相似三角形模型分析大全

1、第一部分 相似三角形模型分析大全1、 相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一線三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：（6） 雙垂型： 2、 相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。 8字型拓展共享性 一線三等角的變形 一線三直角的變形第二部分 相似三角形典型例題講解母子型相似三角形 例1、已知：如圖，ABC中，點(diǎn)E在中線AD上, 求證：（1）； （2）ACDEB 例2、已知：如圖，等腰ABC中，ABAC，A

2、DBC于D，CGAB，BG分別交AD、AC于E、F求證： 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)關(guān)鍵是能根據(jù)所證連接CE相關(guān)練習(xí)：1、如圖，梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BECD交CA延長(zhǎng)線于E 求證： 2、如圖，已知AD為ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線求證： 3、ACBPDE（第4題圖）已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDAB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且EPD=A設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，BEP的面積為y（

3、1）求證：AE=2PE；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)BEP與ABC相似時(shí)，求BEP的面積雙垂型1、如圖，在ABC中，A=60°，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED解答：證明：（1）CEAB于E，BFAC于F，AFB=AEC，A為公共角，ABDACE（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）（2）由（1）得AB：AC=AD：AE，A為公共角，ADEABC（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似）(3) ADEABCAD：AB=DE：BC又A=60° BC=2ED共享型相似三角形1、ABC是等邊三

4、角形,D、B、C、E在一條直線上,DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等邊三角形的邊長(zhǎng). 如圖ABC是等邊三角形ABC=BAC=ACB=60°又DBCE在一條直線上ADB+DAB=CAE+AEC=ABC=60°DAE=120°DAB+CAE=DAE-BAC=120°-60°=60°由上可知ADB=CAE，DAB=CAEDABAEC三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例BDAC=ABCEBD=1，CE=3AB=AC=32、已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，DAE=45°求證：（1）ABEACD； （2）解答：證明：（1）在RtABC中

5、，AB=AC，B=C=45° （1分）BAE=BAD+DAE，DAE=45°，BAE=BAD+45° （1分）而ADC=BAD+B=BAD+45°，（1分）BAE=CDA （1分）ABEDCA （2分）（2）由ABEDCA，得 （2分）BECD=ABAC （1分）而AB=AC，BC2=AB2+AC2，BC2=2AB2 （2分）BC2=2BECD （1分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，特別是與勾股定理聯(lián)系起來(lái)綜合性很強(qiáng)，難度較大一線三等角型相似三角形CADBEF例1：如圖，等邊ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60°（1）求證

6、：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE 證明：（1）ABC是等邊三角形B=C=60°EDF=60°CDF+EDB=180°-EDF=120° BED+EDB=180°-B=120°CDF=BEDB=CBDE相似CFD2、BD=1CD=BC-BD=6-1=5BDE相似CFDBE/CD=BD/CFBE/5=1/3 BE=5/3 CDABP例2、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長(zhǎng)（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合）

7、，且滿足BPEA，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng)解答：解：（1）ABCD是梯形，ADBC，AB=DCA=DABP+APB+A=180°，APB+DPC+BPC=180°，BPC=AABP=DPC，ABPDPC，即：解得：AP=1或AP=4（2）由（1）可知：ABPDPQ，即：，（1x4） 當(dāng)CE=1時(shí)，AP=2或點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵   例

8、3：如圖，在梯形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，射線交腰于點(diǎn)，射線交腰于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)（1）求證：；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的長(zhǎng)；（3）若，求的長(zhǎng)1. 證明:AB=CD.梯形ABCD為等腰梯形,B=C;又EMF=B,則:CMF=180度-EMF-BME=180度-B-BME=BEM.CMFBEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.MF/EM=BM/BE;EMF=B.MEFBEM.2.解:當(dāng)BM=BE=3時(shí):MF/ME=BM/BE=1,則MF=ME.EFBC;又BE=3=AB/2.故EF為梯形的中位線,EF=(AD+BC)/2=9/2;當(dāng)ME=BM=3時(shí):MEB=B=C=FMC.連接DM.BM

9、=BC/2=3=AD,又BM平行BM,則四邊形ABMD為平行四邊形.DMC=B=FMC,即F與D重合,此時(shí)EF=CD=6.3.解:EFCD;CFM=BME=EFM.EFM=45°=BME.作EGBM于G,則EG=GM;作AHBM于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=(AB²-BH²)=315/2.設(shè)EG=GM=X,則BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(315/2),X=(45-315)/14.BE/BA=EG/AH,即BE/6=(45-315)/14/(315/2),BE=(615-6)/7.練習(xí)：如圖，已知邊長(zhǎng)為的等邊，點(diǎn)

10、在邊上，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以線段為邊向右側(cè)作等邊，直線交直線于點(diǎn)，（1）寫出圖中與相似的三角形；（2）證明其中一對(duì)三角形相似；（3）設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（4）若，試求的面積備用圖一線三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)A,D不重合，過點(diǎn)P作，交邊AB于點(diǎn)E,設(shè)，（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。(2)如果PCD的面積是AEP面積的4倍，求CE的長(zhǎng)；(3)是否存在點(diǎn)P，使APE沿PE翻折后，點(diǎn)A落在BC上？證明你的結(jié)論。解答：（1）解：PECP， 可得：EAPPDC， ，又CD=2，AD=3，設(shè)PD=x，AE=y，y=-，0x3；（2）解：當(dāng)PCD的面積是AEP面積的4倍，則：相似比為2：1，CD=2，AP=1，PD=2，PE=，PC=2，EC=（3）不存在作AFPE，交PE于O，BC于F，連接EFAFPE，CPPE AF=CP=， PE=，CDPPOA =，OA=，若OA=AF =， 3x2-6x+4=0 =62-4×4