2020年中考復(fù)習(xí)將軍飲馬問題講義

1、將軍飲馬（作對稱點求最短線段終極版）背景知識：早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海 倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會， 應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決 了它.從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今.常用知識點：兩點之間線段最短，垂線段最短，三角形三邊關(guān)系，軸對稱，平移；解題思路：找對稱點，變折線為直線。常見模型：一、兩定點一動點型:如圖：在定直線1上找一個動點P,使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小

2、。解題思路：連接AB,與直線的交點為點Q,即此時點 P運動到點Q處，最小值為AB.證明：運用三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊， 當(dāng)A、P、B三點共線可取等于。在定直線1上找一個動點P,使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小, 即PA+PB的和最小.直線于點Q,當(dāng)點P運動到點Q,最小值為AC.解題思路：作定點B關(guān)于直線/的對稱點C,連接AC,交證明：關(guān)鍵是作其中一個定點的對稱點，使得PB二PC,求PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。再轉(zhuǎn)化為上述題型。1 / 9引申1:此題型也可以求|24P回值最大。解題思路：延長AB交直線/于點Q,當(dāng)點P運動到點Q,P最大值為AB.證明：三角形任意兩邊

3、之差小于第三邊,當(dāng)A、B、P三點共線可取等于.（提示：如果兩定點不在直線的同側(cè)，可以作其中一個定點關(guān)于直線/的對稱點）引申2:此題型也可以求回值最小。解題思路：連接AB,作AB的垂直平分線角/于點P.證明：垂直平分線上的點到線段的兩端距離相等，可得PA=PB4/9D ：B'二,兩動點一定點型（兩動點在角的兩邊上）如圖，在NW）N的內(nèi)部有一點A,在0"上找一點B,在0N上找一點C,使得BAC周長最短.V解題思路：作點A關(guān)于0"的對稱點4,作點A關(guān)于0N的飛、/對稱點A” ，連接AA,與0Y交于點B,與0N交于點C,連接AB, AC,此aABC周長最短.<V.&#

4、176; 證明：兩點之間，線段最短、'變式1:如圖：在NM0N的內(nèi)部有一點A,在0M上找一點B,在0N上找一點C,使得AB+BC最短.解題思路：作點A關(guān)于61的對稱點4,過點4作ACL0N,交0M于:為、點B,交0N于點C,即為所求。此AB+BC最短值為AC g 證明：垂線段最短。° °變式2:如圖在NM0N的內(nèi)部有兩點A和點B,在0M上找一點C,在上找一點D,使得四邊形ABCD周長最短.， M解題思路：作點A關(guān)于01的對稱點4,作點B關(guān)于0N的 A，/ A對稱點B, ,連接48,與0M交于點C,B與0N交于點D,連接AC, BD,此四邊形 八/4ABCD周長最短.

5、證明：兩點之間，線段最短。變式3：如圖，A為"上一定點，B為八上一定點,分別在。和找一點M、N,使得AM+YN+NB的值最小。 夕解題思路：作兩個定點A、B分別關(guān)于乙、的對稱點A、B' / I,連接A8,交人于點N,交乙于點此 此AM+MN+NB 工的最小值為48。"證明：兩點之間，線段最短。三、.兩動點兩定點型（兩動點在直線上，且之間的距離為定值）如圖：已知A、B是兩個定點，在定直線/上找兩個動點M與N,且MN長度 等于定長"（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.解題關(guān)鍵：平移其中一個定點，再作它的對稱點。解題思路1:將點A向右平移長度d

