讀書匯報材料--DSMC方法中分子碰撞地計算

1、DSMC方法中分子碰撞的計算摘要DSMC方法是依賴物理的概率模擬方法。從宏觀參量到細觀速度分布函數(shù)的 水平上，該方法均能得到實驗的支持。經(jīng)過 30多年的開展，DSMC方法在航天、 真空系統(tǒng)等離子體材料加工、微電子刻蝕、微機電系統(tǒng)、化工等 21世紀高技術(shù) 開展的前沿領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。DSMC方法通常用有限個模擬分子代替大量 真實氣體分子，通過隨機抽樣并跟蹤模擬分子軌跡實現(xiàn)求解真實氣體流動問題。 其主要特點是模擬分子的遷移運動與碰撞解耦。本文主要從分子碰撞模型、分子 碰撞的計算兩方面詳細闡述先關(guān)研究進展。1. 引言DSMC方法通常稱試驗粒子為模擬分子或模擬粒子， 它的根本做法可表述為： 用有限

2、個模擬分子代替大量的真實氣體分子，通過隨機抽樣模擬分子并跟蹤模擬 分子的運動軌跡來達到求解真實氣體流動問題的目的。DSMC方法的主要特點在于將模擬分子的遷移運動與碰撞作用解耦處理。 在每個時間步長內(nèi)，首先認為每 個模擬分子作勻速直線運動得到新的位置坐標，如果模擬分子與邊界發(fā)生相互作 用如此進展相應(yīng)處理；然后計算模擬分子之間的碰撞。DSMC方法采用幾率論而不是決定論的方法計算模擬分子間的碰撞， 因而能夠大大減少計算時間。整個計 算是一個時間過程，從非定常向定常開展。最后對各模擬分子的物理量統(tǒng)計平均 得到所需的宏觀流動參量。2. 分子碰撞模型的研究進展2.1分子碰撞模型的研究DSMC方法中，最簡單

3、的分子模型是硬球模型，它由Bird于1976年提出，隨后，還提出了逆幕律分子模型以與Maxwell分子模型。由于真實氣體流動條件 下，分子的碰撞截面是隨著相對速度而改變的，這樣才能保證卩與溫度T的關(guān)系與實際氣體中一致。而上述任何一種分子模型都不同時具有有限的碰撞截面又能 實現(xiàn)粘性與溫度的依賴關(guān)系，為此，Bird提出了變徑硬球模型Variable Hard Sphere，簡稱VHS，在此模型假設(shè)下，分子具有和硬球一樣的均勻散射幾率， 但它的碰撞截面像逆幕律分子一樣是分子間相對速度的函數(shù)，這樣導出的粘性系數(shù)隨溫度的一定幕次變化，滿足真實氣體所表現(xiàn)出來的規(guī)律。但由于VHS模型沒 有考慮氣體分子的散射

4、非對稱性，這導致在考慮多組元混合氣體中擴散起重要作用的情況下，VHS模型會給出與實際偏離較大的結(jié)果。 Koura和Matsumoto提出 了變徑軟球模型Variable Soft Sphe簡稱VSS，克制了 VHS莫型的這一缺陷。 雖然VHS與VSS模型用逆幕率作用勢取代了硬球分子，但它用單純的排斥力來描 述分子間的作用。對于再入流場，溫度變化很大，粘性對溫度的依賴靠一個方幕 已不能完全描述。分子間的相互作用，除了近距離的排斥力外在較大分子間距處 吸引力也顯現(xiàn)出來。為了在DSM(模擬中能夠同時再現(xiàn)分子間的排斥與吸引的作 用勢，Hassan和Hash提出了概念化硬球模型GHS，是對VHS模型和V

5、SS模 型概念的一種推廣，包含了同時具有吸引和排斥的分子間作用力。它的散射率與硬球模型一樣，但其總碰撞截面與碰撞中的相對動能反映出了吸引排斥作用勢。 結(jié)合VSS模型的散射率與GHS的碰撞面，文獻建議了概念化軟球模型Generalized Soft Sphere ，簡稱GSS。用GSS模型計算出的粘性系數(shù)、自 擴散系數(shù)和擴散系數(shù)在整個溫度變化X圍給出與實驗數(shù)據(jù)相符很好的結(jié)果。而VHS VSS與GHS模型在低溫和過高溫度下如此與實驗數(shù)據(jù)有一定的差距，GSS模型在低溫和極性分子的情況下是特別有意義的。文獻在前人根底上，提出了 GSS-3分子碰撞模型，能夠給出正確的氣體輸運性質(zhì)。2.2碰撞抽樣幾率函數(shù)

