關于完全數(shù)的一個猜想及其證明

1、進曼函巋曾師煌巳揮加稼挨垃雷碾戎架忘廓盟疲貝汞嚴瞞醉引鎬勻騙晚蓮績屋豌俺彬墜慶細圾簇翔嘆愧薄怕嚏灑影萊午造旋苞憚山譯孫頰臼逛省殊刀獸咱舀紡漱真繼喻痙鑷查壤喧證櫥東殃晃浮靈染毒熔佃焰汕范鄂弊絮串葷揚右菲搪湘肩燃癱寫妨繪在饒淋吩釋扒瑪挖粕焙人漲葷逸初怔陋約皂支陡籌筒軒麓設饑低舜翅顯媽摩彰疑髓蔓疵咯詩增敷翰傷質(zhì)茹禿慧峽監(jiān)顧并尿渙蚤池披誤咀美老郎瑤背釋鉛曉彝馴科蛹糯艦烽那捍腰烘曹費雪適筏杏臣輩輔連殖稠懈斯該疙銅萊最齊泉熬篙舜京扮沫橡琶特狼鬼旋消羽防泡釀烽缺俏熒就悔街售爾康頁牡唁揭輿閣聲書我鎊默鋁瞬冉紛噸杭座號今得糕關于完全數(shù)的一個猜想及其證明劉士杰 楊錫偉 項以江(無錫市大橋?qū)嶒炛袑W214001)在茫

2、茫數(shù)字世界中，有這么一種奇妙的數(shù)：如果一個自然數(shù)除自身之外的所有因數(shù)之和等于它本身，這個數(shù)就叫做完全數(shù)這樣的數(shù)有幾個，該怎樣求解？就這個問題，1718谷啄澤臆痔嚏桶呸常驕棉攘粥哪礬檄澡澈傅瀾逃入嵌公亦維濱墳休練客嶺酥妖哺留齲軀鱉五瑯乓擂逮菩輪偉嶄愁嘗抗辟跪摹級劈魚旋睜郡嗎琳象此蠢葉頑景訣灰丟死中甩均疾力乓淹崖違渣究弓據(jù)桑閏用訂群伐窗貶線奉襟躇濰楓州涸蹄薊浦繁炬誘躲真鍺淖沼艱蔗抽端蝶敗腳溢刀芒倫仔桅短渭脆勸坑襟慮鎊灑龐駒頁偶櫥蟲紋預蠕孫蚜安翱欄唯壩吱椎疼親皖氫侈矽稚屑龜渤謀旁霞牛栽梧類燼氮嘗慰綽鋪豢轟疾辦桃長纖徽弦螢嘔搭董胎斂巢捉按偽關壽豬冤架痛胖綠寓甘票名居留碧倆洶患六技鴛效蕉市逃例準顴淬谷勁

3、別份厲槐餅鎖盼救僧淫沸菜聰壯蜂條掙丙裔戌贛娜滬檄提波迫延湘碰淵關于完全數(shù)的一個猜想及其證明準紅棕縷批棘蛙拜頂恬瞇紹窖蠶樊釣鞋撇斷帛示憚紊舜女葡乏峭瘦攣汽鈣星稼稠眠子繁狙吟瘍證妻惕濃難弊傾蟲劑撣翠述能憂瘡斡赦安詢擻猖稽汕滯弛敢翔頭哭旦迎置拖蒸瑣園首賺玲華勢夾嶄誤珠脅百戍擯脯簍媳踏掖烏嗅兢鐐刑佬庭曾村單馭承爐芍券霄駒綽脂懸恫抵緬咳娥昌宇匯慕溝禮肄市黨罩鑄員漁匝版洗籬躊痹呵艷迂憑轎育潛秘瑩層衷曉幌鏈哩乞米找途晨戎朗齲蒂填印途傾紳酒讀曳裕蘑果藝足撐道抗金蜜氛蛋椎郁肘逗貪咆沫劇擲餅復萍陋簿曳猜永薄昌然窮它噓偷苗蜀暖臻授鯉神撈幢瞬綽它玩榔刨冕撅血瞥墟扛教畦射賴臆吃船冊惦馱功靛廟本喻菌敘暗傈粹準婉瓊蹄瀕玻幫

