2015年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

1、2015年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共50分）1（5分）（2015湖南）已知=1+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（）A1+iB1iC1+iD1i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則，求得z的值解答：解：已知=1+i（i為虛數(shù)單位），z=1i，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2（5分）（2015湖南）在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為135號(hào)，再用系數(shù)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)

2、在區(qū)間139，151上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是（）A3B4C5D6考點(diǎn)：莖葉圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：對(duì)各數(shù)據(jù)分層為三個(gè)區(qū)間，然后根據(jù)系數(shù)抽樣方法從中抽取7人，得到抽取比例為，然后各層按照此比例抽取解答：解：由已知，將個(gè)數(shù)據(jù)分為三個(gè)層次是130，138，139，151，152，153，根據(jù)系數(shù)抽樣方法從中抽取7人，得到抽取比例為，所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間139，151中共有20名運(yùn)動(dòng)員，抽取人數(shù)為20×=4；故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了莖葉圖的認(rèn)識(shí)以及利用系統(tǒng)抽樣抽取個(gè)體的方法；關(guān)鍵是正確分層，明確抽取比例3（5分）（2015湖南）設(shè)xR，則“x1“是“x31”的（）A充分不必要條件B必要不充分條

3、件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：簡(jiǎn)易邏輯分析：利用充要條件的判斷方法判斷選項(xiàng)即可解答：解：因?yàn)閤R，“x1“x31”，所以“x1“是“x31”的充要條件故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的判斷，基本知識(shí)的考查4（5分）（2015湖南）若變量x，y滿足約束條件，則z=2xy的最小值為（）A1B0C1D2考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合得答案解答：解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（0，1）z=2xy的最小值為2

4、15;01=1故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題5（5分）（2015湖南）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n=3，則輸出的S=（）ABCD考點(diǎn)：程序框圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：列出循環(huán)過程中S與i的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)解答：解：判斷前i=1，n=3，s=0，第1次循環(huán)，S=，i=2，第2次循環(huán)，S=，i=3，第3次循環(huán)，S=，i=4，此時(shí)，in，滿足判斷框的條件，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：S=故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查循環(huán)框圖的應(yīng)用，注意判斷框的條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力6（5分）（2015湖南）若雙曲線=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，4），則此雙曲線的離

5、心率為（）ABCD考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：利用雙曲線的漸近線方程經(jīng)過的點(diǎn)，得到a、b關(guān)系式，然后求出雙曲線的離心率即可解答：解：雙曲線=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，4），可得3b=4a，即9（c2a2）=16a2，解得=故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查7（5分）（2015湖南）若實(shí)數(shù)a，b滿足+=，則ab的最小值為（）AB2C2D4考點(diǎn)：基本不等式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用分析：由+=，可判斷a0，b0，然后利用基礎(chǔ)不等式即可求解ab的最小值解答：解：+=，a0，b0，（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取等號(hào)），

6、解可得，ab，即ab的最小值為2，故選：C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在求解最值中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題8（5分）（2015湖南）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）ln（1x），則f（x）是（）A奇函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)B奇函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)C偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)D偶函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：求出好的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)果即可解答：解：函數(shù)f（x）=ln（1+x）ln（1x），函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），函數(shù)f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln

7、（1x）=f（x），所以函數(shù)是奇函數(shù)排除C，D，正確結(jié)果在A，B，只需判斷特殊值的大小，即可推出選項(xiàng)，x=0時(shí)，f（0）=0；x=時(shí)，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，顯然f（0）f（），函數(shù)是增函數(shù)，所以B錯(cuò)誤，A正確故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查計(jì)算能力9（5分）（2015湖南）已知A，B，C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，且ABBC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則|的最大值為（）A6B7C8D9考點(diǎn)：圓的切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；直線與圓分析：由題意，AC為直徑，所以|=|2+|=|4+|B為（1，0）時(shí)，|4+|7，即可得出結(jié)論解答：解：

