第4章-熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法 (1)

1、第四章熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法第四章熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法4-14-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解基本思想導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解基本思想4-24-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 4-3 4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù) 方程的求解方程的求解4-4 4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法1 1 、重點(diǎn)內(nèi)容：、重點(diǎn)內(nèi)容： 掌握導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值解法的基本思路；掌握導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值解法的基本思路； 利用熱平衡法和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法建立利用熱平衡法和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法建立節(jié)點(diǎn)的離散方程。節(jié)點(diǎn)的離散方程。2 2 、掌握內(nèi)容：、掌握內(nèi)容：數(shù)值解法的實(shí)質(zhì)。數(shù)值解法的實(shí)質(zhì)。 求解導(dǎo)熱問(wèn)題的

2、三種基本方法求解導(dǎo)熱問(wèn)題的三種基本方法：(1)(1)實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法; (2); (2)理論分析法；理論分析法；(3)(3)數(shù)值計(jì)算法數(shù)值計(jì)算法三種方法的特點(diǎn)三種方法的特點(diǎn)實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法: : 是傳熱學(xué)的基本研究方法。是傳熱學(xué)的基本研究方法。 a a 適應(yīng)性不好；適應(yīng)性不好； b b 費(fèi)用昂貴費(fèi)用昂貴分析法分析法: : a a 能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；值計(jì)算提供比較依據(jù)；b b 局限性很大，對(duì)復(fù)雜的局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題無(wú)法求解；問(wèn)題無(wú)法求解；c c 分析解具有普遍性，各種情況分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見(jiàn)的影響

3、清晰可見(jiàn) 數(shù)值計(jì)算法數(shù)值計(jì)算法 有效解決復(fù)雜問(wèn)題的方法；是具有一定精度的近有效解決復(fù)雜問(wèn)題的方法；是具有一定精度的近似方法。在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適似方法。在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。驗(yàn)法相比成本低。數(shù)值解法：數(shù)值解法： 有限差分法（有限差分法（finite-differencefinite-difference） 有限元法（有限元法（finite-lementfinite-lement） 邊界元法（邊界元法（boundary-elementboundary-element） 分

4、子動(dòng)力學(xué)模擬（分子動(dòng)力學(xué)模擬（MDMD） 格子格子BoltzmannBoltzmann方法模擬（方法模擬（LBMLBM）分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)： 相同點(diǎn)：相同點(diǎn)：根本目的是相同的，即確定：根本目的是相同的，即確定： t=f(x,y,z) t=f(x,y,z) ； 熱流量。熱流量。 不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時(shí)間空間坐標(biāo)數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時(shí)間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)；分析解系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場(chǎng)的分布特征，而不是分散法求解的是連續(xù)的溫度場(chǎng)的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。點(diǎn)的數(shù)值。 對(duì)物

5、理問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值解法的基本思路可以概括對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值解法的基本思路可以概括為：把原來(lái)在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的為：把原來(lái)在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，如導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)等，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的場(chǎng)，如導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)等，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來(lái)代替，通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的值的集合來(lái)代替，通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來(lái)獲得離散點(diǎn)上被求物理關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來(lái)獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值，該方法稱(chēng)為量的值，該方法稱(chēng)為數(shù)值解法數(shù)值解法。 這些離散點(diǎn)上被求物理量值的集合稱(chēng)為該物理這些離散點(diǎn)上被求物理量值的集合稱(chēng)為該物理量的量的數(shù)值解數(shù)值解。 4-1 4-

6、1 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想4.1.1 4.1.1 基本思想基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程求解代數(shù)方程是否收斂是否收斂解的分析解的分析改進(jìn)初場(chǎng)改進(jìn)初場(chǎng)是是否否4.1.2 4.1.2 物理問(wèn)題的數(shù)值求解過(guò)程物理問(wèn)題的數(shù)值求解過(guò)程0tyf3thf2thf1thx二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題2 2 例題條件例題條件（a）（1 1）建立控制方程及定解條件）