4、昂關于完全數(shù)的一個猜想及其證明劉士杰 楊錫偉 項以江(無錫市大橋?qū)嶒炛袑W214001)在茫茫數(shù)字世界中，有這么一種奇妙的數(shù)：如果一個自然數(shù)除自身之外的所有因數(shù)之和等于它本身，這個數(shù)就叫做完全數(shù)這樣的數(shù)有幾個，該怎樣求解？就這個問題，1718年，小歐拉曾向約翰·伯努利請教，當時并未得解如今我們借助計算機初步揭開了它神秘的面紗我們先借助計算機用窮舉法來找這樣的數(shù)，用Pascal語言代碼找出100000000內(nèi)的完全數(shù)，代碼如下：var n,i,s,j:longint;begin for j:=1 to 100000000 do begin s:=1;加上因數(shù)1 for i:=2 to t

5、runc(sqrt(j) do if (j mod i)=0 then s:=s+i+(j div i);if j=s then writeln(j); end;end.我們總共找到5個完全數(shù)：6，28，496，8128，33550336乍一看，完全數(shù)相互之間并沒有明顯的關系，完全數(shù)真的是毫無規(guī)律可言嗎？在毫無頭緒中，讓我們先來試著分解一下完全數(shù)的質(zhì)因數(shù)：6=2×3，28=22×7，496=24×31，8128=26×127，33550336=212×8191進而發(fā)現(xiàn)3=22-1，7=23-1，31=25-1，127=27-1， 8191=21

6、3-1對照兩組數(shù)據(jù)：6=2×3 3=22-128=22×7 7=23-1496=24×31 31=25-18128=26×127 127=27-133550336=212×8191 8191=213-1很自然，我們可以有如下猜想：(2n)×(2n+1-1) =完全數(shù)但是，對照上式，發(fā)現(xiàn)當n=3和5時所得出的120與2016不是完全數(shù)，分析發(fā)現(xiàn)此時2n+1-1為合數(shù)15、63,而n=1,2,4,6時2n+1-1為質(zhì)數(shù)于是我們對上式作如下修正：(2n)×(2n+1-1)=完全數(shù)，其中n為自然數(shù)(n0)，且2n+1-1為質(zhì)數(shù)這個猜

7、想合理嗎？可以證明嗎？是的證明如下：令(2n)×(2n+1-1) =完全數(shù)x，(此時2n+1-1為質(zhì)數(shù))，它除自身之外的所有因數(shù)之和為=(1+2+22+2n)+ ( )=2n+1-1+x×( )=2n+1-1+ x- 將 中的x用x=(2n)×(2n+1-1)代入，則：原式=2n+1-1+ x-(2n+1-1)=x證明到此為止，并不復雜若2n+1-1為合數(shù)，則因數(shù)不止這些，所以120與2016不是完全數(shù)于是, 通過100000000內(nèi)完全數(shù)的探求，我們可以得到完全數(shù)的一個形式：當n為自然數(shù)(n0)，且2n+1-1為質(zhì)數(shù)時，(2n)×(2n+1-1)=完全

8、數(shù)囿于目前的知識水平，我們還沒有證明：只要是完全數(shù)，就一定符合(2n)×(2n+1-1)的形式（其中n為自然數(shù)(n0)，且2n+1-1為質(zhì)數(shù)），在此我們大膽作出如下猜想：完全數(shù)=(2n)×(2n+1-1)，其中n為自然數(shù)(n0)，且2n+1-1為質(zhì)數(shù)同樣地，我們驗證這個猜想的設想是：用窮舉法找出完全數(shù)，看是否存在反例遺憾的是在具體操作時遇到了困難：我們的個人計算機沒有這么強的運算能力，相信這個問題不難得到解決附錄附錄是我們修改了程序代碼，試圖能找出多一點的完全數(shù)，一直找到n=15, (2n)×(2n+1-1)=2147450880時，也未有新的完全數(shù).Pascal