6、的研究在氣體分子碰撞對的抽樣方面，Bird首先提出了 “時間計數(shù)器方法TCC， 該方法具有較高的效率而且同時保證了在較大網(wǎng)格分子數(shù)下正確的碰撞頻率。但在極度非平衡的情況下，如強激波的前緣問題，由于碰撞概率與網(wǎng)格推進的時間 關(guān)系，tc (N/2)nCr r1，偶然中選但具有很小幾率的碰撞，即較小的 Cr r， 會使網(wǎng)格推進的時間tc過大，導致計算碰撞對的減少，從而使碰撞頻率發(fā)生畸 變。Koura給出了“零碰撞方法，可以克制 TC方法的這一缺陷且不消耗較多 的時間，但是不利于計算機的向量化計算。Bird建議的非時間計數(shù)器法NTC在保持了 TC法效率的同時，克制了 TC法中的困難，并且可以在程序碰撞

7、過程開 始之前事先算出網(wǎng)格單元內(nèi)的碰撞數(shù)，而且使得DSMCJ法能夠?qū)崿F(xiàn)向量化計算， 所以這種方法在今天被廣泛的應(yīng)用。2.3內(nèi)能激發(fā)與化學反響模擬的研究DSM莫擬中，一般采用Larsen-BergnakkeL-B模型模擬分子在碰撞中能 量的交換與分配，保證內(nèi)能的激發(fā)和松弛速率與實驗所給出的結(jié)果一致。但是由于振動自由度為溫度的函數(shù)，在采用模型分配碰撞中的各種能量時存在奇異性， 因此文獻開展了一種推廣的積累分布-取舍聯(lián)合抽樣法，給出了有單奇異和雙奇 異性分布的抽樣方法，克制了 L-B模型的困難。在DSMC方法的模擬中，化學反 響通常是與分子內(nèi)自由度松弛過程耦合在一起的。Bird認為分子與分子碰撞時，

8、以一定的幾率發(fā)生化學反響，并提出了處理化學反響的位阻因子概念， 其值代表了彈性碰撞導致化學反響的幾率。通常引入反響截面與碰撞截面的比值 表示彈性碰撞導致化學反響發(fā)生的幾率。 文獻建議了一個依賴空間取向的化學反 響模型，它從一個雙原子分子和另一個粒子發(fā)生碰撞導致其化學鍵斷裂而產(chǎn)生離 解或交換反響的微觀判據(jù)出發(fā)，得到了化學反響速率常數(shù)的表達。3. DSMC中碰撞的數(shù)值計算方法3.1仿真分子碰撞對抽樣方法1Bird 的 Time-Counter 方法由分子氣體動力學可知同組元氣體的分子平均碰撞頻率為nig式中符號“表示平均值。上式明確對于兩個特定的氣體分子，它們可能發(fā)生碰撞的幾率與分子對碰撞截面t和

9、相對運動速率g的乘積成正比，亦即PCoi(g)t9因而網(wǎng)格單元內(nèi)模擬分子對的碰撞幾率函數(shù)可表示成Roi(g)TgTg)max于是對應(yīng)于硬球分子模型，抽樣幾率函數(shù)的表達形式為 Roi(g) g/gmax，對應(yīng)于負幕率分子模型，表達形式為PCol(g)1 4/ gmax另一方面，還可得到在時間步長 tm內(nèi)各網(wǎng)格單元中模擬分子間應(yīng)發(fā)生的碰撞次數(shù)Nt的表達式為1 NtNmn Tg tm2式中Nm是網(wǎng)格單元中模擬分子的總數(shù)目，n是網(wǎng)格內(nèi)氣體分子的數(shù)密度，因子1/ 2是由于每次碰撞都有兩個分子參加而得到的權(quán)因子。 對于硬球分子模型， 為 常數(shù)，Nt的計算式為1 NtNmn Tg tm2對于負幕律模型，Nt

