北京四中高中數(shù)學(xué)簡單的三角恒等變換提高知識講解新人教A版必修1

1、1 簡單的三角恒等變換（提高） 【學(xué)習(xí)目標】 1 能用二倍角公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦、正切公式； 2 掌握公式應(yīng)用的常規(guī)思路和基本技巧； 3了解積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)過程，能初步運用公式進行互化； 4通過運用公式進行簡單的恒等變換，進一步提高運用聯(lián)系的觀點、化歸的思想方法處理 問題的自覺性，體會換元思想的作用，發(fā)展推理能力和運算能力； 5通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系和知識發(fā)展過程，體會特殊與一般的關(guān)系，培養(yǎng) 利用聯(lián)系的觀點處理問題的能力. 【要點梳理】 要點一：升（降）幕縮（擴）角公式 升幕公式：1 cos2： =2cos :- , 1-cos2： - 2sin :- 降幕公式：

2、cos2, sin2,上注 2 2 要點詮釋： 2 a 2 a 利用二倍角公式的等價變形： 1-cos，-2sin2 , 1 co - 2cos -進行“升、 2 2 變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升幕”變換，逆用上述公式即為 冪”變換. 要點二：輔助角公式 1.形如asinx bcosx的三角函數(shù)式的變形： a sin x bcosx 令 cos = a ,sin 屮=，則 asin x bcosx=a2 b2 sinxcos cosxsin = a2 b2 sin（x ） K （其中角所在象限由a,b的符號確定，角的值由tan二一確定， a sin + b 和 cos

3、, a 共同確定.） Ja2 +b2 Vab2 通 過 應(yīng) 用 公 式 asinx bcosx = . a - b sin（x ） （ 或 2 .輔助角公式在解題中的應(yīng)用 降幕” ； - sin x + $ cosx 2 as i杈n b= Ja2處2 cos -）,將形如asinx+bcosx （ a,b不同時為零）收縮 為一個三角函數(shù) Ja2 +b2 sin（x十）（或Qa2 +b2 cos -半）.這種恒等變形實質(zhì)上是將 同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)， 這樣做有利于函數(shù)式的化 簡、求值等. 要點三：半角公式（以下公式只要求會推導(dǎo)，不要求記憶 ） 1 cos：

4、，cos2 2 tan一 JCos 2 , 1 cos: 以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的. a si na a 1 -cosa tan , ta n 2 1 cos ： 2 sin 二 以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示. 要點四：積化和差公式 1 sin : cos sin（二 -） sin（二 1 ） 2 1 cossin sin（很亠卩）sinC -） 2 1 cos ： cos cos（： - - ） cos（-：l -） 2 1 sin : sin cos（： - -）-cos（:;亠） 2 要點詮釋： 規(guī)律 1:公式右邊中括號前的系數(shù)都有 丄.

5、 2 規(guī)律 2:中括號中前后兩項的角分別為 二！和-二 規(guī)律 3:每個式子的右邊分別是這兩個角的同名函數(shù). 要點五：和差化積公式 x y x y sin x sin y 二 2sin cos 2 2 x y . x - y sin x -sin y 二 2cos sin 2 2 x + y x _ y cosx cosy =2cos cos 2 2 x y . x - y cosx cosy - -2sin sin 3 2 2 要點詮釋： 規(guī)律 1 :在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有 2. 規(guī)律 2:在所有的公式中，左邊都是角 A 與 B 的弦函數(shù)相加減，右邊都是-A-B 與 2 2 的弦函

6、數(shù)相乘. 規(guī)律 3:在第三個公式中，左邊是兩個余弦相加，右邊是兩個余弦相乘，于是得出“扣 （cos ）加扣等于倆扣”；而第四個公式中，左邊是兩個余弦相減，右邊沒有余弦相乘，于是 得出“扣減扣等于沒扣”. 規(guī)律 4:兩角正弦相加減時，得到的都是正弦、余弦相乘. 1、 公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系. 2、 只有系數(shù)絕對值相同的同名三角函數(shù)的和與差， 才能直接應(yīng)用公式化成積的形式. 如 sin cos 1就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式. 3、 三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只 要沒有運算錯誤，