7、建立控制方程及定解條件 控制方程（即控制方程（即導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程） 22220ttxy0tyf3thf2thf1thx二維矩形域內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)二維矩形域內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題采用數(shù)值解法的步驟：題采用數(shù)值解法的步驟：（2 2）區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)） 用一系列與坐標(biāo)軸平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域用一系列與坐標(biāo)軸平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域劃分成若干個(gè)子區(qū)域，用網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為劃分成若干個(gè)子區(qū)域，用網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為需要確定溫度值的空間位置，稱(chēng)為需要確定溫度值的空間位置，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) ( ( 結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn) ) ) ，節(jié)點(diǎn)的位置用該節(jié)點(diǎn)在兩個(gè)方向上的，節(jié)點(diǎn)的

8、位置用該節(jié)點(diǎn)在兩個(gè)方向上的標(biāo)號(hào)標(biāo)號(hào) m m ， n n 表示。表示。 相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的距離相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的距離稱(chēng)稱(chēng)步長(zhǎng)步長(zhǎng)。xyxynm(m,n)MN（b）xyxynm(m,n)MN基本概念：網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、界面線、步長(zhǎng)、基本概念：網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、界面線、步長(zhǎng)、控制容積控制容積二維矩形二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，無(wú)內(nèi)熱源，常物性的常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題導(dǎo)熱問(wèn)題 （3 3）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程） 節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱(chēng)離散方程。節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱(chēng)離散方程。 首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型；首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型； 其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方

9、程； 最后，代數(shù)方程組的形成。最后，代數(shù)方程組的形成。 對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn) (m,n) (m,n) 的代數(shù)方程，當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程，當(dāng) x=x=y y 時(shí)，時(shí)，有：有： ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt（4 4） 設(shè)立迭代初場(chǎng)設(shè)立迭代初場(chǎng) 代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問(wèn)題的有限差分法中主要采用代解法，傳熱問(wèn)題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫迭代法。采用迭代法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱(chēng)為度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱(chēng)為初場(chǎng)初場(chǎng)，并，并在求解過(guò)程中不斷改進(jìn)。在求解過(guò)程中不斷改進(jìn)。 （

10、5 5）求解代數(shù)方程組）求解代數(shù)方程組 本例中除本例中除 m=1 m=1 的左邊界上的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余 (M-1)N (M-1)N 個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有方程，共有 (M-1)N (M-1)N 個(gè)方程，個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。組。xyxynm(m,n)MN 求解時(shí)遇到的問(wèn)題：求解時(shí)遇到的問(wèn)題： 線性；線性； 非線性；非線性； 收斂性等。收斂性等。 2 2 ）非線性代數(shù)方程組：）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不斷更新。各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中

11、不斷更新。 3 3 ）是否收斂判斷：）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)否收斂，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差是否小于允許值。算所得之解的偏差是否小于允許值。 1 1 ）線性代數(shù)方程組：）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不再變化；各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不再變化；（6 6） 解的分析解的分析 通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)的熱流量，熱根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)的熱流量，熱

12、應(yīng)力及熱變形等。應(yīng)力及熱變形等。因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。上的結(jié)論。 4.2 4.2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法(1) Taylor(1) Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開(kāi)法；（泰勒）級(jí)數(shù)展開(kāi)法；(2) (2) 控制容積平衡法控制容積平衡法( (熱平衡法熱平衡法) )4.2.1 4.2.1 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法( )2( )( )( )()( )1!2!nnfxfxfxf xxf xxxxn 2233441,234,2624mnmnm

13、nmnmntxtxtxtttxxxxx用節(jié)點(diǎn)用節(jié)點(diǎn)(m,n)(m,n)的溫度的溫度t tm,nm,n來(lái)表示節(jié)點(diǎn)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)(m-1,n)(m-1,n)的的溫度溫度t tm-1,nm-1,n根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，用節(jié)點(diǎn)根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，用節(jié)點(diǎn)( (m,nm,n) )的溫度的溫度t tm,nm,n來(lái)表示節(jié)點(diǎn)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)( (m+1,nm+1,n) )的溫度的溫度t tm+1,nm+1,n2233441,234,2624mnmnmnmnmntxtxtxtttxxxxx將上兩式相加可得將上兩式相加可得24421,1,24,212mnmnm nm ntxttttxxx22,mntx將上式改寫(xiě)成將上式改寫(xiě)成

