有關(guān)煤礦安全問題的隨機(jī)事故解析模型

1、有關(guān)煤礦安全問題的隨機(jī)事故分析模型摘要煤礦頻頻發(fā)生事故，造成的大量的人員喪亡和損失，雖然各級政府和相 關(guān)的管理部門一再強(qiáng)調(diào)安全生產(chǎn)的重要性，但還是不能有效地遏制煤礦各種 事故的發(fā)生，這是什么原因？有沒有什么辦法可以使這些事故尤其是重大安 全得到遏制、減少？本文從事故發(fā)生的機(jī)理方面進(jìn)行研究表明最優(yōu)檢測成本 與損失成本相等；最壞情形下發(fā)生事故的概率分布函數(shù)是時(shí)間f的單調(diào)增的 函數(shù)，不僅是隨時(shí)間增加的，而且隨時(shí)間的增長有加速的趨勢,安全運(yùn)行的時(shí) 間越長，發(fā)生意外事故的可能性越大；我們只有全力防范，加大檢測密度， 盡可能采用先進(jìn)檢測裝備，降低每次的檢測成本，才可以最大限度的減少事 故的發(fā)生。1.問題的

2、提出近年來，煤礦頻頻發(fā)生事故，造成的大量的人員喪亡和損失，雖然各 級政府和相關(guān)的管理部門一再強(qiáng)調(diào)安全生產(chǎn)的重要性，但還是不能有效地遏 制煤礦各種事故的發(fā)生，這是什么原因？有沒有什么辦法可以使這些事故尤 其是重大安全得到遏制、減少？我們將從事故發(fā)生的機(jī)理方面進(jìn)行研究以求 得到一些有用的結(jié)論。目前我國大多數(shù)煤礦的生產(chǎn)條件和環(huán)境都很不理想，有的一些中小煤 礦的生產(chǎn)環(huán)境甚至可以用“惡劣”來描述，即便是生產(chǎn)環(huán)境較好的一些礦 山，由于煤層地質(zhì)構(gòu)造的復(fù)雜性，隨時(shí)都有發(fā)生安全事故的可能性。有鑒于 此，我們希望每一個(gè)礦山用最大的力量去檢查每一個(gè)影響礦山安全的因素， 盡一切可能消除事故隱患；有些人在這樣做，有些人

3、這樣做過，一個(gè)月，兩 個(gè)月，。，一年過去了，安然無事，于是不再在這些方面下工夫，投入 減少，力量削弱，。起結(jié)果自不待言。他們只看到了事物的一方面，就 是礦山安全事故因素的檢測成本，他們不愿意花費(fèi)太多的成本在這些在他們 看來沒有任何“收益”的事情上；殊不知還有另外一個(gè)方面，就是因?yàn)闆]有 檢測到而發(fā)生的損失和相關(guān)的費(fèi)用。事實(shí)上我們不可能花費(fèi)超額的成本去進(jìn) 行高密度的檢察，那樣人們將無法生產(chǎn)，一個(gè)可以接受的原則是尋求一種檢 察規(guī)則，使得檢測成本與因未檢測到而發(fā)生的損失費(fèi)用之和最小。2.最優(yōu)化模型的建立假定對礦山的所有有關(guān)安全的因素檢測診斷（好或不好）一次的成本 為可以設(shè)想檢測周期（相臨兩次檢測的時(shí)間

4、間隔）T越廠，因?yàn)闆]有檢 測到相關(guān)事故隱患而發(fā)生的損失厶（門就越大；檢測的頻率越高，因?yàn)闆]有檢 測到相關(guān)事故隱患而發(fā)生的損失厶（門就越小但是檢測成木就會(huì)增高。不妨設(shè)單位時(shí)間的檢測密度函數(shù)（單位時(shí)間的檢測次數(shù)）為“，于是1/“（/）就 是兩次檢測之間的時(shí)間間隔，而1/2“（）就是岀現(xiàn)的可以造成事故的隱患因素 而沒有被檢測出來的期望（平均）時(shí)間，由此而造成的期望損失是厶(門=厶(1/2“(/),并且£'>0,r>0是嚴(yán)格凸函數(shù)。假定第一次發(fā)生事故的時(shí)間 是f,定義x(r) = £n(s)t/5于是*(/) = “(/),曲)為直到時(shí)刻為止的累計(jì)檢測次數(shù) 在此

