關鍵知識點非退化或非奇異矩陣

1、第四章 矩陣關鍵知識點:非退化或非奇異矩陣,矩陣的逆,伴隨矩陣,分塊矩陣,初等矩陣,矩陣的等價;矩陣乘積的秩定理(定理2,P174),矩陣可逆的充要條件定理(定理3,P177),矩陣的等價標準形定理(定理5,P188), 可逆矩陣能表成初等矩陣的乘積定理(定理6,P190). 本章的三大問題:矩陣的求逆,矩陣的分塊,矩陣的初等變換與初等矩陣. 4.1 計算:1) ; 2) ; 3) . 詳解 1)由于,且與可交換,則 .2)先不完全歸納,然后進行歸納證明.或者,假設第次的旋轉坐標變換為 ,則它們的合成變換為,但這次的旋轉變換的合成變換恰好相當于1次的旋轉角的旋轉變換,那么也有,所以有.3)記,

2、則,那么(與可交換). 4.2 設,是一個矩陣,定義.若,試求. 略解 根據(jù)題目中的定義,則有.4.3 證明:任一矩陣都可表成一對稱矩陣與一反對稱矩陣之和.提示 ,前者對稱,后者反對稱.4.4 設,其中.證明:與可交換的矩陣只能是對角矩陣. 略證 設與可交換,則,那么,則當時,從而也為對角矩陣. 4.5 設,為級單位陣,.證明:與可交換的矩陣只能是準對角陣,其中為級矩陣. 提示 設與可交換,其中為陣,則,那么當時,則只能為準對角矩陣. 4.6 用表示行列的元素為1,而其余的元素全為0的矩陣,證明:1)若,則當時,當時;2)若,則(),(),且;3)若與所有的級矩陣可交換,則必為數(shù)量矩陣,即.

3、略證 1)由,則,比較即可.2)同樣.3)與所有的級矩陣可交換,則與可交換, 由2)即知成立.4.7 證明:若是實對稱矩陣,且,則.略證 記,則,且,那么,則,則,那么,即.4.8 設,.證明:. 略證 利用行列式的乘法規(guī)則及范得蒙行列式的結果,則有 .4.9 設是矩陣,證明:若,均有,則.略證 取維單位列向量組,則,那么,即,所以.4.10 設為陣,為陣,且. 證明:如果,那么.略證 記(按行分塊),由,那么,又,即線性無關,因此有,即.另證 記(列分塊),則,那么,又,不妨設的前個向量為極大線性無關組,則有,但是可逆,所以.問題 設分別為矩陣,且,.證明:若,則.提示 利用本題即可證明.

4、4.11 證明:.略證 記,(均按列分塊),則.又組可由組線性表出,那么 .4.12 設為陣.證明:如果,那么. 詳證 設,記(按列分塊),由,那么, 則,說明是齊次線性方程組的一組解向量, 另設方程組有一基礎解系,則可由線性表出, 所以,即得.4.13 設,已知存在,求. 詳解 設為陣,為陣,則,那么存在,設,其中陣塊分別為矩陣,由于,則, 可解得,所以.另解 由于,則,則,則,所以.問題 設,其中,并且,.求.提示 利用本題結論計算.4.14 矩陣稱為下三角矩陣,如果時有.證明:可逆的下三角矩陣的逆仍是下三角矩陣.詳證 對方陣的階數(shù)作歸納.時顯然成立.假設時結論成立.下證時的情形,設為下三角陣,記(分塊),則存在,且為階可逆的下三角陣,由歸納假設,那么也為下三角陣.又,那么,所以時也成立.說明 本問題也可設出來直接證明,對于上三角矩陣也同樣成立.4.15 設為矩陣().證明:.提示 .若,由于,則;若,則(否則,可逆,矛盾),則結論也成立.(或者當時,利用4.12討論證明).4.16 設同上.證明:略證 若,則;若,則(存在階非零子式),又,由題4.12則,則;若,則(的所有階子式均為零),則.4.17 設,求.提示 由于,那么有,.說明 本題也可對矩陣直接用初等變換求逆或用伴隨矩陣求逆.4.18 設分別為矩陣和矩陣.證明:.略