7、其結(jié)果實質(zhì)上是一樣的. 4、 為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式， 有時需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值, 1 n n . n 如 cos ： = cos cos ： - -2sin sin - 2 3 6 2 6 2 5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個三角函數(shù)式的最簡形式. 【典型例題】 類型一：利用公式對三角函數(shù)式進行證明 例 1 .求證： 3 -4cos2A cos4A 4 人 tan A . 3 4cos2A cos4A 【思路點撥】觀察等式左右兩邊，易知運用倍角公式進行轉(zhuǎn)換. 【證法一】 左邊 3 - 4cos2A 2cos2 2A T 3+4 cos 2 A + 2 cos2 2

8、A -1 2 2cos 2A -4cos2A 2 2 2cos 2A 4cos2A 2 2 cos 2A - 2 cos2A 1 cos2 2A 2 cos 2 A 1 4 (cos2A-1)3 4 (2sin2 A)2 一(cos2A 1)2 一(2cos2 A)2 4 =tan A =右邊 等式成立 亠、斗 4(1 一 cos2A) (1 一 cos4A) 左邊 4(1 +cos2A) _(1 _cos4A) 4 2 si n2A -2s in2 2A 8si n2A-8si n2Acos2A 2 2 2 2 2 4 2 cos A -2 sin 2A 8 cos A-8sin A cos

9、 A sin2 A(1cos2 A) 二 2 2 cos A(1 - sin A) - 等工式成立 【總結(jié)升華】 證明題的一般原則是由繁到簡本題從左往右證，方法是弦化切，注意到 4A 2A A，然后巧妙地運用二倍角的余弦公式而獲解. 舉一反三： 2 . 2 ： cos sin - 4 2 sin4 A -cos4A =tan2 A =右邊 5 2ta n 二 sin 1 +ta n2 2 2 ： 1-tan - 2 cos： 2 a 1 ta n 2 2ta n 二 tan : 2 0( 1 -ta n 2 2 . 2 -cos sin 2 2 2 . 2 ： cos sin - 2 2 a

10、a a 2sin cos 2ta n 2 2 2_ 2 2 2 cos sin 1 - ta n 2 2 2 cos A cos(120 B) cos(120 - B) A B sin B sin(120 A) -sin(120 A) 2ot a sin： =2s in cos 2 2 a CL 2sin cos 2 2 2 2 - sin cos 2 2 a 2ta n 2 2 a 1 tan2 2 【變式 1】求證: cos： 2 a 1 - tan2 2 si n tan - cos。 【變式 2證明: 6 cos A cos(120 B) cos(120 - B) cos A 2cos

11、120 cosB sin B si n(120 A) -si n(120 -A) - si n B 2cos120 sin A A+B A B -cos - I 2 _. M + B A _ B ) sin I I 2 c . A+B . AB -2sin sin【證A B A-B cos - I 2 .M + B A + B) sin I I 2 7 類型二：利用公式對三角函數(shù)式進行化簡 3TT 例 3.已知. 2二，試化簡.1 sin .1 -sin . 2 【思路點撥】根據(jù)化簡的基本思想，本題需消去根式，聯(lián)想到恒等式 (e 1 _ s i n = si n I 2 3： c 3 c 2

12、* 71 2 2 二，二 ，二 0 ： sin , 一1 ： cos 2 4 2 2 2 2 2 日 日 c 日 6 從而 sin cos 0, sin cos 0, 2 2 2 2 【總結(jié)升華】從局部看（即每個式子本身）上述解法是唯一解法，但從整體看兩個根 _ 2 號里面的式子相加得 2，相乘得 cos -，因此可以“先平方暫時去掉根號” .注意到 3 : 2二，貝U sin r : 0, COST 0，設(shè) x =叫1 sin - . 1 - sin，貝U xv 0,則 2 x2 =2 2j 1 sirfe = 2- d = 2 cbs 又0,則由半角公式得 12 丿 .0 0 .0 e s

13、in +cos sin -cos 2 2 2 2 【解析】 原式 sincos 2 2 sinos# 2 2 2 -2 Vos2： 二 ： 2 J2 2cos。，又上乏 2 2 2 a sin 0 2 8 原式 j1 1 a a 從而 i - cos=sin.即原式=sin . V2 2 2 2 類型三：利用公式進行三角函數(shù)式的求值9 例 4. 已知 sin -sin : 1 3 cos： -cos ：=- 2 ，試求sin（、-）的值. 【解析】 解法一：由？+：得2 - 2cos（_ -） 二13，即 cosC - J 二蘭. 36 72 再將兩邊分別相乘，得 1 1 - - 1 sin