5、期間發(fā)生的檢測成 本將是Co%(/) 令尸為在時(shí)間間隔0，/發(fā)生事故的己知概率分布函數(shù)(通過長期 的觀察分析和研究可以得到這種分布函數(shù))，于是F就是發(fā)生事故的概率 密度函數(shù)，當(dāng)然弘)是不減的且滿足F(0) = 0,F(r1) = l (此假設(shè)表示，該礦山系 統(tǒng)將必在時(shí)間"(可以很長)發(fā)生事故，盡管我們不希望事實(shí)如此，但是我 們必須做這樣的設(shè)想以預(yù)防一切可能發(fā)生的事故).在第一次發(fā)生事故前的 這段時(shí)間里，礦山應(yīng)承擔(dān)的檢測成本與損失費(fèi)用的期望值是 伽曲)+厶(僉)(1)即在時(shí)間f發(fā)生的成木費(fèi)用之和與時(shí)刻r出現(xiàn)故障的概率密度的乘積在第一 次事故前的時(shí)間區(qū)間上的積分(累積效應(yīng))，我們將要確定

6、一個(gè)檢測密 度函數(shù)"使這個(gè)期望值最小。由前述討論，得到我們研究的問題為如下的優(yōu)化模型：1)最優(yōu)檢測計(jì)劃“的一個(gè)隱函數(shù)形式的解是nin J ' cox(r) + L(1 / 2u(t') Ftdt(2)S.T:xt) = u(t), x(O) = 0, MJ不確定是自由的。3主要結(jié)論C(1 /2n(r)/r(r) = 2c()(1 -F(f)/F(f)。2) 當(dāng)損失函數(shù)是線形函數(shù)，即L(T) = cT,最優(yōu)檢測規(guī)劃為(9)式時(shí)，檢測成本與損失成木相等£ L(l/2u(f)F/t= £ L(l/2u(t)F'dto3) 最壞情形下發(fā)生事故的概率

7、分布函數(shù)是時(shí)間f的單調(diào)增的函數(shù)，并且F(r)>0, F"(r)>0,不僅是隨時(shí)間增加的，而且隨時(shí)間的增長有加速的趨勢，安全運(yùn)行的時(shí)間越長，發(fā)生事故的可能性越大。4) 最壞情形下明智的選擇是采用最優(yōu)的檢測規(guī)劃u(t) = cF(/)/(2c°(l - F(/) u2 = y/c/c()(tl-t)/2 可以發(fā)現(xiàn)，“U)>0,并且/W >0,以預(yù)防隨時(shí)可能發(fā)生的不測之情況。4. 結(jié)論的證明幾有關(guān)討論Do由(2)式描述的這個(gè)問題的哈密爾頓函數(shù)是H = cox + L( 1 / 2m) F *+A u從乞=Z/(l/2”)二+ 兄=0 有2ir=dL(l/2

8、u)/dthr但是A9=-dH/dx = -c0F 且兄(")= 0,于是 gFM=-C(1/2”),兩邊對/積 2ir分£ c°Fdt = -£ 6/L'(1/2w)F'(0/2h2(3)利用F(rJ = l和A(tl) = Lt(l/2u)F72u2 =0 at(4)對式(3)積分得c0-coF(O = Ll/2u)r(t)/2u2于是我們得到關(guān)于最優(yōu)檢測計(jì)劃嗆)的一個(gè)隱函數(shù)形式表示的解L'(1/2h(/)/W2 =2c0(l- F(f)/F(f) (5)對于損失函數(shù)是檢測間隔的線形函數(shù)的特殊情形，L(T) = cT ,(5)

9、式給出一個(gè)顯式解 u(t) = cF(r)/(2c°(l - F(r)"2(6)可見，發(fā)生礦山事故的直到時(shí)刻/為止的條件概率密度F/(l-F)越大，每次的 檢測成木5越小，因檢測不到而發(fā)生的損失c越大，檢測頻率就越高。2) ?，F(xiàn)在我們證明，當(dāng)損失函數(shù)是線形函數(shù)即L(T) = cT,最優(yōu)檢測規(guī)劃為(6) 式時(shí)，檢測成木與損失成本相等，即且最小的期望成本是(2c°c 嚴(yán)F(/)(1-")%.由(6)及E(T) = cT,知42®宀需專SZ)存"從而L(i/2u(t)F'dt =但是(cx(tF'dt =£'

