2011—2018年新課標全國卷1理科數(shù)學分類匯編——8.立體幾何

1、、選擇題8.立體幾何（含解析）【2018, 12已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面“所成的角都相等，則 a截此正方體所得截面面積的最大值為（A.§4B.)2V3 V【2018, 71某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點 N在左視圖上的對應點為 B,則在此圓柱側面上，從 M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）A. 2417B. 2疾C. 3D. 2干個是梯形，這些梯形的面積之和為（）A. 10B. 12 C. 14 D. 16【2017, 7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成

2、，正方形的邊長為 2,俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若【2016, 11平面 過正方體ABCD AB1C1D1的頂點A, 平面CBd,I平面ABCD m , 平面ABB|A| n,則m,n所成角的正弦值為 -3 '2 -一3-1A .B.C.D.【2016, 6如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是 絲一，則它的表面積是（）3A. 17 B. 18 C. 20 D. 28【2015, 6】九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：今有委米依垣內(nèi)角， 下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？ ”其意思為： 在屋內(nèi)

3、墻角處堆放米 （如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1. 62立方尺，圓周率約為 3,估算出堆放的米約有（）A. 14 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 66 斛【2015, 11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 20 ,則r （A. 1 B. 2 C. 4【2015年，11題】【2014年，12題】【2013年，6題】【2014, 12如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多

4、面體的個A .【2013,D 2048 冗 m33 cm()A . 16+8 兀B.【2013 年，8【2012年，7】【2011年，6】條棱中，最長的棱的長度為（）A . 6 五B . 472C . 6D . 4【2013, 6如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高 8 cm,將一個球放在容器口，再向 容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,如果不計容器的厚度，則球的體積為（）500 7t 幻B 866 7t 而 C 1372 -面3 cm ,3 cm,3 cm8】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為【2012, 7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出

5、的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A. 6B. 9C. 12D. 15【2012, 11已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球 。的球面上，那BC是邊長為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為()A.巫B.叵C.詆D.立6632<A)(B)二、填空題【2011, 15已知矩形 ABCD的頂點都在半徑為O ABCD的體積為.三、解答題【2018, 18如圖，四邊形 ABCD為止方形，E,N A (C)(D)4的球。的球面上，且 AB 6, BC 2，3,則棱錐F分別為AD, BC的中點，以DF為折痕把 DFC折起，使【2011, 6在一個幾何體的三視圖中，正視

6、圖和俯視圖如右圖所示，則相應的側視圖可以為()點C到達點P的位置，且PH BF.(1)證明：平囿 PEN平囿ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.【2017, 18如圖，在四棱錐 P-ABCD中，AB/CD,且 BAP CDP(1)證明：平面FAB,平面PAD；900【2016, 18 如圖，在以A B C D E F為頂點的五面體中，面 ABEFAF 2FD, AFD 90 ，且一面角 D AF E 與一面角 C BEF(l)證明：T® ABEF T® EFDC ；J90o/V. ESZ 為止方步，C7尸(n)求二面角 E BC A的余弦值.【2015, 1

7、8如圖，四邊形ABCD為菱形， ABC 120°, E, F是平面ABCD同一側的兩點，BE,平面ABCD, DF，平面ABCD, BE 2DF , AE EC.(I)證明：平面 AEC,平面AFC ；(II)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【2014, 19如圖三棱柱 ABC A1B1cl中，側面BB1C1c為菱形，AB B1c.(I )證明：AC AB1；(D)若 ACAB1,CBB160°,AB=BC ,求二面角 AA1B1C1的余弦值.【2013, 18如圖，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB, AB= AA1, /BAA1 = 60°.(1)

8、證明：ABXA1C;(2)若平面 ABC,平面 AA1B1B, AB = CB,求直線 A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.B1A1【2012, 19如圖，直三棱柱 ABC AiBiCi中，AC=BC= - AAi , D是棱AAi的中點，DCiXBD.2(1)證明：DC11BC; (2)求二面角 A1 BD C1 的大小.C1【2011, 18如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，/ DAB=60 ,AB=2 AD,PD，底面 ABCD .(I )證明：PAXBD; (II)若PD=AD,求二面角 A-PB-C的余弦值.、選擇題7.立體幾何（解析版）【2018, 12已知

9、正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面“所成的角都相等，則 a截此正方體所得截面面積的最大值為（）逅 B.迤A.&3【解答】解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，a截此正方體所得截面面積的最大,此時正六邊形的邊長 等，a截此正方體所得截面最大值為:故選：A.【2018, 71某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點 N在左視圖上的對應點為 B,則在此圓柱側面上，從 M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）C. 3D. 2【解答】 解：由題意