14、的表達(dá)式，有的表達(dá)式，有)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm同樣可得：同樣可得：表示未明確寫(xiě)出的表示未明確寫(xiě)出的級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的X X的最低階數(shù)為的最低階數(shù)為2 2 根據(jù)導(dǎo)熱問(wèn)題的控制方程根據(jù)導(dǎo)熱問(wèn)題的控制方程 ( ( 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 ) )1,1,1,122220mnmnmnmnmnmnttttttxy若若 x=x=y y 則有則有 ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt22220ttxy得得一階一階基本思想：基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守對(duì)每個(gè)有限大小的控制容

15、積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和據(jù)能量守恒和FourierFourier導(dǎo)熱定律即可。導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱流入控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱 流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)能的增量流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)能的增量ovi4.2.2 4.2.2 控制容積平衡法控制容積平衡法( (熱平衡法熱平衡法) )voi)(ovi 從所有方向流入控制體的凈熱流量從所有方向流入控制體的凈熱流

16、量 控制體內(nèi)熱源生成熱控制體內(nèi)能的增量控制體內(nèi)熱源生成熱控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)均適用注意：上面的公式對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)均適用穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱流量從所有方向流入控制體的總熱流量0 01,mnm nettyx ,1,m nm nnttxy ,1,m nm nsttxy 從節(jié)點(diǎn)通過(guò)界面?zhèn)鲗?dǎo)到節(jié)點(diǎn)從節(jié)點(diǎn)通過(guò)界面?zhèn)鲗?dǎo)到節(jié)點(diǎn) (m,n) (m,n) 的熱流量：的熱流量：1,mnm nwttyx 對(duì)元體對(duì)元體 (m,n). (m,n). 根據(jù)能量守恒定律可知：根據(jù)能量守恒定律可知： 0ewns 1,mnm nwttyx 1,mnm

17、 nettyx ,1,m nm nnttxy ,1,m nm nsttxy +=0穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱流量從所有方向流入控制體的總熱流量0 01,1,1,12222 0mnm nmnm nm nm nttttttxy化簡(jiǎn)得說(shuō)明：說(shuō)明： 上述分析與推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中進(jìn)行的；上述分析與推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中進(jìn)行的； 熱平衡法概念清晰，過(guò)程簡(jiǎn)捷；熱平衡法概念清晰，過(guò)程簡(jiǎn)捷； 熱平衡法與建立微分方程的思路與過(guò)程一致，熱平衡法與建立微分方程的思路與過(guò)程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體。元體。 4.3 4.

18、3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解及代數(shù)方程的求解 對(duì)于對(duì)于第一類(lèi)邊界條件第一類(lèi)邊界條件的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，處理比較簡(jiǎn)單，因的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，處理比較簡(jiǎn)單，因?yàn)橐阎吔绲臏囟?，可將其以?shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離為已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。 對(duì)于對(duì)于第二類(lèi)或第三類(lèi)邊界條件第二類(lèi)或第三類(lèi)邊界條件的導(dǎo)熱問(wèn)題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的的導(dǎo)熱問(wèn)題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因此應(yīng)對(duì)邊界上的節(jié)點(diǎn)補(bǔ)充相應(yīng)