10、; qj； gdsF't = q”心)dsF(/)：cou(t)F(t)dt=£' c()u(s)ds - £' cou(t)F(t)dt故£ U/2u(t)F'dt= £' L(/2u(t)F'dt因此，期望成本為伽M)+ U肅)F(M=2掙耐廬“二血武 J(1-F)FM(9)3) 。我們設(shè)想在最壞的情形，有一只“黑手”要選擇一個(gè)發(fā)生事故的概率分 布函數(shù)尸使期望成本(9)最大。下面將討論這只“黑手”將要選擇一個(gè)什么樣 的概率分布函數(shù)F，設(shè)事故在時(shí)間"發(fā)生，這里的問題是如次的規(guī)劃問題：nnx J2

11、coc JQ- F)FdfS.T： F(O) = O,F&) = 1由于被積函數(shù)不顯含f,所以有2】(1- F)F'"2 -F(1 F嚴(yán)F'-,2/2 = (1- F)F,1/2 /2 = c'此即(-F)F'=k從而=積分之并注意到F(0)=01/2_(1_弘)嚴(yán)/2 =匕于是1-(1"嚴(yán)十注意到F(r,) = l可得k = 代入上式有 這就是最壞情形下發(fā)生事故的概率分布函數(shù)。它是一個(gè)與系統(tǒng)特征無關(guān)的時(shí) 間，的單調(diào)增的函數(shù)，并且F'(r)>0,尸(/)>0,不僅是隨時(shí)間增加的，而且隨 時(shí)間的增長有加速的趨勢，這里

12、揭示了一個(gè)非常重要的事實(shí)：隨著時(shí)間f接 近片的程度的提高(“接近1),發(fā)生故障的可能性迅速地趨向1,亦即安全 運(yùn)行的時(shí)間越長，發(fā)生故障的可能性越大。這一點(diǎn)應(yīng)該引起人們的高度重 視，安全運(yùn)行的時(shí)間越長，人們越是容易麻疲而輕視了安全工作的重要性， 這種時(shí)候離發(fā)生事故的時(shí)間就不會(huì)很遠(yuǎn)了，這不是因?yàn)閯e的原因，而是客觀 的情形如此，須知F(r)>0并且F"(r)>0! !4) 0在上述最壞情形，明智的選擇是采用最優(yōu)的檢測規(guī)劃，由(6)式= c/c0(tl t)/2 ( 10)可以發(fā)現(xiàn)，0>0,并且“七)>0,正所謂魔高一尺，道高一丈！表1、2 給出了部分情況下的最優(yōu)檢測

13、次數(shù)和最壞情形下發(fā)生故障的概率，由此我們 可以看到故障概率隨時(shí)間增加的強(qiáng)烈趨勢。最優(yōu)檢測密度(每周檢測次數(shù)) 數(shù)據(jù)表明了單位時(shí)間的檢測次數(shù)是如何隨著時(shí)間的增加和系統(tǒng)本身特征的 變化而改變的，同時(shí)表明，而對最壞的情況，人們只有全力防范，加大檢測 密度，盡可能采用先進(jìn)檢測裝備，降低每次的檢測成木，才可以最大限度的 消除事故隱患、減少事故尤其是重大事故的發(fā)生。有關(guān)部門不難從本文的結(jié) 論中了解并認(rèn)識(shí)到制訂相關(guān)的法律、法規(guī)以根本杜絕那些毫無安全保障的煤 礦主無視礦工生命的野蠻采掘，促使礦山竭力加強(qiáng)安全保障。5）o我們這里雖然是以煤礦為背景進(jìn)行的討論，但是不難發(fā)現(xiàn)，不論是優(yōu)化 模型，還是所得結(jié)論對于那些存

14、在偶發(fā)性（或突發(fā)的、不可預(yù)先確知）的破 壞事件的系統(tǒng)也具有實(shí)際的參考價(jià)值。表1每周檢測次數(shù)（c/c°=10, r,=52周）相對時(shí)間（中）.01.11.21.31.41.51.61.71.81o 91檢測次 數(shù)/每周O2204O2324O2467O2640O2855O3132O3511O4072O5030O7309表2每周檢測次數(shù)與事故概率（c/q = 10, “=20周）相對時(shí)間（/1）.01.11.21.31.41.51.61.71.810 91檢測次00.0.0.0.00.0.0.1.數(shù)/每周355337473978425660350515661656581111785事故發(fā)o 0050 050OOOo 300O