一數(shù)學(xué)建模線(xiàn)性方程組

1、一 問(wèn)題重述和分析房地產(chǎn)價(jià)格問(wèn)題一直是引起廣泛爭(zhēng)論的熱點(diǎn)問(wèn)題。關(guān)于目前中國(guó)的房地產(chǎn)價(jià)格，老百姓普遍認(rèn)為太貴、天價(jià)，所以，當(dāng)?shù)禺a(chǎn)商華遠(yuǎn)集團(tuán)總裁任志強(qiáng)在博鰲論壇上拋出“30年間，和工資收入相比，房子等于沒(méi)有漲價(jià)”的所謂“房?jī)r(jià)沒(méi)漲論”后，立即激起輿論圍攻。有人號(hào)召全國(guó)的老百姓聯(lián)合起來(lái)，不買(mǎi)任志強(qiáng)們的房子，讓房地產(chǎn)商們的房子閑著、爛著、空置著，看他們能挺到什么時(shí)候？看他們還忽悠房?jī)r(jià)上漲不？高房?jī)r(jià)厭惡者反對(duì)一切看漲。 中國(guó)社科院日前日發(fā)布2009房地產(chǎn)藍(lán)皮書(shū)認(rèn)為，今年上半年房?jī)r(jià)總體下行，下半年市場(chǎng)有回暖可能?！盎嘏庇^(guān)點(diǎn)一出，毫無(wú)疑問(wèn)地遭到網(wǎng)友一致炮轟，認(rèn)為其“言過(guò)其實(shí)”。只有傾聽(tīng)更多理性的聲音，才能幫

2、助百姓理性地理解房?jī)r(jià)、最終準(zhǔn)確地判斷房?jī)r(jià)的走勢(shì)。下文中，我們收集全國(guó)房地產(chǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)和長(zhǎng)春市房地產(chǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)，分析確定影響房屋銷(xiāo)售價(jià)格的主要因素，并建立全國(guó)房地產(chǎn)價(jià)格預(yù)測(cè)模型。利用本模型對(duì)長(zhǎng)春市房?jī)r(jià)做了預(yù)測(cè)。二 模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明影響房?jī)r(jià)的因素很多，如人口數(shù)量、建房成本、GDP、儲(chǔ)蓄存款、人均可支配收入、消費(fèi)者需求因素、房地產(chǎn)的住宅總投資、房地產(chǎn)每年的竣工面積、銀行利率、供需關(guān)系等因素有關(guān)。1） 假設(shè)房?jī)r(jià)與建房成本、人均GDP、人均儲(chǔ)蓄存款、人均可支配收入呈線(xiàn)性關(guān)系；2） 房屋建造成本用全國(guó)每年住宅的投資額與房地產(chǎn)竣工面積或者房地產(chǎn)總投資及每年開(kāi)工面積來(lái)衡量；3） 全國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展用人均GDP來(lái)衡

3、量；4） 房?jī)r(jià)購(gòu)買(mǎi)能力用人均儲(chǔ)蓄存款、人均可支配收入來(lái)表示5） 消費(fèi)者心理因素如對(duì)房?jī)r(jià)的期望忽略；消費(fèi)者對(duì)房屋無(wú)偏好，如無(wú)學(xué)校、公園等；6） 假設(shè)銀行利率每年保持穩(wěn)定，房屋供需處于平衡狀態(tài)；7） 忽略一些配套設(shè)施對(duì)建房成本的影響，忽略人為的炒作和政府調(diào)控。本文遇到的符號(hào)說(shuō)明符號(hào)符號(hào)表示的意義符號(hào)符號(hào)表示的意義第一個(gè)自變量，表示第i年的人均可支配收入（元）,. 自變量 的系數(shù)參數(shù)第二個(gè)影響房?jī)r(jià)的自變量，表示第i年的人均GDP（元）.自變量，的系數(shù)參數(shù)第三個(gè)影響房?jī)r(jià)的自變量，表示第i年的房屋造價(jià)（元/平）自變量的系數(shù)參數(shù)第四個(gè)影響房?jī)r(jià)的自變量，表示第i年的人均儲(chǔ)蓄額（元）自變量的系數(shù)參數(shù)為一年的人