19、的代數(shù)方程，才能使方程組因此應(yīng)對(duì)邊界上的節(jié)點(diǎn)補(bǔ)充相應(yīng)的代數(shù)方程，才能使方程組封閉，以便求解。封閉，以便求解。 為了求解方便，將第二類(lèi)邊界條件及第三類(lèi)邊界條件合并為了求解方便，將第二類(lèi)邊界條件及第三類(lèi)邊界條件合并起來(lái)考慮，用起來(lái)考慮，用q qww表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源( ( 不必均勻分不必均勻分布布 ) ) 。xyqw邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn) (m,n) (m,n) 只代表半個(gè)元體，若邊界上有向該元只代表半個(gè)元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為體傳遞的熱流密度為q qww

20、 ，據(jù)能量守恒定律：，據(jù)能量守恒定律： 4.3.1 4.3.1 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立( (1) 1) 平直邊界上的節(jié)點(diǎn)平直邊界上的節(jié)點(diǎn)1,1,1,2022mnmnmnmnmnmnmnwttttxyxyttxxyyqy yx2,1,1,12124m nwm nmnm nm nx xqtttt(2) (2) 外部角點(diǎn)外部角點(diǎn)2,1,12122m nwm nmnm nx xqttt1,1,22042mnm nm nm nm nwttttyxxyx yxyq yx如圖所示，二維墻角計(jì)算區(qū)域中，該節(jié)點(diǎn)外角點(diǎn)僅如圖所示，二維墻角計(jì)算區(qū)域中，該節(jié)點(diǎn)外角點(diǎn)僅代表代表 1/4 1/4 個(gè)

21、以個(gè)以 為邊長(zhǎng)的元體。假設(shè)邊界上有為邊長(zhǎng)的元體。假設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為向該元體傳遞的熱流密度為 ，則據(jù)能量守恒定律，則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為：得其熱平衡式為： x、 ywq(3) (3) 內(nèi)部角點(diǎn)內(nèi)部角點(diǎn)22,1,1,11,213(22)62wm nmnm nm nmnx qxttttt1,1,1,1,230242mnm nm nm nm nm nmnm nm nwttttttxyxxyyttyx yxyqx yx內(nèi)部角點(diǎn)代表了內(nèi)部角點(diǎn)代表了 3/4 3/4 個(gè)元體，在同樣的假設(shè)條件下個(gè)元體，在同樣的假設(shè)條件下xyqw討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況：討論關(guān)于邊界熱流密度的三

22、種情況： （1 1）絕熱邊界）絕熱邊界即令上式即令上式 即可。即可。 0wq （2 2） 值不為零值不為零wq（3 3）對(duì)流邊界）對(duì)流邊界此時(shí)此時(shí) ，將此表達(dá)式代入上述方程，并，將此表達(dá)式代入上述方程，并將此項(xiàng)中的將此項(xiàng)中的 與等號(hào)前的與等號(hào)前的 合并。合并。對(duì)于對(duì)于 的情形有：的情形有：)(,nmfwtthq,m nt,m ntxy wq流入元體，流入元體， 取正，流出元體，取正，流出元體， 取負(fù)取負(fù)wq（a a）平直邊界）平直邊界（b b）外部角點(diǎn)）外部角點(diǎn)（c c）內(nèi)部角點(diǎn)）內(nèi)部角點(diǎn)2,1,1,12222m nm nmnm nm nfh xxh xttttt2,1,12212m nm n

23、mnm nfh xxh xtttt2,1,11,1322322m nm nmnm nmnm nfh xxh xtttttt4.3.2 4.3.2 處理不規(guī)則區(qū)域的階梯型逼進(jìn)法處理不規(guī)則區(qū)域的階梯型逼進(jìn)法當(dāng)計(jì)算區(qū)域出現(xiàn)曲線邊界或傾斜邊界時(shí)，常常采當(dāng)計(jì)算區(qū)域出現(xiàn)曲線邊界或傾斜邊界時(shí)，常常采用用階梯形的折線階梯形的折線來(lái)模擬真實(shí)邊界，然后用上述方來(lái)模擬真實(shí)邊界，然后用上述方法建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程。法建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程。4.3.3 4.3.3 代數(shù)方程的求解方法代數(shù)方程的求解方法 2 2）迭代法：）迭代法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（設(shè)先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（設(shè)定初場(chǎng)），在迭代計(jì)算中不斷予以改進(jìn)，直