14、2 sin 2 - -sin（很亠 I）= 2 2 6 1 即 sin（：亠，）cos（匚-_） sin：亠.）= 6 59 將cos（七代入上式，得河：） 12 13 解法 因為 COS： COS: a + P a - P -2s in sin 2 2 sin ：sin : 2cos sin 2 a + P =-ta n 2 所以tan- 2 -，再由例 1 的【變式 1】中的公式可得: 2 sin(a +B) =sin 2 a + P 2ta n _ 2_ 2 a + P 1 tan2- 2 2 3 2 1 9 4 12 13 【總結(jié)升華】 將條件進行加、減、乘、除以及對條件式進行平方再進

15、行運算都是常用 的解題手段，當(dāng)然這需要根據(jù)題設(shè)條件靈活處理. 舉一反三： 【變式 1】若 tan a + tan : 10 3 J JI J )，則 sin(2 a + )的值為( 4 2 4 A遼 10 B. 10 C.垃 10 D. 72 10 【答案】 【解析】 由 tan Tt (- 4 + 一 tan : JI )得 2 冬(tan 3 a 3)(3tan a 1) = 0 得 tan a = 3 或 tan 1 兀 tan a 1 , 故 tan a = - 舍去，而 sin(2 a + 3 4 10 2 2tan ： T -tan :- 2 1 tan : sin 很亠 cos二

16、 r r 【變式 2】右 =3, tan( a 3 ) = 2,貝U tan( 3 2 a )= sin a cosa 4 【答案】- 3 又 tan( a 3 ) = 2, tan( 3 2 a ) = tan( 3 a ) a =一 tan( a 一 3 ) + a _ tan( a-B)+ta na _4 1 -tan(o -P) tan口 3 類型四：三角恒等變換的綜合應(yīng)用 例 5已知 f (x)二sin2 x 2sin xcosx 3cos2 x，求: (1) f(x)的最大值以及取得最大值的自變量的集合； (2) f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【思路點撥】先用降幕公式降幕，然后利用 asi

17、 n x亠bcosx = , a2亠b2 si n(x亠)這個 公式把原式進行變形. 、 、 二 5 二 單間區(qū)間x E + k兀+ k兀 k E z x g 8 k ,k z 【解析】 (1) f(x)二sin 2x cos2x 2 =.2 si n( 2x ) 2 4 JI 兀 由 x，R, . 2x =2k 二-時 4 2 即 x|x 二k ,k：=Z 時，fmax(x)= .2 2 . I 8 J sin 2：亠cos2: =至 X 2sin 2 , 2 2 芒 cos ”：亠 cos sin : 2 7 2 sin ：亠 cos : ,將分式分子與分母同除 10 【解sin ：亠 c

18、os:- sin -cos： = 3, tan :- 一1 tan a = 2. 【答案】(1 ) ,2 2 ( 2 ) 單增區(qū)間 X。一竺乜k畀z x 8 k ,8 k ,k z 以 cos2 a 得 sin(2 4 2 11 /、小 n I it n (2) 2x 2k二， 2k二, 4 2 2 卄 _ 3兀 兀 即 x k二， k二，k 三 z 1 8 8 J f (x)是單增函數(shù). 二 二 3 二 2x 7 _? 2kq 2k 卄 二 5二 即 x k二， k二，k z 18 8 J f (x)是單減函數(shù). 舉一反三: 【變式 1 】設(shè)函數(shù) f(x)=cos(2x+ )+sin 2 x

19、. 3 (1) 求函數(shù) f(x)的最大值和最小正周期. 1 C 1 (2) 設(shè) A,B,C 為厶 ABC 的三個內(nèi)角，若 cosB=，f( )= ，且 C 為銳角，求 si nA. 3 3 4 1 +x/3 1 【答案】(1) (2)- 2 3 【 解 析 】 ( 1 ) JI 2 二 兀丄1 - yos2x 1 3 f(x)=cos(2x+ )+si x= cos2xcos sin 2xsin sin 2x 3 3 3 2 2 2 1 + 73 所以函數(shù) f(x)的最大值為1一-,最小正周期:. 2 C 1 3 2C 1 2C - 3 2C (2) f( C)= 1 sin =,所以sin

