第4章_隨機(jī)變量的數(shù)字特征43__協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

1、一、協(xié)方一、協(xié)方 差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的意義二、相關(guān)系數(shù)的意義第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)三、小結(jié)三、小結(jié)1. 問題的提出問題的提出 ,相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX )(YXD不不相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX?)( YXD )(YXD).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì) 協(xié)方差協(xié)方差那么那么).()(YDXD 22)()(YXEYXE 2.定義定義稱稱為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量量量)()(YEYXEXE ),ov(CYX),Cov(YX記為

2、記為.的的協(xié)協(xié)方方差差與與YX).()(YEYXEXE XY即即而而 )()(),Cov(YDXDYX .的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量YX ),Cov(YX)()(YEYEXEXE . 0 相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX)3( )(YXD).()(YDXD 相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3.說明說明 ,)1(協(xié)方差協(xié)方差的相關(guān)系數(shù)又稱為標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)系數(shù)又稱為標(biāo)準(zhǔn)和和YX)()(2 YEYXEXE )()(YDXD )()(YEYXEXE .個(gè)無量綱的量個(gè)無量綱的量它是一它是一4. 協(xié)方差的計(jì)算公式協(xié)方差的計(jì)

3、算公式 ),Cov()1(YX )()2(YXD證明證明 ),Cov()1(YX)()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE );()()(YEXEXYE ).,Cov(2)()(YXYDXD )()(YEYXEXE )()2(YXD)()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD )()(2YXEYXE 5. 性質(zhì)性質(zhì) ),Cov(YX ),Cov( bYaX ),Cov(21YXX;, 為常數(shù)為常數(shù)ba , ),Cov(YXab).,Cov(),C

4、ov(21YXYX 2 3 1);,Cov(XY例例1 1 設(shè)（設(shè)（X，Y）的分布率為）的分布率為, 0)( XE易易知知,25)( YE, 0)( XYE, 0 XY ., 不相關(guān)不相關(guān)YX., 不存在線性關(guān)系不存在線性關(guān)系即即YX1, 2 YXP由于由于12 YPXP 0 .,不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立所以所以YX事實(shí)上，事實(shí)上，,2XY .的值所確定的值所確定的值完全可由的值完全可由 XYXY41 iXP iYP 212112 1 1204141041410041414141例例2,),(服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布設(shè)設(shè)YX它的概率密度它的概率密度為為 ),(yxf 22222121)()

5、(2yyx 21212221)()1(21exp121x.的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與求求YX )(xfX )(yfY解解的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為),(YX,e2121212)(1x , x,e2122222)(2y . y,)(1XE 故故知知,)(2YE .)(22YD ,)(21XD ),Cov(YX而而yxyxfyxdd),()(21 )(12121221yx,1111222 xyt,11xu .ddee2112222121)1(212)(xyxyx 則有則有令令 utututudde )1(212222122122 ),Cov(YX tuutudede22222122 ttuut

6、udede212222122 ,22221 XY )()(),Cov(YDXDYX. 于是于是.),Cov(21YX 即有即有結(jié)論結(jié)論,)1(中中二維正態(tài)分布密度函數(shù)二維正態(tài)分布密度函數(shù)相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)為為零零與與二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 )2(YX;的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)與與YX 代表了代表了參數(shù)參數(shù).相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與等價(jià)于等價(jià)于YX1. 問題的提問題的提出出,應(yīng)如何選擇應(yīng)如何選擇問問ba)(2bXaYEe 設(shè)設(shè).的好壞程度的好壞程度近似表達(dá)近似表達(dá)可用來衡量可用來衡量則則YbXae ,的值越小的值越小當(dāng)當(dāng)e, 的的值值確確定定ba二、相關(guān)系數(shù)的意義二、相關(guān)系數(shù)的意義?衡衡量量接接

7、近近的的程程度度又又應(yīng)應(yīng)如如何何來來?YbaX最接近最接近可使可使 .的的近近似似程程度度越越好好與與表表示示YbXa .達(dá)到最小達(dá)到最小使使 e)(2)(2)()(2222XabEXYbEaXEbYE , 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)分別關(guān)于分別關(guān)于將將bae 解得解得0b0ae)(2bXaYE ).(2YaE ,并令它們等于零并令它們等于零 得得ae )(2)(22YEXbEa , 0)(2)(2)(22XaEXYEXbE . 0be ,)(),Cov(XDYX .)(),Cov()()(XDYXXEYE ,)(,200中中代代入入將將bXaYEeba eba,min).()1(2YDXY 2. 相關(guān)

8、系數(shù)的意相關(guān)系數(shù)的意義義,較較小小較較大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)eXY,較較小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)XY,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) XY)(200XbaYE 得得.系較緊密系較緊密的線性關(guān)系聯(lián)的線性關(guān)系聯(lián)表明表明YX,.,線性相關(guān)的程度較差線性相關(guān)的程度較差YX.不不相相關(guān)關(guān)YX 和和稱稱)(2bXaYE (1) 不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系3. 注意注意相互獨(dú)立相互獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān)(2) 不相關(guān)的充要條件不相關(guān)的充要條件; 0,1o XYYX不不相相關(guān)關(guān); 0),Cov(,2o YXYX不不相相關(guān)關(guān)).()()(,3oYEXEXYEYX 不不相相關(guān)關(guān). 1 XY. 1 bXaYP4. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

9、1 2:1的充要條件是的充要條件是 XY使使存在常數(shù)存在常數(shù)ba,證證. 1 XY亦亦即即 1 2)()(3.4)200YDXbaYE及及式式與與由由 ,的的非非負(fù)負(fù)性性, 012 XY得得知知式式得得由由若若)4 . 3(1 XY)(200XbaYE . 0 從而從而 0 )(200XbaYE ,)()(20000XbaYEXbaYD 故有故有)(00XbaYD )(00XbaYE . 0 , 0 00XbaYP 0)(00 XbaYP知知又由方差性質(zhì)又由方差性質(zhì) 4即即 . 1, 1 ,反之反之使使若存在常數(shù)若存在常數(shù) ba ,XbaYP , 1 )(2XbaYE 0)(2 XbaYP0)( XbaYP即即 于是于是即得即得, 1 , 1 . 0 )(min2,bXaYEba )(200XbaYE )(2XbaYE 故有故有0 ).()1(2YDXY . 1 XY即得即得的含義：的含義：XYYXXY,是一個(gè)用來表征是一個(gè)用來表征 .的量的量之間線性關(guān)系緊密程度之間線性關(guān)系緊密程度,較大時(shí)較大時(shí)當(dāng)當(dāng)XY;,線性相關(guān)的程度較好線性相關(guān)的程度較好YX,較小時(shí)較小時(shí)當(dāng)當(dāng)XY.,線性相關(guān)的程度較