4、均可支配收入（元）。以上求得的所有的平均值。為一年的人均GDP（元）以上求得的所有的平均值。為一年的房屋造價(jià)（元/平）以上求得的所有的平均值。為一年的人均儲(chǔ)蓄額（元）以上求得的所有的平均值模型中的房?jī)r(jià)值因變量，表示第i年的均衡房?jī)r(jià)三 模型的建立及求解1. 模型建立由于房?jī)r(jià)與建房成本、人均GDP、人均儲(chǔ)蓄存款、人均可支配收入呈線(xiàn)性關(guān)系，而它們的線(xiàn)性的組合仍為線(xiàn)性，故我們選用多元線(xiàn)性方程來(lái)建立此模型。用最小二乘法對(duì)房?jī)r(jià)和影響房?jī)r(jià)的各個(gè)因素進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到結(jié)果如下：1） 房?jī)r(jià)（y）與人均可支配的收入（x）之間的關(guān)系回歸方程: y=0.217768930943126x+560.28173983545

5、5 相關(guān)系數(shù): r=0.985976555753154 正相關(guān)很強(qiáng). 相關(guān)指數(shù): R2=0.972149768494852 回歸效果很好. 殘差平方和: 106958.4444469952） 房?jī)r(jià)（y）與建房成本（x）之間的關(guān)系回歸方程: y=1.18755704262472x+196.667792349022 相關(guān)系數(shù): r=0.975832723618541 正相關(guān)很強(qiáng). 相關(guān)指數(shù): R2=0.952249504484779 回歸效果很好. 殘差平方和: 183385.1442469013） 房?jī)r(jià)（y）與人均GDP（x）之間的關(guān)系回歸方程: y=0.149389268710064x+768

6、.705072529862 相關(guān)系數(shù): r=0.993657979366149 正相關(guān)很強(qiáng). 相關(guān)指數(shù): R2=0.987356179958018 回歸效果很好. 殘差平方和: 48558.42305325574) 房?jī)r(jià)（y）與人均人均儲(chǔ)蓄存款（x）之間的關(guān)系 回歸方程: y=0.182737648189139x+978.33595734182 相關(guān)系數(shù): r=0.974188714322151 正相關(guān)很強(qiáng). 相關(guān)指數(shù): R2=0.949043651112645 回歸效果很好. 殘差平方和: 195697.181572166根據(jù)以上結(jié)果，我們建立以下模型，具體表達(dá)式為： = *+*+*+*利用

7、各年數(shù)據(jù)， 通過(guò)解線(xiàn)性方程組，確定自變量的系數(shù)，即求、，的值。2模型求解全國(guó)平均房?jī)r(jià)與各量的數(shù)據(jù)如下表所示年份19975160.36388.11235.03743.5179019985425.16765.11473.64280.8185419995888.87188.01495.74739.9185720006279.97828.01607.55075.8194820016907.18591.81544.45779.5201720027702.89367.81607.46765.9209220038472.210510.41634.48018.2219720049500.512299.5208

8、1.09197.42608200510493.614002.02033.210787.32937200611769.516042.22442.812292.93119200713785.818885.32970.913058.03645注：以上數(shù)據(jù)來(lái)自中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局和中國(guó)人民銀行網(wǎng)站全國(guó)平均房?jī)r(jià)與各量的關(guān)系如下圖所示將以上數(shù)據(jù)分組，帶入如下公式= *+*+*+*解得的結(jié)果如下圖所示：i 的取值年份199720000.793836-0.2051551.20755-0.664405199820013.852870.607445-3.25961-4.28758199920020.89812