8、由題意，AC為直徑，所以|=|2+|=|4+|所以B為（1，0）時(shí)，|4+|7所以|的最大值為7故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)10（5分）（2015湖南）某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（）ABCD考點(diǎn)：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：開放型；空間位置關(guān)系與距離分析：由題意，原材料對(duì)應(yīng)的幾何體是圓錐，其內(nèi)接正方體是加工的新工件，求出它們的體積，正方體的體積與圓錐的體積比為所求解答：解：由題意，由工件的三視圖得到原材料

9、是圓錐，底面是直徑為2的圓，母線長(zhǎng)為3，所以圓錐的高為2，圓錐是體積為；其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為x，則，解得x=，所以正方體的體積為，所以原工件材料的利用率為：=；故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查了由幾何體的三視圖得到幾何體的體積以及幾何體的內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)的求法；正確還原幾何體以及計(jì)算內(nèi)接正方體的體積是關(guān)鍵，屬于中檔題二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11（5分）（2015湖南）已知集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，則A（UB）=1，2，3考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；集合分析：首先求出集合B的補(bǔ)集，然后再與集合A取并集解答：解：集合U=1，2，3

10、，4，A=1，3，B=1，3，4，所以UB=2，所以A（UB）=1，2，3故答案為：1，2，3點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合的交集、補(bǔ)集、并集的運(yùn)算；根據(jù)定義解答，屬于基礎(chǔ)題12（5分）（2015湖南）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若曲線C的極坐標(biāo)方程為=2sn，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+（y1）2=1考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程分析：直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，求解即可解答：解：曲線C的極坐標(biāo)方程為=2sn，即2=2sn，它的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2y，即x2+（y1）2=1故答案為：x2+（y1）2=1點(diǎn)評(píng)：本題

11、考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，基本知識(shí)的考查13（5分）（2015湖南）若直線3x4y+5=0與圓x2+y2=r2（r0）相交于A，B兩點(diǎn)，且AOB=120°，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則r=2考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：直線與圓分析：若直線3x4y+5=0與圓x2+y2=r2（r0）交于A、B兩點(diǎn)，AOB=120°，則AOB為頂角為120°的等腰三角形，頂點(diǎn)（圓心）到直線3x4y+5=0的距離d=r，代入點(diǎn)到直線距離公式，可構(gòu)造關(guān)于r的方程，解方程可得答案解答：解：若直線3x4y+5=0與圓x2+y2=r2（r0）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且AOB

12、=120°，則圓心（0，0）到直線3x4y+5=0的距離d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，其中分析出圓心（0，0）到直線3x4y+5=0的距離d=r是解答的關(guān)鍵14（5分）（2015湖南）若函數(shù)f（x）=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是0b2考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由函數(shù)f（x）=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，可得|2x2|=b有兩個(gè)零點(diǎn)，從而可得函數(shù)y=|2x2|函數(shù)y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可求b的范圍解答：解：由函數(shù)f（x）=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，可得|2x

13、2|=b有兩個(gè)零點(diǎn)，從而可得函數(shù)y=|2x2|函數(shù)y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，0b2時(shí)符合條件，故答案為：0b2點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)15（5分）（2015湖南）已知0，在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2，則=考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象；余弦函數(shù)的圖象菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：開放型；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：根據(jù)正弦線，余弦線得出交點(diǎn)（k1，），（k2，），k1，k2都為整數(shù)，兩個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)周期內(nèi)，距離最近，即可得出方程求解即可解答

14、：解：函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖象的交點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)線可得出交點(diǎn)（k1，），（k2，），k1，k2都為整數(shù)，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2，這兩個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)周期內(nèi)，12=（）2+（）2，=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)線的運(yùn)用，屬于中檔題，計(jì)算較麻煩三、解答題16（12分）（2015湖南）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)（）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；（）有人

15、認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：（）中獎(jiǎng)利用枚舉法列出所有可能的摸出結(jié)果；（）在（）中求出摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式求得概率，并說明中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率是錯(cuò)誤的解答：解：（）所有可能的摸出的結(jié)果是：A1，a1 ，A1，a2 ，A1，b1 ，A1，b2 ，A2，a1 ，A2，a2 ，A2，b1 ，A2，b2 ，B，a1 ，B，a2 ，B，b1 ，B，b2；（）不正確理由如下：由（）知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球

