第五講正態(tài)分布及其數(shù)字特征

1、第五講第五講 正態(tài)分布正態(tài)分布 P45 正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布 當(dāng)一隨機(jī)變量是當(dāng)一隨機(jī)變量是大量微小的獨(dú)立的隨機(jī)因素共同大量微小的獨(dú)立的隨機(jī)因素共同作用作用的結(jié)果，而每一種因素都不能起到壓倒其它因的結(jié)果，而每一種因素都不能起到壓倒其它因素的作用時(shí)，這個(gè)隨機(jī)變量就被認(rèn)為服從素的作用時(shí)，這個(gè)隨機(jī)變量就被認(rèn)為服從正態(tài)分布正態(tài)分布 在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成年男子的身尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成年男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；高、體重；農(nóng)作物的

2、產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布 一一 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其性質(zhì)1 定義定義 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布x的概率密度為的概率密度為記為記為XN(0 0, 1)2221)(xex2 性質(zhì)性質(zhì) (1) (1) (x)是是偶函數(shù)偶函數(shù)即即 (x)是關(guān)于是關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱的鐘形曲線的鐘形曲線)(x0EX1DX(2)3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù))(xxXPdtext22214 (a)的值求法的值求法(1) a0時(shí)時(shí) 查表查表例例1

3、 (1)= (2)= (3)= (2.5)= (0)= (1.64)= (1.96)= 0.84130.97720.9980.99380.50.950.975（2）a0 時(shí)時(shí)定理定理 (a)=1- (- -a)a-a)( a)(a1顯然顯然 (-1)= (-2)= (-3)= 11(1) 11(2) 11(3) =1-0.8413=1-0.9772=1-0.998=0.1578=0.0228=0.0025 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 若若XN(0 0, 1) ，則則)() 1 (aXP)(a)() 2(aXP)(1a)() 3 (bXaP)()(ab)96.1(XP)96.1

4、(XP)96.1( XP)21(XP)9 .5(xP)96.1 (1 )96.1 ()1 (1 )2(例例)1 ,0( NX求求)96.1(XP)96.1(XP)21(XP)9 .5(XP)96.1(XP)96.1 ()96.1()96.1 (1)96. 196. 1(XP)96.1()96.1 ()1()2()9 .5(解解975.0025.095.08413.01 9772.08185.01二二 一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布正態(tài)分布的正態(tài)分布的X的概率密度為的概率密度為 222)(21)(xexf其中其中 和和 2 2為常數(shù)，且為常數(shù)，且 0 0則則 稱稱 x 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 、 2 2

5、的正態(tài)分布的正態(tài)分布記為記為 XN( , 2 2)( x期望期望和和方差方差分別為：分別為：EX2DX 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱的鐘形曲線的鐘形曲線.特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”. .2 正態(tài)分布的密度曲線圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線圖形特點(diǎn) 決定了圖形的中心位置決定了圖形的中心位置， 決定了圖決定了圖形中峰的陡峭程度形中峰的陡峭程度.dtext222)(21設(shè)設(shè)XN( , 2 2)， 則則X的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是3 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù))(xFxXPF()=?0.54 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)

6、系一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 P47定理一定理一 (1) 若若 XN( , 2 2)N(0 0, 1)XZ則則 (2) 若若 XN(0,10,1)N( , )baXY則則EY)(baXEbaEXbbDY)(baXDDXa22aa2標(biāo)準(zhǔn)化變換標(biāo)準(zhǔn)化變換2)(2121)(xex22121ye),(2NX其反函數(shù)為其反函數(shù)為yxyx)(yY) 1 , 0( NXY證明證明 (1)xy2)(2121ye22121)(xex2)(21|21abyea) 1 , 0( NX其反函數(shù)為其反函數(shù)為abyax1axy1)(yY|1a),(2abNbaXY證明證明 (2)baxy嚴(yán)格單調(diào)嚴(yán)格單調(diào)2)(212

7、1abye例例1)2 , 1 (2NX則則35XN(0 0, 1)例例2)3 , 5(2NX則則21XN(0 0, 1)例例3)1 , 0( NX則則87X46X15X)7 , 8(2N)6 , 4(2N)5 , 1 (2N定理定理2 若若 x N( , 2 2) ,其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為F(x) )(x則則)(xF例例)2 , 1 (2NX則則)211()212()213()0()5 .0()1(F(1)= F(2)= F(3)= F(-3)= )213()2(=0.5 =0.6915=0.8413)2(1=0.02285 一般正態(tài)分布的概率也可查表計(jì)算一般正態(tài)分布的概率也可查表計(jì)算若若x

8、N( , 2 2) ， 則則)() 1 (aXP)(aF)()2(aXP)(1aF)() 3(bXaP)()(aFbF)(a)(1a)()(ab例例1)5 . 0 , 8(2NX求求)1|8(|XP)10(XP)1|8(|XP)97(XP)5 .087()5 .089()2()2()2(1 )2(10XP)5 .0810()4(999968.0)181(XP解解=0.9544例例2)2,10(2NX求求)2|10(|XP)13(XP)1310( XP)2102()2|10(|XPXP)128(XP)2108()21012()1()1 ()1 (1 )1 ()13(XP)21013(1)5 .1 (1)1310( XP)21010()21013()0()5 .1 (解解=0.6826=0.0668=0.9332-0.5=0.4332)(zXP設(shè)設(shè) 0 1, XN(0,1)，稱滿足稱滿足 (1) 定義定義：的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X關(guān)于關(guān)于 的上分位數(shù)的上分位數(shù). z6