20、,因為 C 為銳角，所以 ,所以 3 2 2 3 4 3 2 3 312 JI C =一，所以 si nA =cosB= 2 【變式 2】已知函數(shù) f (x) = asin x cosx -、. 3a 2 /3 cos x a b (a 0) 2 (1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間; 設(shè)x. 0, , f (x)的最小值是_2，最大值是.3，求實數(shù)a,b的值. 【答案】(1)k二 土，k二亠,k Z (2) 12 12 a = 2 b - -2：卜:;$3 【解析】 1 f (x) asin2x 2 3a 3 . (1 cos2x) a b 2 2 二 asin 2x 2 x3a 2 n cos2x

21、 b = asin(2x -一) b 3 3 二 5 二 11： (1) 2k ： _2x_2k ,k x 乞 k二 2 3 2 12 12 5兀 11兀 .k ,k , k Z 為所求 12 12 2: - /3 二 (2)OEx , 2x , sin(2x )1 2 3 3 3 2 3 f (x)min 類型五：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用 例 6 .青海玉樹地震過后，當(dāng)?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn)，焊工王師傅每天都很忙 碌今天他遇到了一個難題：如圖所示，有一塊扇形鋼板，半徑為 1 m,圓心角 ，廠長要求王師傅按圖中所畫的那樣，在鋼板 OPQ 上裁下一塊平行四邊形 3 鋼板 ABOC 要求使裁下鋼

22、板面積最大試問王師傅如何確定 A 點位置，才能使裁 下的鋼板符合要求？最大面積為多少？ 【思路點撥】因為 A 點是動點，所以連接 OA 設(shè)/ AOP=,然后用的三角函數(shù)來表 示平行四邊形鋼板 ABOC 勺面積，最后利用三角函數(shù)的知識求面積的最大值. 950 【答案】當(dāng)A是PQ的中點時，所裁鋼板面積最大，最大面積為 3 m 6 【解析】連接 0A 設(shè)/ AOP=, 過 A 作 AFU OP 垂足為 H,在 Rt AOH 中，AH=sin ：, AH OH=cos:.在 Rt ABH 中， 一 BH 二 tan 60 二.3,所以 BHsin、 3 OB =OHBH 二 cos 3 sin : 3

23、 設(shè)平行四邊形 ABOC 勺面積為 S, 73 S =OB AH =icosasin a sin a =sinacosa I 3 丿 晶i in 3 1 .3 1 sin 2 （1 -cos2二） sin 2二 2 6 2 COS2：- 6 1 ；丿3 1 =. sin 2工，一COS2-：: 暑2 2 -.sin 2： .3 2 TE TC JI 由于0 ，所以當(dāng)2 ，即 3 6 2 1 3 訐.所以當(dāng) A 是PQ的中點時，所裁鋼板面積最大，最大面積為 【總結(jié)升華】 解決本題的關(guān)鍵是巧妙設(shè)元，使其他各有關(guān)的量均能用 關(guān)于的函數(shù)，再運用倍角公式、和角公式構(gòu)成函數(shù)，然后進行三角變換求解是解決此

24、類問題的常用方法注意數(shù)形結(jié)合思想在解決題中的應(yīng)用. 舉一反三： 【變式 1】如圖 ABCD 是一塊邊長為 100m 的正方形地皮，其中 ATPN 是一半徑為 :-表示，建立 S 90m 的扇形小山，P 是弧 TN 上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建 造一個有邊落在 BC 與 CD 上的長方形停車場 PQCR. (1)設(shè).PAB - v，長方形停車場 PQCF 面積為 S,求S二f (旳 (2)求S二f (R的最大值和最小值. 【答案】（1） S =10000 -9000（sin r COST） 8100sin JCOSV （2） 14050 9000、. 2 【解析】(1 )作 PM 丄 AB 于 M 點，又 PAB - 6 ( 0 w 90 ,)則 14 AM =90cos h PM =90sin v, RP 二 RM -PM =100 -90sin 二 PQ 二 MB =100 -90cosr, .S = PQ PR = (100 90sin R(100 90cosr) = 10000 -9000(sin v COST) 8