10、可知幾何體是圓柱，底面周長16,高為：2,直觀圖以及側面展開圖如圖:AB圓柱表面上的點 N在左視圖上的對應點為 B,則在此圓柱側面上，從 M到N的路徑中，最短路徑的長度:故選：B.【2017, 7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為（）A. 10B. 12 C. 14 D. 16（7）【解析】由三視圖可畫出立體圖，該立體圖平面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面，S梯 2 4 2 2 6, S全梯6 2 12,故選B;【2016, 11平面過正方體ABCD A B1cl

11、 D1的頂點A , 平面CB D1 ,I平面ABCD m , 平面ABRA n,則m,n所成角的正弦值為D. /平面CB1D1, 若設平面 CB1D1I平面ABCD 四，則 3/m又平面 ABCD /平面ABQD1 ,結合平面 B1D1c I平面ABGD1 RD1，B1D1/mi ,故 B1D"/m 同理可得：CD1/n故m、n的所成角的大小與 B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B1C B1D1 CD1 （均為面對交線），因此 CD1B,一,即sin CD1B 3故選A.【2016, 6如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾

12、何體的體積是28表面積是（）A. 17 B. 18 C. 20 D. 28【解析】：原立體圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的表面積是7的球面面積和三8一 7212 ，一S=7 4 22+3 122=17，故選 A.84【2015, 6】九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？ ”其意思為： 在屋內(nèi)墻角處堆放米（如 圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為 8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為 3,估算出堆放的米約有（）A. 14 斛 B. 22 斛

13、C. 36 斛 D. 66 斛2 R 16斛析：8 ,圓錐底面半徑 R ,米堆體積412320 V,V R2h ，堆放的米約有 22,選B.1231.62【2015, 11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為1620 ，則 rB. 2 C. 4D. 8解析:由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球和半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都r ,圓柱的高為2r ,其表面積為1 4 r22-22r 2r r 2r 2r 5 r24r 16 20 ，解得r 2,故選B.依況團【2014, 12如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊

14、長為粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的個條棱中，最長的棱的長度為（）A.6 2 B.4 2 C.6【解析】如圖所示，原幾何體為三棱錐其中 AB BC 4, AC 4.2, DB1,DA J 4 J2 2 4 6 ,故最長的棱的長度為 DA 6,選C【2013, 6如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高 8 cm,將一個球放在容器口，再向 容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,如果不計容器的厚度，則球的體積為（）A 500 7t 幻B 866 7t 而 C 1372 -面D 2048 -加3 cm ,3 cm ,3 cm ,3 cm解析：設球半徑為R,由題可知

15、R, R- 2,正方體棱長一半可構成直角三角形，即4BA為直角三角形,如圖.BC=2, BA =4, OB=R-2, OA= R,由 R2 = （R- 2）2+42,得 R= 5, 所以球的體積為47T53 500忒cm3）,故選a.33【2013, 8】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.A. 16+8 兀B. 8+8 兀C. 16+16 兀D. 8+16 兀答案：A解析：由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個長方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑r=2,長為4,在長方體中，長為 4,寬為2,高為2,所以幾何體的體積為巾2%+ 4X2X2= 8兀+ 16.故選A.2【2012, 7】

16、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為A. 6B. 9【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐 A-BCD , 底面4BCD為 底邊為6,高為3的等腰三角形， 側面ABD，底面BCD, AO，底面 BCD ,因此此幾何體的體積為11一-【2012, 11已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球 。的球面上,V ( 6 3) 3 9 ,故選擇 32。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為(B.吏6【解析】如圖所示，根據(jù)球的性質(zhì)，知OO1平面ABC,則OO1 O1C .在直角 OO1C 中，OC 1, OQ , 3所以 OO OC2 01c2 , 1 ( 3)2

17、.,33因此三棱錐S-ABC的體積1.3 .62.V 2Vo ABC2 二 ，故選擇A.【2011, 6在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應的側視圖可以3 436Qt槽賽用】解析：條件對應的幾何體是由底面棱長為r的正四棱錐沿底面對角線截出的部分與底面為半徑為r的圓錐沿對稱軸截出的部分構成的.故選D二、填空題【2011, 15已知矩形 ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且 AB 6, BC 2由，則棱錐O ABCD的體積為Vo解析：設ABCD所在的截面圓的圓心為 M,則AM= 卜合西2 62 273 ,OM= 42 (273) 2 2,ABCD1，-6 2 3 2 8