9、5-0.1345430.0898133-0.548348200020030.04363140.2557880.378429-0.184529200120040.09717180.2774890.201285-0.23343920022005-0.01307770.658785-0.365051-0.501317200320060.1821794.33713-4.49986-4.68644200420070.703143-0.180224-0.633811-0.0583408從上表中分析數(shù)據(jù)，、和呈正相關(guān)。和的值呈負(fù)相關(guān)。對(duì)的處理，去掉其中偏差最大的數(shù)據(jù)和最小的那個(gè)值；對(duì)的處理，舍棄偏差最大的數(shù)

10、值，之后取平均；對(duì)的處理，舍棄負(fù)值和偏差較大的值；對(duì)的處理，舍棄偏差較大的值和絕對(duì)值最小的值。從而解得： = 0.453014 = 0.182798 = 0.289857 = -0.426408于是，房?jī)r(jià)與建房成本、人均GDP、人均儲(chǔ)蓄存款、人均可支配收入的關(guān)系為： = (0.453014)*+ (0.182798)*+ (0.289857)*- (0.426408)*3.模型的修正利用上述所建模型對(duì)房?jī)r(jià)的求解與實(shí)際數(shù)據(jù)的對(duì)比，具體如下表所示：年份19971998199920002001200220032004200520062007模型解2267.352296.062394.072577.7

11、52682.812782.752813.833233.73303.093730.714990.44實(shí)際數(shù)據(jù)17901854185719482017209221972608293731193645偏差477.35442.06537.03629.75665.81690.75616.83625.7366.09611.711345.44 對(duì)偏差處理，去掉最大的和最小的取平均值，得常數(shù)b = 588.55 經(jīng)過(guò)修正后的模型結(jié)果為： = (0.453014)*+ (0.182798)*+ (0.289857)*- (0.426408)*+ 588.55四 模型結(jié)果的檢驗(yàn)與分析1）模型結(jié)果的檢驗(yàn)利用上述所建

12、模型對(duì)房?jī)r(jià)的求解與實(shí)際數(shù)據(jù)的對(duì)比，具體如下表所示：年份19971998199920002001200220032004200520062007模型解1678.81707.511805.521989.22094.262194.22225.282645.152714.543142.164401.89實(shí)際數(shù)據(jù)17901854185719482017209221972608293731193645誤差0.0620.0790.0280.0210.0380.0490.0120.01400760.0070.2072）模型結(jié)果的分析 利用修正后的模型求解，比較接近真實(shí)值。產(chǎn)生誤差的原因是房?jī)r(jià)還受其他很多因素影

13、響，如銀行利率、供需關(guān)系、人的心理、城市化、國(guó)家對(duì)房?jī)r(jià)的調(diào)控等，在建模過(guò)程中，忽略了這些因素影響。此外，數(shù)據(jù)波動(dòng)不一定全部符合線(xiàn)性模型。五 利用已建立的模型對(duì)長(zhǎng)春市房?jī)r(jià)討論1. 影響長(zhǎng)春市房?jī)r(jià)的各個(gè)變量的預(yù)測(cè)1）對(duì)長(zhǎng)春市人均可支配收入的預(yù)測(cè)對(duì)長(zhǎng)春市人均可支配收入的預(yù)測(cè)，采用最小二乘法對(duì)房?jī)r(jià)進(jìn)行2次多項(xiàng)式逼近，進(jìn)而預(yù)測(cè)以后各年房?jī)r(jià)。用1代替起始年份1990年,2代替1991，,用n代替（起始年份+ n-1）。具體操作如下：長(zhǎng)春市人均可支配收入關(guān)于年份的擬合（1990年2008年）x12345678910y1268.3141517132029258033053939455047505110x111

14、213141516171819y5550633969637905890010065113581281115003擬合曲線(xiàn)為：y= 1523.28452012384+18.8362774583507*x1+33.6161948990123*x2長(zhǎng)春市人均可支配收入關(guān)于年份的預(yù)測(cè)結(jié)果（元）年份2009201020112012人均可支配收入的預(yù)測(cè)15346.516743.618207.919739.52）長(zhǎng)春市人均生產(chǎn)總值關(guān)于年份的預(yù)測(cè)對(duì)長(zhǎng)春市人均生產(chǎn)總值的預(yù)測(cè)，采用最小二乘法對(duì)房?jī)r(jià)進(jìn)行1次多項(xiàng)式逼近，進(jìn)而預(yù)測(cè)以后各年房?jī)r(jià)。人均生產(chǎn)總值（元）關(guān)于年份的擬合年份19901991199219931994