6、得到點作A關(guān)于 Y'直線/的對稱點A”，連接交直線/于點N, 、將點N向左平移長度d,得到點Mo此AM+MN+NB 最小值為A，8+MN.（先平移再對稱）解題思路2:作W關(guān)于直線/的對稱點A，將點4向右平 移長度d得到點兒,連接&B交直線/于點Q 將點Q向左平移長度d,得到點P,此AM+MN+NB 最小值為A/+PQ.（先對稱再平移）證明：兩點之間，線段最短。變式1:如圖正方形ABCD的邊長為6, E, F是對角線BD上的 兩個動點，且EF=2衣，連接CE, CF,則4CEF周長 的最小值為解題思路1:作點C的對稱點，即為圖中的點A,將點A沿BD的方向平移長度為2衣，得到點。，

7、連接CC交BD于點F,再將點F沿BD方向平移2點長度得 到點E。此4CEF周長的最小值為CC + Ef.解題思路2:先將點C沿BD的方向平移長度為2虛，得到點C作點。關(guān)于BD的對稱點C',連接CU交BD于點F, 再將點F沿BD方向平移2衣長度得到點EoittACEF周長的最小值為CC*石尸.變式2:如圖，菱形ABCD的邊長為3, NBAD=60。，點E、F在對角線AC上移動,（點E在點F的左側(cè)），且EF=1,則DE+BF的最小值為？ D提示：此題可以直接運用上述解題思路1。先對稱再平移， 必-點B關(guān)于AC的對稱點為點D,將點D沿著AC的方向n w平移長度為1,得到點M,連接MB交AC于

8、點F,再將 八、點F沿著AC的方向平移長度為1,得到點E,此DE+BF1B最小值為BM,可根據(jù)勾股定理求得。四.造橋選址型:將軍每日需騎馬從軍營出發(fā)，去河岸對側(cè)的瞭望臺觀察敵情，已知河流的 寬度為30米，請問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？.軍營模型莫立：瞭里臺如圖：直線4乙，在直線（上找一個點C,直線心上找一個點D,使得CD±7z 且 AC+BD+CD 最短.（CD二d）4（點A為軍,CD為橋，點B為瞭望臺）； ：解題思路:將點A沿CD方向向下平移CD長度，至點%連接A。.此時四邊形A4OC為平行四邊形，則AC=AQ,連接DB,當(dāng)4、D、3三點共線時，AC+BD+CD 最

9、短，為 W6 + C。證明：兩點之間，線段最短，五、垂線段最短型:如圖，在等邊AABC中，AB = 6, ADJ_BC, E是AC上的一點，V是AD上的一點,求EM+EC的最小值解題思路:作點C關(guān)于直線AD的對稱點，即點B,若此題E為定點, 直接連接BE,即EM+EC的最小值為BE （最典型的將軍 飲馬問題），此題E為動點，所以要過B點作AC的垂線， 交AC于點H,交AD于點此時點E運動到點H處。即EM+EC的最小值為BH證明：垂線段最短。變式 1:如圖，在AABC 中，AB=AC=4, BC=2 點 P、E、F 分別為BC、AB、AC上的任意點，則PE+PF的最小值是?解題思路：過任意點F作

10、BC的對稱點尸，再過點尸作AB的垂線, 交BC于點P,交AB于點E。此PE+PF的最小值為廣石。 （求尸E也就是求菱形A34C的高）證明：兩平行線之間垂線最短。6 / 9如圖，點P是銳角 ABC的BC邊上 的動點，PD1AB于點D, PELAC于 點E,連接DE.若小=60。, BC=5, ABC的面積等于10,則DE的最小B p值為9/9（變式）已知，在ABC中，NABC=30° , NACB=105° ,BC=2,點P是直線BC上的一個動點, PD_LAB于點D, PE_LAC于點E,則線段DE的最小值為？總結(jié)：將軍飲馬的最終思想是實現(xiàn)變折線為直線，前提是要找到兩定點，這定點 間無論有多少折線，都可以利用兩定點之間線段最短的知識點轉(zhuǎn)化為直 線，但也存在某一個定點在一條直線上運動的情況，這個時候還要過定點 作這條直線的垂線，才能求出最小值。A （定點）B （定點）A（動點）與將軍飲馬還有一種相反的題型，兩動點間的