16、的結(jié)果為：A1，a1 ，A1，a2 ，A2，a1 ，A2，a2 ，共4種，中獎(jiǎng)的概率為不中獎(jiǎng)的概率為：1故這種說法不正確點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，訓(xùn)練了枚舉法求基本事件個(gè)數(shù)，是基礎(chǔ)題17（12分）（2015湖南）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=btanA（）證明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B為鈍角，求A，B，C考點(diǎn)：正弦定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：解三角形分析：（）由正弦定理及已知可得=，由sinA0，即可證明sinB=cosA（）由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=co

17、sA，可得sin2B=，結(jié)合范圍可求B，由sinB=cosA及A的范圍可求A，由三角形內(nèi)角和定理可求C解答：解：（）證明：a=btanA=tanA，由正弦定理：，又tanA=，=，sinA0，sinB=cosA得證（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，sin2B=，0B，sinB=，B為鈍角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，綜上，A=C=，B=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18（12分）（2015湖南）

18、如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，（）證明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐FAEC的體積考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間位置關(guān)系與距離分析：（）證明AEBB1，AEBC，BCBB1=B，推出AE平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理證明平面AEF平面B1BCC1；（）取AB的中點(diǎn)G，說明直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，就是CA1G，求出棱錐的高與底面面積即可求解幾何體的體積解答：（）證明：幾何體是

19、直棱柱，BB1底面ABC，AE底面ABC，AEBB1，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E分別是BC的中點(diǎn)，AEBC，BCBB1=B，AE平面B1BCC1，AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1；（）解：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，CG，由（）可知CG平面A1ABB1，直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，就是CA1G，則A1G=CG=，AA1=，CF=三棱錐FAEC的體積：×=點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的體積的求法，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力19（13分）（2015湖南）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，

20、a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，（）證明an+2=3an；（）求Sn考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（）當(dāng)n2時(shí)，通過an+2=3SnSn+1+3與an+1=3Sn1Sn+3作差，然后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)命題也成立即可；（）通過（I）寫出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，分奇數(shù)項(xiàng)的和、偶數(shù)項(xiàng)的和計(jì)算即可解答：（）證明：當(dāng)n2時(shí)，由an+2=3SnSn+1+3，可得an+1=3Sn1Sn+3，兩式相減，得an+2an+1=3anan+1，an+2=3an，當(dāng)n=1時(shí)，有a3=3S1S2+3=3×1（1+2）+3=3，a3=a1，命題也成立，綜上

21、所述：an+2=3an；（）解：由（I）可得，其中k是任意正整數(shù)，S2k1=（a1+a2）+（a3+a4）+（a2k3+a2k2）+a2k1=3+32+3k1+3k1=+3k1=×3k1，S2k=S2k1+a2k=×3k1+2×3k1=，綜上所述，Sn=點(diǎn)評(píng)：本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題20（13分）（2015湖南）已知拋物線C1：x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：+=1（ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2，過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向（）求C2的方程；（）若|A

22、C|=|BD|，求直線l的斜率考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：開放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）通過C1方程可知a2b2=1，通過C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2且C1與C2的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱可得，計(jì)算即得結(jié)論；（）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通過=可得（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，設(shè)直線l方程為y=kx+1，分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可解答：解：（）由C1方程可知F（0，1），F(xiàn)也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，a2b2=1，又C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2，C1與C2

23、的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱，易得C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（±，），又a2b2=1，a2=9，b2=8，C2的方程為+=1；（）如圖，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），與同向，且|AC|=|BD|，=，x1x2=x3x4，（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，設(shè)直線l的斜率為k，則l方程：y=kx+1，由，可得x24kx4=0，由韋達(dá)定理可得x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，由韋達(dá)定理可得x3+x4=，x3x4=，又（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，16（k2+1）=+，化簡(jiǎn)得16（k2+1）=，（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直線l的斜率為±點(diǎn)評(píng)：本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程以及直線的斜率，涉及到韋達(dá)定理等知識(shí)，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題21（13分）（2015湖南）已知a0，函數(shù)f（x）=aexcosx（x0，+），記xn為f（x