點(diǎn)重合（ 3,4,6）。4、3 個(gè)

15、1 面點(diǎn)重合，成了3 個(gè)點(diǎn)原本分別攜帶的3 個(gè)面的公共頂點(diǎn)（圖中未出現(xiàn)此種情況）。5、隨著點(diǎn)的重合，邊也重合成為面的公共邊。如AN 和 MN 重合成為 1 和 3 的公共邊， AB 和 ML 重合成為 1 和 4 的公共邊，BC 和 LK 重合成為 1和 5的公共邊， CD 和 KJ重合成為 2和 5的公共邊， DE 和 JI重合成為 2 和 6 的公共邊， EF 和 IH 重合成為 3 和 6 的公共邊， FG 和 HG重合成為 4 和 6 的公共邊。（原本就攜帶兩個(gè)面的邊不變， CN(1，2),NE(2，3)，MF(3，4),LG(4，5),GJ(5,6)）。6、注意：邊是相互重合，而不能

16、生出新的邊。如B、L 重合，平面圖上通過(guò) B、L 的邊有 AB,BC,LG, ML,LK, 共 5 條邊。 AB 和 ML 重合，成- 7 -為 1和 4公共邊，BC和LK 重合，成為 1和 5的公共邊， LG 是 4，5的公共邊，即從 B（L）點(diǎn)出發(fā)了 3 條邊，不存在 LC(因?yàn)橛辛?BC)，不存在 BG（因?yàn)橛辛?LG）,不存在 BK（因?yàn)橛辛?LK ）,不存在 LA（因?yàn)橛辛?BA）。根據(jù)以上的判斷，可以看出：選項(xiàng) A由 3和 1或 4、5或 6組成，但是 3和 5是相對(duì)面，排除 5。1和 6 是相對(duì)面，排除。那么只有 3、4、6。平面圖中， 3-4-6 為順時(shí)針，立體圖中符合。 3-

17、4-6的公共頂點(diǎn)為 F（H），平面圖中 3 上的對(duì)角線(xiàn)沒(méi)有通過(guò) F 點(diǎn)，而立體圖中通過(guò)了，所以為錯(cuò)誤。 （另一種思路：先確定右側(cè)面為3，根據(jù)前面判斷的點(diǎn)重合情況，確定公共頂點(diǎn)為 A（M）,可得出頂面為4，正面為 1，由此得出 A 項(xiàng)不正確，如右上角圖。 ）選項(xiàng) B 應(yīng)該有 3 和 2、5 或 6 組成，但是 3 和 5 相對(duì)，所以應(yīng)該為 3、2、6。3-2-1 為順時(shí)針，所以 3-2-6為逆時(shí)針， B 符合。 3、2、6 公共頂點(diǎn)為 E（ I），平面圖中 6 上的斜線(xiàn)沒(méi)有通過(guò) I，所以 B 錯(cuò)誤。（另一種思路：先確定頂面為 3，根據(jù)前面判斷的點(diǎn)重情況，確定公共頂點(diǎn)為 E（I ）,可得- 8 -

18、出正面為 2（CDEN ），右側(cè)面為 6（HIJG），由此得出 B 項(xiàng)不正確。如左下角圖）選項(xiàng) C 由 2、5、6 組成。根據(jù)時(shí)針?lè)ǎ?4-5-6 為順時(shí)針，所以 2-5-6 為逆時(shí)針，則判斷，左側(cè)面為 5，右側(cè)面為 6。2、5、6 的公共頂點(diǎn)為 D（J），平面圖中， 5、6 兩個(gè)面的斜線(xiàn)都沒(méi)有穿過(guò) J，C 符合。 5 上的 JK 應(yīng)為直角三角形的一條邊（或者說(shuō) J 點(diǎn)在 5 上應(yīng)該為直角三角形的直角點(diǎn)） ，但是立體圖中不符合，所以 C 錯(cuò)誤。 ( 另一種思路：右側(cè)面和正面與平面圖形中的面和面對(duì)應(yīng)，分析發(fā)現(xiàn)向外無(wú)法折出 C 項(xiàng)所示的方位。如左上角圖 )選項(xiàng) D 由 3、4、6 組成。平面圖中

19、3-4-6為順時(shí)針， D 符合。 3-4-6 的公共頂點(diǎn)為 F（H），各點(diǎn)、各邊均正確，故選擇 D。（右下角圖）公共頂點(diǎn)、公共邊的判斷方法：1、從易到難法。平面圖中構(gòu)成 L 字型的三個(gè)面上原本相互垂直的兩條邊會(huì)重合， 邊上的 2 個(gè)點(diǎn)會(huì)重合。 即圖中的 A 點(diǎn)和 M 點(diǎn)、F 點(diǎn)和 H 點(diǎn)重合， AN 和 MN 重合成為 1 和 3 的公共邊， FG 和 HG 重合成為 4 和 6 的公共邊。這些關(guān)系的確立為尋找公共邊、公共頂點(diǎn)打下基礎(chǔ)。2、 相互配合法。 公共頂點(diǎn)必然在公共邊上，公共邊必然從公共頂點(diǎn)出發(fā)。 1 個(gè)面必然和它的4 個(gè)非相對(duì)面都有公共邊。 1 個(gè)面上的 4 條邊都要有另一個(gè)面來(lái)分享

20、， 4 個(gè)點(diǎn)都要有另 2 個(gè)面來(lái)分享。 2 條邊重合則邊上的頂點(diǎn)分對(duì)重合。如A 點(diǎn)和 M 點(diǎn)重合，則 1,4 的公共邊必然分別從A點(diǎn)、M 點(diǎn)出發(fā)，而 AN（NM ）已經(jīng)是 1,3 的公共邊， MF 是 3,4的公共邊，則 1,4 的公共邊必然是AB、ML ，同時(shí)也推斷出B 點(diǎn)和 L 點(diǎn)重合。3、錯(cuò)誤排除法。 1 個(gè) 2 面點(diǎn)和 1 個(gè) 1 面點(diǎn)重合。 3 個(gè) 1 面點(diǎn)重合。 1個(gè)點(diǎn)已經(jīng)找個(gè) 3 個(gè)面，必然不再和別的點(diǎn)重合。1 個(gè)邊已經(jīng)找到2 個(gè)面，必然不再和別的點(diǎn)重合。知識(shí)補(bǔ)充：（ 1）解題時(shí)要選擇特殊面來(lái)進(jìn)行推理，如果所有面上都無(wú)特別的圖案來(lái)幫助判斷，可以選定一面，添上一個(gè)箭頭（或者在邊上畫(huà)箭頭） ，來(lái)人為加上一個(gè)圖案。前提是這個(gè)箭頭必須是唯一的，即在平面圖、立體圖中都可以確定的找到這個(gè)箭頭的起點(diǎn)。- 9 -（ 2）上述的方法，都可以應(yīng)用到非立方體的其他立體折疊中。即都遵循相對(duì)（或者不相鄰）必不相鄰，三個(gè)面畫(huà)箭頭順逆時(shí)針?lè)较虿蛔儯瑘D案關(guān)系不改變等原則。描點(diǎn)法較為復(fù)雜，在多面體中難以應(yīng)用。在解題時(shí)要根據(jù)題目進(jìn)行具體分析，雖不能直接硬搬立方體的規(guī)律，但是幾個(gè)基本原則的靈活運(yùn)用可以有效促進(jìn)解題。（3）正方體拆開(kāi)可能情形1、最長(zhǎng)列為 4 個(gè)面，另 2 個(gè)面上下組合（1）（2）（3）（4）（5）（6）2