15、19951996生產(chǎn)總值1652174524043388492554157265年份1997199819992000200120022003生產(chǎn)總值795990621072211760142741622018704擬合曲線(xiàn)為：y=1290.01098901099x-2567257.2967033長(zhǎng)春市人均生產(chǎn)總值關(guān)于年份的預(yù)測(cè)結(jié)果年份200420052006200720082009201020112012人均生產(chǎn)總值17924.719214.720504.721794.823084.824374.825664.826954.828244.83） 長(zhǎng)春市人均儲(chǔ)蓄余額關(guān)于年份的預(yù)測(cè) 人均儲(chǔ)蓄的預(yù)測(cè)

16、，采用最小二乘法對(duì)房?jī)r(jià)進(jìn)行1次多項(xiàng)式逼近，進(jìn)而測(cè)以后各年房?jī)r(jià)。人均儲(chǔ)蓄（元）關(guān)于年份的擬合年份1996199719981999200020012002人均儲(chǔ)蓄4938.45712.66007.36971.67674.48653.610668.8擬合曲線(xiàn)為：y=883.582142857143x-1759048.31785714長(zhǎng)春市人均儲(chǔ)蓄關(guān)于年份的預(yù)測(cè)結(jié)果年份2003200420052006200720082009201020112012預(yù)測(cè)人均儲(chǔ)蓄10766.711650.312533.913417.51430115184.616068.216951.817835.4187194) 長(zhǎng)春市

17、建房成本關(guān)于年份的預(yù)測(cè)建房成本的預(yù)測(cè)，采用最小二乘法對(duì)房?jī)r(jià)進(jìn)行1次多項(xiàng)式逼近，進(jìn)而預(yù)測(cè)以后各年房?jī)r(jià)。建房成本（元）關(guān)于年份的擬合x(chóng)2001200220032004200520062007y793.31058.11358.11369.71576.92124.43141.6擬合曲線(xiàn)為：y=335.582142857143x-670874.885714286長(zhǎng)春市建房成本關(guān)于年份的預(yù)測(cè)結(jié)果年份20082009201020112012預(yù)測(cè)建房成本2974.063309.643645.223980.84316.395）長(zhǎng)春市平均房?jī)r(jià)關(guān)于年份的預(yù)測(cè)對(duì)長(zhǎng)春市平均房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)，采用最小二乘法對(duì)房?jī)r(jià)進(jìn)行2次多項(xiàng)式

18、逼近，進(jìn)而預(yù)測(cè)以后各年房?jī)r(jià)。用1代替起始年份2001年,2代替2002年，,用8代替2008年。具體操作如下：長(zhǎng)春市平均房?jī)r(jià)關(guān)于年份的預(yù)測(cè)x12345678y22402373214621712371260931013530擬合曲線(xiàn)為y= 2597.41071428571-306.446428571429*x1+52.9107142857143*x2長(zhǎng)春市平均房?jī)r(jià)關(guān)于年份的預(yù)測(cè)結(jié)果年份2009201020112012預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)4125.164824.025628.76539.22利用上面所建模型和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)長(zhǎng)春房?jī)r(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)求解，結(jié)果如下：利用所建模型和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)長(zhǎng)春房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果年份20092010