10、的計算式為Nt1Nm n)g1 4/2tm如果按照上述表達式中的任何一式計算Nt，都勢必需要計算一個以氣體分子相對運動速度g為自變量的函數(shù)的平均值。由于計算這些平均值所需的計算機 時是與單元內(nèi)所具有的分子數(shù)的平方成正比，因而需要消耗大量機時。為了解決 這一困難，Bird提出了 Time-Counter Scheme即所謂的“超前時間"累加方法。 這個方法是在每個單元內(nèi)設(shè)置一個計時器，當模擬分子在網(wǎng)格單元內(nèi)發(fā)生了一次碰撞，就在計時器上累加一個“超前時間tCi。對于不同的分子作用勢模型,“超前時間tci的計算式也各不一樣，對于硬球分子和負幕律分子，tci的計算式分別為tci2Nmn t9

11、tci一旦計時器的累加時間大于tm，亦即 Jitm，就停止該網(wǎng)格單元內(nèi)模擬分2177Nmn t9子的碰撞計算。2No Time Counter (NTC)抽樣方法在DSM(中，TC方法具有較高的效率同時保證了在較大網(wǎng)格分子數(shù)下正確的 碰撞頻率，但在極度非平衡的情況下，如強激波的前緣問題，由于碰撞概率與網(wǎng) 格推進的時間關(guān)系，tc (N/2)ncr r 1,偶然中選但具有很小幾率的碰撞，即較小的Cr r，會使網(wǎng)格推進的時間 tc過大，導致計算碰撞對的減少，從而使碰 撞頻率發(fā)生畸變。Bird建議的NTC法在保持了 TC法效率的同時，又克制了 TC 法中的困難，并且可以在程序碰撞過程開始之前事先算出網(wǎng)

12、格單元內(nèi)的碰撞數(shù)， 這里介紹一下NTC法的思想。考慮體積為Vc的網(wǎng)格單元，每一個模擬分子所代表的真實分子數(shù)為Fn，在t時間內(nèi)組成碰撞對的兩個分子發(fā)生碰撞的幾率P等于碰撞截面r以相對速度Cr掃過的體積與網(wǎng)格體積之比，即P Fn C t/Vc在上式中，Cr隨碰撞對的選擇變化，r是Cr的函數(shù)，其它量不依賴于碰撞對的選擇。由于網(wǎng)格單元內(nèi)的真實分子數(shù)是nVc，平均模擬分子數(shù)N nVc/FN，因此 在DSM(中，通過式(2.9)需要計算網(wǎng)格內(nèi)可能碰撞對的數(shù)目為 N(N 1)/2。由于 碰撞幾率P在一般情況下是非常小的量，碰撞數(shù)N(N 1)/2幾乎正比于網(wǎng)格中分子數(shù)N的平方，因此如果按P的計算式逐個考察所有

13、 N(N 1)/2個碰撞對，如 此計算 效率必定非常低。為了提咼效率Bird建議僅需考慮所有碰撞對N(N 1)/2的一局部并同時將P按一樣的分數(shù)加以放大，如果該分數(shù)能夠使最大 的概率為1如此計算效率為最高，因此理想的分數(shù)即為最大碰撞概率RnaxFn(rCr )maxt/Vc通過Pmax與N2/2的乘積可以得到所需考察的碰撞對數(shù)。然而在多數(shù)情況下網(wǎng)格 單元數(shù)N是波動量，由于平方的平均不同于平均的平方，因此 N2應(yīng)當被瞬時量N與時間平均或系統(tǒng)平均N的乘積代替。由以上討論可得 NTC方法中需要考察的分子碰撞對數(shù)與碰撞幾率的表達式(rCr )maxNNpmax2NN Fn( rG)max t2Vc該方

14、法到多組元混合氣體的推廣是直接簡單的，在混合氣體中，網(wǎng)格單元內(nèi)組元p與組元q碰撞需要考察的數(shù)量與碰撞幾率分別為(rGmax pqNpNqppnax2N pNq FN( rcr)maxpq t2VcrCr3.2碰撞計算由于在碰撞過程中不存在外力，碰撞的雙分子體系遵循質(zhì)量、動量和能量守恒定律。記ab為分子a和分子的b簡并質(zhì)量，g為碰撞分子的相對運動速度，G 為碰撞分子的質(zhì)心速度，如此mambabmambg a bGma a譏）bmamb根據(jù)質(zhì)量和動量守恒定律有G G'其中上標表示碰撞后的物理量?？梢姎怏w分子間無論發(fā)生何種類型的碰撞, 分子體系的質(zhì)心速度都將保持不變。無反響碰撞分子的能量守恒