18、/3.3三、解答題【2018, 18如圖，四邊形ABCD為正方形，E, F分別為AD, BC的中點，以DF為折痕把 DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF± BF.(1)證明：平面 PEFL平面 ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.P【解答】(1)證明：由題意，點 E、F分別是AD、BC的中點,則 AE*AJ> BF*BC，由于四邊形ABCD為正方形，所以EF± BC.由于 PF± BF, EFA PF=F 貝U BFL平面 PEF又因為 BF?平面 ABFD,所以：平面 PEF1平面 ABFD.(2)在平面 DEF中，過P作PHLEF于點

19、H,連接DH,由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PHI± EF,貝U PHIX面 ABFD,故 PHI± DH.在三樹t P- DEF中，可以利用等體積法求 PH,因為 DE/ BF且 PF± BF,所以PF± DE,又因為 PDF CDF,所以/ FPD=Z FCD=90,所以PF± PD,由于 DEA PD=D,貝U PF,平面 PDE, 故 vf pde="FF Sapde，因為 BF/ DA且 BF±面 PEF,所以DA，面PEF,所以DE，EP.設正方形邊長為 2a,則PD=2a, DE=a在 PDE中， PE

20、=V3a,所以Sapde孚2，故 Vf-pde=-s,6又因為5修即？左二 £-1所以phY"de江, / 1 2 a所以在 PHD中，sin/PDH上巨至I,返.4PD 4即/ PDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為:平面PAD ,由(1)知，AB 平面PAD ,OE 平面PAD ,【2017, 18如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB/CD,且 BAP CDP 90o(1)證明：平面 FAB,平面PAD；(2)若 PA=PD=AB=DC, APD 90o，求二面角 A-PB-C 的余弦值.【解析】(1)證明：: BAP CDP 90 , PA AB , PD CD

21、 ,又 AB II CD , PD AB ,又. PD I PA P , PD、 PAAB 平面PAD ,又 AB 平面PAB ,平面 PAB 平面PAD .(2)取AD中點O , BC中點E ,連接 PO , OE, AB旦 CD ,四邊形ABCD為平行四邊形， OE旦AB,又 PO、AD 平面 PAD , OE PO , OE AD ,又 PA PD , PO AD , PO、OE、AD 兩兩垂直，.以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O xyz ,設 PA 2 , D 72,0,0、B 72,2,0、P 0,0,、2、C 72,2,0 ,uurPDuurBC2© 0,0

22、 ,r n為平面PBC的法向量，由 r nuuu PB uur BC72, x 0,可得平面PBC的一個法向量APD 90 ,PD PA ,又知 AB平面PADPD AB ,又 PAIAB A , PDuur_PD,2 ,0 ,2uur r ,cos PD , n平面PAB ,uur r PD n,PDuur 即PD平面PAD ,是平面PAB的一個法向量,uurPD n2.3由圖知二面角 A PBc為鈍角，所以它的余弦值為顯3【2016, 18 如圖，在以 A, B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形， AF 2FD, AFD 90，且二面角D AF E與二面角C BE F都是

23、60 .(I)證明：平面 ABEF 平面EFDC ；(n)求二面角 E BC A的余弦值.【解析】：: ABEF為正方形,AF EF , AFD90 AF 面 EFDC AF由知 DFE CEF 60面 ABEF ,，平面ABEFAB II EF , AB 平面 EFDC ,AB II 平面 ABCD AB 平面.面 ABCD I 面 EFDC CDEFABCD平面EFDCAB II CD CD II EF二四邊形0,uirEBLT m LT muir EB uuu BC2aEFDC為等腰梯形設FD0,3a2uuu ,BC2a Vir設面ABC法向量為n2ay1y22auurABa2a , 2

24、a ,02a ,0,AF DF , DF I EF=FziXi73, y10,Zi1,r n r nuuuBC=0 uuuAB 0.即a2x22 ax22ay23一az220, 73,設二面角E BC A的大小為X20, y2 點，Z24cosur rm ntr-m,31 13162、,1919面角E BC A的余弦值為2/1919【2015, 18如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC 120°, E, F是平面ABCD同一側的兩點，BE，平面ABCD, DF，平面ABCD, BE 2DF , AE EC.(I)證明：平面 AEC,平面AFC ；(II)求直線AE與直線CF所成角的余弦