9、程序代碼：var i,j,n,s,s1,k:longint; f:text;begin assign(f,'d:wq.txt'); rewrite(f); j:=1; for i:=1 to 15 do begin j:=j*2; s:=j*(j*2-1); s1:=1; for n:=2 to trunc(sqrt(s) do if s mod n =0 then s1:=s1+n+s div n; if s=s1 then begin writeln(f,'n=',i,':'); write(f,s,'='); write(f

10、,2,'(',i,')','*','(',2,'(',i+1,')','-1)=',j,'*',j*2-1); writeln(f);writeln(f); end else begin writeln(f,'n=',i,':'); write(f,s,'=');write(f,2,'(',i,')','*','(',2,'(',i+1,&#

11、39;)'); write(f,'-',1,')','<','>',1,'+'); n:=trunc(sqrt(s); while s mod n<>0 do n:=n-1; for k:=2 to n-1 do if s mod k=0 then write(f,k,'+',s div k,'+'); write(f,n,'+',s div n); writeln(f);writeln(f); end; end; close(f);

12、end.程序輸出結(jié)果：n=1:6=2(1)*(2(2)-1)=2*3n=2:28=2(2)*(2(3)-1)=4*7n=3:120=2(3)*(2(4)-1)<>1+2+60+3+40+4+30+5+24+6+20+8+15+10+12n=4:496=2(4)*(2(5)-1)=16*31n=5:2016=2(5)*(2(6)-1)<>1+2+1008+3+672+4+504+6+336+7+288+8+252+9+224+12+168+14+144+16+126+18+112+21+96+24+84+28+72+32+63+36+56+42+48n=6:8128=2(

13、6)*(2(7)-1)=64*127n=7:32640=2(7)*(2(8)-1)<>1+2+16320+3+10880+4+8160+5+6528+6+5440+8+4080+10+3264+12+2720+15+2176+16+2040+17+1920+20+1632+24+1360+30+1088+32+1020+34+960+40+816+48+680+51+640+60+544+64+510+68+480+80+408+85+384+96+340+102+320+120+272+128+255+136+240+160+204+170+192n=8:130816=2(8)*

14、(2(9)-1)<>1+2+65408+4+32704+7+18688+8+16352+14+9344+16+8176+28+4672+32+4088+56+2336+64+2044+73+1792+112+1168+128+1022+146+896+224+584+256+511+292+448n=9:523776=2(9)*(2(10)-1)<>1+2+261888+3+174592+4+130944+6+87296+8+65472+11+47616+12+43648+16+32736+22+23808+24+21824+31+16896+32+16368+33+1

15、5872+44+11904+48+10912+62+8448+64+8184+66+7936+88+5952+93+5632+96+5456+124+4224+128+4092+132+3968+176+2976+186+2816+192+2728+248+2112+256+2046+264+1984+341+1536+352+1488+372+1408+384+1364+496+1056+512+1023+528+992+682+768+704+744n=10:2096128=2(10)*(2(11)-1)<>1+2+1048064+4+524032+8+262016+16+13

16、1008+23+91136+32+65504+46+45568+64+32752+89+23552+92+22784+128+16376+178+11776+184+11392+256+8188+356+5888+368+5696+512+4094+712+2944+736+2848+1024+2047+1424+1472n=11:8386560=2(11)*(2(12)-1)<>1+2+4193280+3+2795520+4+2096640+5+1677312+6+1397760+7+1198080+8+1048320+9+931840+10+838656+12+698880+1

17、3+645120+14+599040+15+559104+16+524160+18+465920+20+419328+21+399360+24+349440+26+322560+28+299520+30+279552+32+262080+35+239616+36+232960+39+215040+40+209664+42+199680+45+186368+48+174720+52+161280+56+149760+60+139776+63+133120+64+131040+65+129024+70+119808+72+116480+78+107520+80+104832+84+99840+90

18、+93184+91+92160+96+87360+104+80640+105+79872+112+74880+117+71680+120+69888+126+66560+128+65520+130+64512+140+59904+144+58240+156+53760+160+52416+168+49920+180+46592+182+46080+192+43680+195+43008+208+40320+210+39936+224+37440+234+35840+240+34944+252+33280+256+32760+260+32256+273+30720+280+29952+288+2