19、20112012模型解4927.025516.236135.886786.033 房?jī)r(jià)分析及建議通過(guò)對(duì)所建模型分析，對(duì)比平均房?jī)r(jià)關(guān)于年份的擬合情況。我們看到影響房?jī)r(jià)的各個(gè)因素，如建房成本、人均GDP、人均儲(chǔ)蓄存款、人均可支配收入等呈上升趨勢(shì)，若沒(méi)有政府調(diào)控，房?jī)r(jià)勢(shì)必會(huì)不斷上漲。從模型結(jié)果來(lái)看，2010年平均房?jī)r(jià)為5516元/平米，2011年為6135元/平米。不過(guò)在2010年國(guó)家連續(xù)出臺(tái)控制房?jī)r(jià)政策，故房?jī)r(jià)應(yīng)該不會(huì)上漲很高。2011年房?jī)r(jià)應(yīng)該會(huì)在5000元/平米6000元/平米之間擺動(dòng)。逼近房?jī)r(jià)與模型房?jī)r(jià)的比較圖六 模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析與改進(jìn)方向1） 本模型依賴(lài)于線(xiàn)性方程構(gòu)建的想法，模型建立之后進(jìn)

20、行了修正，得到的結(jié)果比較符合實(shí)際。方案簡(jiǎn)潔明了，易于操作；2） 本模型建立過(guò)程中運(yùn)用了多種方式進(jìn)行評(píng)估，如：最小二乘法、mathematics軟件求解等以保證結(jié)果有高的精度；3） 本模型建立過(guò)程中忽略了眾多因素對(duì)房?jī)r(jià)的影響，如供需關(guān)系、國(guó)家調(diào)控、人們的心理波動(dòng)等，導(dǎo)致模型的結(jié)果與真實(shí)值之間存在一定誤差；4） 本模型建立過(guò)程中考慮各個(gè)因素與房?jī)r(jià)呈線(xiàn)性關(guān)系，但實(shí)際上線(xiàn)性關(guān)系不一定是最好的選擇，還可以考慮2次、多次等關(guān)系，所建立的模型會(huì)更加復(fù)雜。5） 模型建立過(guò)程中，適當(dāng)在加入一些參數(shù)可能會(huì)使模型更加精細(xì)，更符合實(shí)際情況。參考文獻(xiàn)：【1】姜啟源、謝金星、葉俊 數(shù)學(xué)模型（第三版） 高等教育出版社 20

21、10年6月【2】李慶揚(yáng)、王能超、易大義數(shù)值分析（第五版）清華大學(xué)出版社 2010年5月【3】王華欣 我國(guó)房地產(chǎn)價(jià)格及其影響因素分析 中國(guó)知網(wǎng) 2009年4月建模分工情況學(xué)號(hào)姓名建模貢獻(xiàn)1212408014龔 鵬全程參與，貢獻(xiàn)相同，占33.3%1212408060向 鵬全程參與，貢獻(xiàn)相同，占33.3%1212408077張旭棟全程參與，貢獻(xiàn)相同，占33.3%附錄一：長(zhǎng)春市房地產(chǎn)價(jià)格報(bào)告隨著經(jīng)濟(jì)的逐年發(fā)展，人均GDP、儲(chǔ)蓄和人均可支配收入等在逐年增加，再加上建房成本的逐年上升，商品房的價(jià)格也突飛猛進(jìn)，接連邁上新的臺(tái)階。對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，買(mǎi)房已經(jīng)成為他們身上的一個(gè)沉重的負(fù)擔(dān)，以致只能望房興嘆。在排除

22、了一些因素對(duì)房地產(chǎn)價(jià)格的影響以后，我們對(duì)長(zhǎng)春市近幾年與房地產(chǎn)價(jià)格發(fā)展關(guān)系比較大的因素的數(shù)據(jù)進(jìn)行了收集和處理，并用全國(guó)房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)模型對(duì)長(zhǎng)春市的房?jī)r(jià)發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。以下就是近些年來(lái)長(zhǎng)春市人均GDP、人均儲(chǔ)蓄、人均可支配收入以及建房成本和房?jī)r(jià)的變化圖：下圖為長(zhǎng)春市房地產(chǎn)的價(jià)格預(yù)測(cè)結(jié)果圖：從預(yù)測(cè)的結(jié)果可以看出，長(zhǎng)春市房地產(chǎn)價(jià)格的發(fā)展仍然處于較強(qiáng)的增長(zhǎng)狀態(tài)，而沒(méi)有減弱的趨勢(shì)，這直接導(dǎo)致了廣大市民對(duì)房地產(chǎn)業(yè)持觀(guān)望態(tài)度，也讓人擔(dān)心由于房地產(chǎn)業(yè)過(guò)熱而產(chǎn)生泡沫，從而對(duì)其他行業(yè)產(chǎn)生影響。特別是在金融危機(jī)時(shí)期，國(guó)外大量的熱錢(qián)正蠢蠢欲動(dòng)，隨時(shí)準(zhǔn)備進(jìn)入我國(guó)房地產(chǎn)行業(yè)，將泡沫越吹越大，如果到時(shí)候熱錢(qián)大量抽出逃，房地產(chǎn)泡