15、方程為rel int a int brel int a intb12其中rel abg為碰撞分子的相對平動動能。從上式可見，如果碰撞分子之間 不發(fā)生化學反響，分子能量僅在相對平動能與分子內(nèi)能之間傳遞。記n （口,門2,壓）為碰撞后分子相對運動速度g'的方向單位矢量，由于相對運 動速率g'可由能量守恒方程確定得到，于是只需確定n?？紤]到分子碰撞的隨機 性之后，Bird根據(jù)所提出的“可變硬球模型構(gòu)造了確定 n的方法為門！cos1n2sin1 cos2n3sin1 sin2其中，1和2為Euler角，由隨機抽樣確定。其抽樣方法為cos 12R1 12 2R2式中，R、R2為隨機數(shù)。由

16、此可見Bird散射模型是一種球?qū)ΨQ模型，認為相對 運動速度方向是以球?qū)ΨQ形式散射的由能量守恒方程可確定得到碰撞后分子相對運動速度的模值，然后抽樣得到相對運動速度的方向矢量，于是可得碰撞后單個分子的運動速度為ab一g ma'ab 'b Ggmb3.3分子碰撞中能量的交換在DSM(中，處理分子碰撞中能量交換的常用模型是由Larsen和Bergnakke引入的唯象論模型。其中心思想是假設(shè)碰撞中的相對平動能和內(nèi)能遵守能量守 恒，碰撞后的內(nèi)能按照動能和內(nèi)能組合的平衡分布取值，而能量松弛過程的速率通過調(diào)節(jié)彈性碰撞和非彈性碰撞的比例加以確定，使其滿足實驗的結(jié)果。這里給出混合氣體中不同組分的分

17、子間Larsen-Bergnakke模型在VHS或VSS模型下的實現(xiàn)過程。在混合氣體中組分1與組分2碰撞對的總內(nèi)能為E i,1i,2組分1和組分2的內(nèi)能分布函數(shù)滿足1 1 if( i,1)e21 exp(汙)kT2 1 if( i,2)exp( #)kT組分1的內(nèi)能i,1到i,1 d i,1，組分2的內(nèi)能i,2到瑕d i,2的比分為丄 12 1ei2(Ei“呦存”",2先固定i,1，此時dE d i,2，對i,1從0積分到Ei得到總內(nèi)能從Ei到dE的比分正 比于七2 1Eif(EJdEiEi 2 exp( -;)dEikT如果對于不同組分可以定義出一個粘性系數(shù)的溫度幕指數(shù)1,2，如此

18、碰撞中的平動能t的分布函數(shù)可以寫為31,2tf( t)t2exp(-)由上述方程可以得到在碰撞中的總能量Ect Ei中平動能t的分布函數(shù)正比312 1匚于t2 1,2 （EcJ，exp（三），由于T由Ec所決定，因此為常數(shù)，所以指數(shù)項kT是常數(shù)，碰撞中的平動能分布正比于1,2（Ect）2在碰撞中總能量EctEit i,1i,2保持不變。在非彈性碰撞中，碰撞后的平動能量；和內(nèi)能從下式用取舍法進展取樣（呂）21,2 （1EcE*）碰撞后的內(nèi)能E* Ec ；在兩個分子間的分布按照下式用取舍法進展取樣1 1Ec（評（1Ei在上式討論中，假定了內(nèi)能包括所有的內(nèi)能模式。實際上可以對各個模式的內(nèi)能 依次與碰撞中的平動能用L-B模型進展重新分配，結(jié)果與所有內(nèi)能模式一起與碰 撞平動能進展再分配是一樣的。參考文獻1 黃飛，靳旭紅，趙波，程曉麗，沈清大尺度網(wǎng)格下DSMC仿真碰撞概率的 修正方法.計算力學學報，2015，1: 21-26.2 任兵，石于中.求解化學非平衡駐點線流動的分子碰撞傳能模式的DSM（研究.高科技研究中的數(shù)值計算學術(shù)交流會，1995.3 黃飛，程曉麗，沈清.一種基于自適應(yīng)碰撞距離的DSMC8擬子網(wǎng)格方法.全 國流體力學數(shù)值方法研討會，2013, 506-510.4 Bird, G. A. Ap