數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo) 第四講 不定方程

1、數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo) 第四講 不定方程不定方程是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，且未知數(shù)的取值范圍是受某些限制（如整數(shù)、正整數(shù)或有理數(shù)）的方程.不定方程是數(shù)論的一個重要課題，也是一個非常困難和復(fù)雜的課題.1幾類不定方程（1）一次不定方程在不定方程和不定方程組中，最簡單的不定方程是整系數(shù)方程通常稱之為二元一次不定方程.一次不定方程解的情況有如下定理.定理一：二元一次不定方程為整數(shù).有整數(shù)解的充分必要條件是. 定理二：若為之一解，則方程全部解為. （t為整數(shù)）。（2）沛爾方程形如（，不是完全平方數(shù)）的方程稱為沛爾方程. 能夠證明它一定有無窮多組正整數(shù)解；又設(shè)為該方程的正整數(shù)解中使最小的解，則其的全部正整數(shù)解

2、由（）給出. 只要有解，就可以由通解公式給出方程的無窮多組解.滿足的關(guān)系：； ， （3）勾股方程這里只討論勾股方程的正整數(shù)解，只需討論滿足的解，此時易知實(shí)際上兩兩互素. 這種兩兩互素的正整數(shù)解稱為方程的本原解，也稱為本原的勾股數(shù)。容易看出一奇一偶，無妨設(shè)為偶數(shù)，下面的結(jié)果勾股方程的全部本原解通解公式。定理三：方程滿足，的全部正整數(shù)解可表為，其中，是滿足一奇一偶，且的任意整數(shù).4不定方程這是個四元二次方程，此方程也有不少用處，其全部正整數(shù)解極易求出：設(shè)，則，其中，故，所以. 因此方程的正整數(shù)解可表示為都是正整數(shù)，且.反過來，易知上述給出的都是解.也可采用如下便于記憶的推導(dǎo)：設(shè)是既約分?jǐn)?shù)，即. 由

3、于約分后得出，故，同理2不定方程一般的求解方法1奇偶分析法；2特殊模法；3不等式法；4換元法；5因式分解法6構(gòu)造法（構(gòu)造出符合要求的特解或一個求解的遞推關(guān)系，證明解無數(shù)個）7無窮遞降法由于不定方程的種類和形式的多樣性，其解法也是多種的，上面僅是常用的一般方法.注：對無窮遞降法的理解：以下面的問題為例：證明：方程無正整數(shù)解。證明：假設(shè)存在正整數(shù)解，其中最小的解記為。因?yàn)?，根?jù)勾股方程的通解公式有，其中一奇一偶，。從可以得到為奇數(shù)，為偶數(shù)，令，其中，所以。由得，即，又可以通過勾股方程的通解公式，注意到，所以，而，與的最小性矛盾。所以原方程組無正整數(shù)解。賽題精講例1（1）求不定方程的所有解；（2）求

4、不定方程的所有解。解析：（1）可以由輾轉(zhuǎn)相除法得到，其實(shí)根據(jù)該方法可以得到必存在整數(shù)，使得。如，依次反代即可得到一個特解。（2），可以取，此時可以得到。從而得到一個特解。注：這個兩個方法是基本方法。例2求所有滿足方程的正整數(shù)解解析：首先從同余的角度可以發(fā)現(xiàn)必須為偶數(shù)，又的個位數(shù)必須為5，而的個位數(shù)為2，4，或6，的個位數(shù)為3，9，1，所以，對應(yīng)的。這樣可以令，可以得到，注意到均為奇數(shù)，兩個的和和差必定是一個單偶，一個雙偶，從而，目標(biāo)集中于，觀察有解。當(dāng)時，兩邊取模17可以得到矛盾。所以僅有解例3為給定的一個整數(shù)，當(dāng)為何值時，方程有正整數(shù)解？有正整數(shù)解時，求這個不定方程。解：可以變形為，這樣，一

5、個明確的事實(shí)，從而。這樣我們得到。不妨假設(shè)兩種情況。（1），從這個代數(shù)式發(fā)現(xiàn)，對單獨(dú)討論，有，這種情況共有解：；，注意到*式的等價性，又有解 （2）將等式轉(zhuǎn)化為不等式，從同余的角度看有，所以，若，則，只能是。注意到*式的等價性，又有解 綜上，可以有，對應(yīng)的解分別為共9組解。例4證明：不定方程無整數(shù)解解析：給我們的第一個印象是同為奇數(shù)或同為偶數(shù)。若同為偶數(shù)，則也就是，進(jìn)一步有為奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)的平方模8余1，矛盾。若同為奇數(shù)，則需進(jìn)一步討論，關(guān)鍵是取模為多少比較好討論。結(jié)合費(fèi)馬小定理如，則，從而，但是。比較兩者我們就可以到相應(yīng)的結(jié)論例5求證：存在無數(shù)組解且每個解都大于2009。證明：觀察有特解。從

6、原方程可以得到。這說明從一組解可以得到另一組解。由于方程結(jié)構(gòu)的對稱性，不妨假設(shè)，則，主要是證明，這是因?yàn)椤２粩嘁来晤愅凭涂傻玫浇Y(jié)論。例6（普特南競賽題）求方程的整數(shù)解，其中是質(zhì)數(shù)，是大于1的正整數(shù)，并證明你所得到的解是全部解. 解析：容易看到兩個質(zhì)數(shù)中肯定有一個為2，不妨假設(shè)，即。若，從余數(shù)去討論，為奇數(shù)。，所以，提取公因數(shù)，有，從奇偶性可以看出這種情形方程無解。為偶數(shù)，注意到。，令，觀察最后兩項(xiàng)，只能， ， ，從而綜上，考察到對稱性，原方程恰有兩組解：例8（09湖北）求不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)解 令，則先考慮不定方程滿足的正整數(shù)解，當(dāng)時，有，此方程滿足的正整數(shù)解為當(dāng)時，有，此方程滿足的正整數(shù)

7、解為所以不定方程滿足的正整數(shù)解為 又方程的正整數(shù)解的組數(shù)為，方程的正整數(shù)解的組數(shù)為，故由分步計數(shù)原理知，原不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)為例8（09 巴爾干）求方程的正整數(shù)解。解析：首先，從而，為偶數(shù)。方程可以轉(zhuǎn)化，。所以，即得，下面研究，當(dāng)時，通過嘗試的方法可以得到：，在考慮模7的余數(shù)，矛盾。所以，由此可以得到方程的解為。變式練習(xí)：（09 加拿大）已知為完全平方數(shù)，求解析：須為4的倍數(shù)，從而一個為奇數(shù)，一個為偶數(shù)。若，則，同上，應(yīng)該有，當(dāng)時，通過嘗試的方法可以得到：， 矛盾，所以，滿足條件的為仍然考慮例9：試證：當(dāng)時，不存在個連續(xù)自然數(shù)，使得它們的平方和是完全平方數(shù).解析：設(shè)是非負(fù)整數(shù).假若結(jié)論不成立,即存在使即 記