24、定初場(chǎng)），在迭代計(jì)算中不斷予以改進(jìn)，直到計(jì)算前的假定值與計(jì)算結(jié)果相差小于允許到計(jì)算前的假定值與計(jì)算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱(chēng)迭代計(jì)算收斂。值為止的方法，稱(chēng)迭代計(jì)算收斂。1 1）直接解法：）直接解法：通過(guò)有限次運(yùn)算獲得精確解通過(guò)有限次運(yùn)算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。 2 2 迭代法目前應(yīng)用較多的是：迭代法目前應(yīng)用較多的是： 1 1 ）雅可比迭代法（簡(jiǎn)單迭代）：）雅可比迭代法（簡(jiǎn)單迭代）：每次迭代每次迭代計(jì)算，均用上一次迭代計(jì)算出的值。計(jì)算，均用上一次迭代計(jì)算出的值。 2 2 ）高斯）高斯賽德?tīng)柕ǎ嘿惖聽(tīng)柕ǎ好看蔚?jì)算，每次迭代計(jì)算

25、，均是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。均是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。 在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第例如：根據(jù)第 k k 次迭代的數(shù)值次迭代的數(shù)值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：)(1)(1)(212)(111) 1(1.kknnkkkbtatatat)()() 1(11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtat

26、atat設(shè)有一三元方程組設(shè)有一三元方程組： 11112 213 3121122 223 3231132 233 33a ta ta tba ta ta tba ta ta tb其中其中 （ i=1,2,3 i=1,2,3 ； j=1,2,3 j=1,2,3 ）及）及 是已是已知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。, i jaib采用高斯采用高斯賽德?tīng)柕ǖ牟襟E：賽德?tīng)柕ǖ牟襟E： （1）將三元方程變形為迭式方程：）將三元方程變形為迭式方程： 1112 213 3112221 123 3223331 132 2331()1()1()tba ta tatba ta tatba

27、 ta ta （2 2）假設(shè)一組解（迭代初場(chǎng)），記為）假設(shè)一組解（迭代初場(chǎng)），記為： 并代入迭代方程求得第一并代入迭代方程求得第一 次次 解解 每次計(jì)算均用最新值代入。每次計(jì)算均用最新值代入。 (0)(0)(0)123ttt、(1)(1)(1)123ttt、 、（3 3）以新的初場(chǎng)重復(fù)計(jì)算，直到相鄰兩次）以新的初場(chǎng)重復(fù)計(jì)算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，則稱(chēng)迭代收斂，迭代值之差小于允許值，則稱(chēng)迭代收斂，計(jì)算終止。計(jì)算終止。 判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：)(max)() 1()()() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk及及

28、k+1表示迭代次數(shù)；表示迭代次數(shù)；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值(k)maxt當(dāng)有接近于零的當(dāng)有接近于零的t 時(shí)，第三個(gè)較好時(shí)，第三個(gè)較好36 1010 允許的偏差；相對(duì)偏差 值一般取迭代能否收斂的判據(jù)迭代能否收斂的判據(jù) 1 1 ）對(duì)于一個(gè)代數(shù)方程組，若選用的迭代方式不合）對(duì)于一個(gè)代數(shù)方程組，若選用的迭代方式不合適，有可能導(dǎo)致發(fā)散，即稱(chēng)適，有可能導(dǎo)致發(fā)散，即稱(chēng)迭代過(guò)程發(fā)散迭代過(guò)程發(fā)散； 2 2 ）對(duì)于常物性導(dǎo)熱問(wèn)題，組成的差分方程組，迭）對(duì)于常物性導(dǎo)熱問(wèn)題，組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或代公式的選擇應(yīng)使一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量