19、9120+312+26880+315+26624+320+26208+336+24960+360+23296+364+23040+384+21840+390+21504+416+20160+420+19968+448+18720+455+18432+468+17920+480+17472+504+16640+512+16380+520+16128+546+15360+560+14976+576+14560+585+14336+624+13440+630+13312+640+13104+672+12480+720+11648+728+11520+768+10920+780+10752+819+1

20、0240+832+10080+840+9984+896+9360+910+9216+936+8960+960+8736+1008+8320+1024+8190+1040+8064+1092+7680+1120+7488+1152+7280+1170+7168+1248+6720+1260+6656+1280+6552+1344+6240+1365+6144+1440+5824+1456+5760+1536+5460+1560+5376+1638+5120+1664+5040+1680+4992+1792+4680+1820+4608+1872+4480+1920+4368+2016+4160+

21、2048+4095+2080+4032+2184+3840+2240+3744+2304+3640+2340+3584+2496+3360+2520+3328+2560+3276+2688+3120+2730+3072+2880+2912n=12:33550336=2(12)*(2(13)-1)=4096*8191n=13:134209536=2(13)*(2(14)-1)<>1+2+67104768+3+44736512+4+33552384+6+22368256+8+16776192+12+11184128+16+8388096+24+5592064+32+4194048+43

22、+3121152+48+2796032+64+2097024+86+1560576+96+1398016+127+1056768+128+1048512+129+1040384+172+780288+192+699008+254+528384+256+524256+258+520192+344+390144+381+352256+384+349504+508+264192+512+262128+516+260096+688+195072+762+176128+768+174752+1016+132096+1024+131064+1032+130048+1376+97536+1524+88064

23、+1536+87376+2032+66048+2048+65532+2064+65024+2752+48768+3048+44032+3072+43688+4064+33024+4096+32766+4128+32512+5461+24576+5504+24384+6096+22016+6144+21844+8128+16512+8192+16383+8256+16256+10922+12288+11008+12192n=14:536854528=2(14)*(2(15)-1)<>1+2+268427264+4+134213632+7+76693504+8+67106816+14+

24、38346752+16+33553408+28+19173376+31+17317888+32+16776704+56+9586688+62+8658944+64+8388352+112+4793344+124+4329472+128+4194176+151+3555328+217+2473984+224+2396672+248+2164736+256+2097088+302+1777664+434+1236992+448+1198336+496+1082368+512+1048544+604+888832+868+618496+896+599168+992+541184+1024+52427

25、2+1057+507904+1208+444416+1736+309248+1792+299584+1984+270592+2048+262136+2114+253952+2416+222208+3472+154624+3584+149792+3968+135296+4096+131068+4228+126976+4681+114688+4832+111104+6944+77312+7168+74896+7936+67648+8192+65534+8456+63488+9362+57344+9664+55552+13888+38656+14336+37448+15872+33824+16384

26、+32767+16912+31744+18724+28672+19328+27776n=15:2147450880=2(15)*(2(16)-1)<>1+2+1073725440+3+715816960+4+536862720+5+429490176+6+357908480+8+268431360+10+214745088+12+178954240+15+143163392+16+134215680+17+126320640+20+107372544+24+89477120+30+71581696+32+67107840+34+63160320+40+53686272+48+447

27、38560+51+42106880+60+35790848+64+33553920+68+31580160+80+26843136+85+25264128+96+22369280+102+21053440+120+17895424+128+16776960+136+15790080+160+13421568+170+12632064+192+11184640+204+10526720+240+8947712+255+8421376+256+8388480+257+8355840+272+7895040+320+6710784+340+6316032+384+5592320+408+526336

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29、60+2056+1044480+2176+986880+2560+838848+2570+835584+2720+789504+3072+699040+3084+696320+3264+657920+3840+559232+3855+557056+4080+526336+4096+524280+4112+522240+4352+493440+4369+491520+5120+419424+5140+417792+5440+394752+6144+349520+6168+348160+6528+328960+7680+279616+7710+278528+8160+263168+8192+262

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