23、沫破滅，將對(duì)我房地產(chǎn)業(yè)造成致命打擊。因此，國(guó)家重拳出擊，接連出臺(tái)多項(xiàng)政策，抑制房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)。比如，國(guó)十條的出臺(tái)；加快公租房的建設(shè)，抑制投機(jī)需求；全面叫停第三套住房公積金貸款等等。房子問(wèn)題如今成為人們最為關(guān)心的問(wèn)題之一，也是民生問(wèn)題，長(zhǎng)春市政府應(yīng)該積響應(yīng)國(guó)家對(duì)房地產(chǎn)的宏觀(guān)調(diào)控，堅(jiān)定不移的實(shí)施國(guó)家的各項(xiàng)政策，堅(jiān)決打擊各種投機(jī)，抑制房?jī)r(jià)增長(zhǎng)過(guò)快的問(wèn)題。除此之外，政府還應(yīng)該正確地引導(dǎo)投資商對(duì)房地產(chǎn)進(jìn)行投資，使房地產(chǎn)業(yè)健康快速的發(fā)展。附錄二：全國(guó)房產(chǎn)數(shù)據(jù)（19972007）年份人均可支配收入（元）總GDP（億元）儲(chǔ)蓄（億元）住宅投資總額（億元）竣工面積（萬(wàn)平米）總?cè)丝冢ㄈf(wàn)人）19975160.378973

24、.0346279.8153938051246512362619985425.184402.2853407.47208156471412612476119995888.889677.0559621.83263847941764112578620006279.999214.5564332.43331198392060312674320016907.1109655.1773762.434216676027303.212762720027702.8120332.6986910.655227756032522.812845320038472.2135822.76103617.39677668611228

25、2812922720049500.5159878.34119555.3988369532147364129988200510493.6183084.80141050.99108609322159406.2130756200611769.5210871.0161587.3136384071179673131448200713785.8249529.9172534180054184203992.7132129全國(guó)年末人均儲(chǔ)蓄值（元）年份199019911992199319941995199619971998人均儲(chǔ)蓄（元）622.7798.21003.41282.81795.52449.03147.

26、43743.542808年份199920002001200220032004200520062007人均儲(chǔ)蓄（元）4739.95075.85779.56765.98018.29197.410787.312292.913058.0全國(guó)人均GDP(元)年份199019911992199319941995199619971998人均GDP（元）1632.81880.62297.82981.34021.55019.35815.66388.16765.1年份199920002001200220032004200520062007人均GDP（元）7188.07828.08591.89367.810510.

27、412299.514002.016042.218885.3全國(guó)平均建房成本（元）年份199719981999200020012002建房成本（元）12351473.6149571607.51544.41607.4年份20032004200520062007建房成本（元）1634.42081.02033.22442.82970.9全國(guó)住宅平均售價(jià)（元）年份199719981999200020012002售價(jià)179018541857194820172092年份20032004200520062007售價(jià)21972608293731193645數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局附錄三：長(zhǎng)春市房地產(chǎn)數(shù)據(jù)長(zhǎng)春市歷年平均水平主要指標(biāo)統(tǒng)計(jì)(1990-2003)年份人均生產(chǎn)總值(元)人均消費(fèi)水平(元)職工平均工資(元)城市居民人均可支配收入(元)年平均人口1990165288219071268.3632202919911745901210714156402291199224041087244117136441848199333881357300620296483859199449251747427125806542683199554152085501333