29、系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和，此時(shí)，等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和，此時(shí)，結(jié)果一定收斂。結(jié)果一定收斂。 3 3 ）采用）采用熱平衡法熱平衡法導(dǎo)出差分方程時(shí)，若每一個(gè)方導(dǎo)出差分方程時(shí)，若每一個(gè)方程都選用導(dǎo)出該方程中心節(jié)點(diǎn)的溫度作為迭代變程都選用導(dǎo)出該方程中心節(jié)點(diǎn)的溫度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭代一定收斂。量，則上述條件必滿足，迭代一定收斂。 121321233132112233111aaaaaaaaa，這一這一條件條件數(shù)學(xué)上稱(chēng)主對(duì)角線占優(yōu)（對(duì)角占優(yōu)）；數(shù)學(xué)上稱(chēng)主對(duì)角線占優(yōu)（對(duì)角占優(yōu)）； 4.4 4.4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法4.4.1 4.4.1 時(shí)間時(shí)間- -空間

30、區(qū)域的離散化空間區(qū)域的離散化1 1、基本概念、基本概念如圖4-8所示，x為空間坐標(biāo)，為時(shí)間坐標(biāo)。1）時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)間步長(zhǎng) ：指從一個(gè)時(shí)間層到下一個(gè)時(shí)間層的間隔 。2）節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)（n, i）表示空間網(wǎng)格線與時(shí)間網(wǎng)格線的交點(diǎn)，即表示了時(shí)間空間區(qū)域中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置，相應(yīng)的記為： 。2 2、非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散、非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散有三種不同的格式格式：1）向前差分2）向后差分3）中心差分 )(int1）向前差分2）向后差分3）中心差分 (1)( ),iinnn ittt )1()(,inininttt2)1()1(,inininttt4.4.2 4.4.2 一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的顯示格式一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

31、的顯示格式泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法1）一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中的擴(kuò)散項(xiàng)離散與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中的方法相同，則對(duì)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中 的擴(kuò)散項(xiàng)中心差分； 非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分（1）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)： 采用向前差分為：（2）穩(wěn)態(tài)項(xiàng)： 采用中心差分則為：)()1(,inininttt( )( )( )211,222iiinnnn ittttxx2)(1)()(1)() 1(2xtttattininininin則有：可改寫(xiě)為：顯示差分與隱式差分格式顯示差分與隱式差分格式求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程，是從已知的初始溫度分布出發(fā)，根據(jù)邊界條件依次求得以后各個(gè)時(shí)間層上的溫度值。顯示差分格式顯示差分格式定義定義：就是指若已知i時(shí)層上

32、各節(jié)點(diǎn)的溫度值，根據(jù)該差分格式即可算出（i+1）時(shí)層上各內(nèi)點(diǎn)的溫度，而不必求解聯(lián)立方程。即 是前一時(shí)刻（i）n節(jié)點(diǎn)及相鄰兩節(jié)點(diǎn)溫度的顯函數(shù)。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算工作量??；缺點(diǎn)缺點(diǎn)：受時(shí)間及空間步長(zhǎng)的限制。)(2)(1)(12) 1()21 ()(inininintxattxat4.4.3 4.4.3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的隱式格式非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的隱式格式隱式差分格式隱式差分格式對(duì)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程 中的擴(kuò)散項(xiàng)在(i+1)時(shí)層上采用中心差分，非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)將t在節(jié)點(diǎn)(n,i+1)處對(duì)節(jié)點(diǎn)(n,i)采用向前差分，得定義定義：就是指已知i 時(shí)層上各節(jié)點(diǎn)的溫度值 ，根據(jù)差分格式不能直接算出(i+1)時(shí)層上各節(jié)點(diǎn)的溫度，而必須求解(i+1)時(shí)層上的一個(gè)聯(lián)立方程組，才能算出(i+1)時(shí)層各節(jié)點(diǎn)的溫度，此種差分格式稱(chēng)隱式差分格式。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：不受時(shí)間及空間的步長(zhǎng)影響；缺點(diǎn)缺點(diǎn)：計(jì)算工作量大。22xtat2) 1(1) 1() 1(1)() 1(2xtttattin