25、值解：(I)證明：連接 BD ,設BD I AC G ,連接EG , FG , EF .在菱形ABCD中，不妨設GB 1,由ABC 120°,可得 AG GC J3,由 BELABCD , AB BC ,可知 AE EC .又AE EC ,所以 EG J3,且 EG AC.在Rt EBG中，可得BERt FDG中，可得FG 西2DF也，可得EF蟲 22在直角梯形BDFE中，由BD 2, BE 五因為 EG2 FG2 EF2,所以 EG FG ,又 AC I FG G ,則 EG 平面 AFC .因為EG平面AEC ,所以平面AFC面AEC.6分(n)如圖，以G為坐標原點，分別以uuu

26、 uuruuuGB,GC的方向為x軸，y軸正方向，|GB位長度，建立空間直角坐標系G xyz,由(I)可得 A(0,百0) , E(1,0,>/2),2_ uuuF(1，07 E(0" AE(1, 3, ,2)1,3, 3uuir_CF (1,3,uuir uuuruuu uuirAE CF 3.故 cos AE,CFuuu uuur|AE|CF| 3所以直線AE與直線CF所成的角的余弦值為_33【2014, 19如圖三棱柱ABC A1B1cl 中，側面(I )證明：ACAB1；(n)若 AC AB，CBB1 600, AB=BC求二面角A AB1C1的余弦值.BB1cle 為

27、菱形，AB B1c.【解析】：(I )連結BC1 ,交BC于O,連結AO.因為側面BB1C1C為菱形，所以BiC BC1 ，且。為BC與BC1的中點.又AB B1c，所以BQ 平面ABO,故B1c AO 又B1O CO ,故AC AB1(n)因為 AC AB1且。為B1C的中點，所以 AO=CO 又因為AB=BC ，所以 BOA BOC故OAOB ，從而OA, OB, OB1兩兩互相垂直.以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，OB為單位長，建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz .因為CBB1 60°,所以 CBB1為等邊三角形.又 AB=BCA 0,0,， B 1,0,0 ， B

28、0,- ,0 ， C 0,0333uuirAB1uuurAB1uurAB1,0, -3uuuir,B1C1uurBC1,3nr設n x, y, z是平面的法向量，則r uuir ngAB1 r uuur ngAB3yr所以可取nIT設m是平面的法向量，則ur uuur mgA B1 r uuuir ngBGr ir則cos(n,m) figmi J'所以二面角 A A1B1 C1的余弦值為1.【2013, 18如圖，三棱柱 ABCAiBiCi 中，CA=CB, AB=AAi, /BAAi = 60°.(1)證明：ABXAiC;(2)若平面 ABC,平面 AAiBiB, AB

29、= CB,求直線 AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值.證明：(i)取AB的中點O,連結OC, OAi, AiB.因為CA = CB,所以OCAB.由于AB = AAi, / BAAi = 60°,故小AiB為等邊三角形，所以 OAAB.因為OCnOAi =。，所以AB,平面OAiC.又 AiC 平面 OAiC,故 ABXAiC.(2)解:由(i)知 OCAB, OAiXAB.又平面ABC,平面AAiBiB,交線為AB,所以0cli平面AAiBiB,故OA, OAi, OC兩兩相互垂直.以。為坐標原點，OA的方向為x軸的正方向，|OA|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系O xy

30、z.由題設知A(i,0,0), AiUUl-則 BC=(i,0, J3),(0Uir 儲a C(°。BB = AA =(T，百, n),B( 0), unr BC1x0,0).UUlrAC =(。，0, 口 x、3zV3)., 可取 n=( 73 , i, i) 0.設 n (x, y, z)MT囿BBiCiC的法向量，則nUULTBBi，即0,x3yuur故 cos n, AC >uuur所以AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值為1051【2012, 19如圖，直二棱枉 ABC AiBiCi 中，AC=BC= -AAi,2(i)證明：DCiXBC；(2)求二面角AiBD C

31、i的大小.【解析】(i)在Rt DAC中，AD AC ,得： ADC 45 ,同理：AiDCi 45 CDCi 90 ,得：DCi DC .又 DCiXBD, DCI BD D , 所以DCi 平面BCD .而BC 平面BCD,所以DCi BC .(2)解法一：(幾何法)由 DCi BC, CCi BC BC 面 ACCiAi BC AC .取ABi的中點O ,連接CiO , OD .因為 ACiBiCi,所以 CiOABi,因為面AB1cl 面ABD ,所以CiO 面ABD ,從而CiO BD ,又DCiXBD,所以BD 面DCiO ,因為OD 平面DCiO ,所以BD由BD OD , BDXDCi,所以 CiDO為二面角AiBD Ci的平面角.設 AA 2a , ACBC a,2a則C