曲線(xiàn)積分及曲面積分(續(xù))

1、2022-2-101 。 設(shè)有一張曲面設(shè)有一張曲面, 其邊界曲線(xiàn)是分段光其邊界曲線(xiàn)是分段光滑的閉曲線(xiàn)滑的閉曲線(xiàn), 且曲面光滑且曲面光滑, 面密度面密度 (x, y, z)在在上連續(xù)上連續(xù)，求曲面求曲面的質(zhì)量的質(zhì)量。2022-2-102xyz0iS (1) 任意分割任意分割為為 n 塊小曲面塊小曲面), 2 , 1(niSi (2) 任意取一點(diǎn)任意取一點(diǎn),),(iiiiS 則小曲面的質(zhì)量：則小曲面的質(zhì)量：,),(iiiiiSM ),(iii (3) ,),(11iiiiniiniSMM .),(lim10iiiiniSM (4).2022-2-103 上上有有界界，在在光光滑滑曲曲面面設(shè)設(shè) ),

2、(zyxf(2)(3)(4);),(,),(iiiiiiiiSfS 作作任任取取 ;),(1iiiiniSf 和和作作存存在在，iiiiniSf ),(lim10 max,iS 的直徑則稱(chēng)此極限值為則稱(chēng)此極限值為f (x, y, z)在曲面在曲面上上。若若(1) 任意分割任意分割為為 n 塊小曲面塊小曲面), 2 , 1(niSi 2022-2-104記作記作( , , ).f x y z dS 01( , , )lim(,)niiiiif x y z dSfS 即即 積分曲面積分曲面dS 曲面面積微元曲面面積微元可見(jiàn)可見(jiàn)，曲面形構(gòu)件的質(zhì)量曲面形構(gòu)件的質(zhì)量： dSzyxM),( 面密度面密度)

3、,(zyx 又稱(chēng)為又稱(chēng)為，( , , )1x y z 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， dSS曲曲面面的的面面積積2022-2-105(1) f (x, y, z) 雖為三元函數(shù)雖為三元函數(shù)，但點(diǎn)但點(diǎn)(x, y, z)被被限制在曲面限制在曲面上上, 變量變量 ，而依賴(lài)于曲面而依賴(lài)于曲面的方程的方程。(2)(3).),( dSzyxf若若 f (x, y, z) 在光滑曲面在光滑曲面 上連續(xù)上連續(xù)，則則上述曲面積分存在。上述曲面積分存在。(4) 其性質(zhì)與第一類(lèi)曲線(xiàn)積分相仿。其性質(zhì)與第一類(lèi)曲線(xiàn)積分相仿。特別特別，時(shí)時(shí)，如如分分塊塊光光滑滑當(dāng)當(dāng))(21 若若是是, 則記作則記作.21dSfdSfdSf 2022-2-10

4、6設(shè)曲面設(shè)曲面 ：(1)(2)(3);xyDxoy平面上的投影區(qū)域?yàn)槠矫嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?z = z(x, y) 在在Dxy 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；f (x, y, z) 在光滑曲面在光滑曲面上連續(xù)上連續(xù)；上上，在在xyD.122dxdyzzdSyx 2022-2-107 , , ( , )f x y z x y dSzyxf),(同理同理：則則投影區(qū)域：投影區(qū)域：,),(:yzDzyxx .1,),(22dydzxxzyzyxfzyDyz 則則投影區(qū)域：投影區(qū)域：,),(:xyDyxzz 則則投投影影區(qū)區(qū)域域：,),(:xzDzxyy dSzyxf),( dSzyxf),(.1

5、),(,22dxdzyyzzxyxfzxDxz .122dxdyzzyx xyD 2022-2-108D2az xy例例1：3(1,2,3)iz dSi 計(jì)計(jì)算算222221:)1(yxzyxaz 在在內(nèi)部的部分內(nèi)部的部分。把把1 投影到投影到 xoy 平面平面，2221:yxaz .2:222ayxD dxdyyxaa)(222 .835a 13Sdzrdrdaa 2020 )(22ra 221xydSzz dxdy 1 D222a dxdyaxy 2022-2-109222222:)2(yxazyxz 在在 內(nèi)部的部分內(nèi)部的部分。222:yxz .2:222ayxD Sd.105a )3

6、, 2 , 1(3 idSzi計(jì)計(jì)算算把把2 投影到投影到 xoy 平面平面， 23Sdz2322)( yxdxdy2 rdrda 20202 3rdxdy2DD2az xy2 例例1：2022-2-1010D2az 0 xy222223:)3(yxzyxaz 與與 所圍區(qū)所圍區(qū),213 dSzdSz 2133583a 510a .40195a )3 , 2 , 1(3 idSzi 計(jì)算計(jì)算 33Sdz3 域的邊界曲面域的邊界曲面。例例1：2022-2-10113 2 1 , dSyx計(jì)計(jì)算算:0,0,01xyzxyz 與與所所圍圍區(qū)區(qū)域域 的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲 面面。例例2.111zxy

7、, 0:1 x, 0:2 y, 0:3 z, 1:4 zyx dSxy 1 xydS 2 xydS 3 xydS 4 xydS4 2022-2-1012dyydxxx 10103.243 yzDdydz0 xzDdxdz0 xyDdxdyxydxdyxyxyD 3 1xydS= 0 2xydS= 0 3xydSdyydxxx 1010.241 4xydS dSxy0 + 0 + 241243.2431 3 2 1 111zxy4 2022-2-1013例例3：dSzyx)(222 求求);0(:222hzRyx 把把 投影到投影到y(tǒng)oz面上面上，則則22:yRx 0,:,y zzhDRyR ?

8、 dSdydzxxdSzy221 dydzyRR22 R222Ryx hzyDzxy2022-2-1014dSzyx)(222 求求,:22yRx dydzyRRdS22 dSzyx)(222 )(22zR dydzyRR22 zyDdyyRR22 dzzR)(22 2 0hR R. )31(232hhRR dSzyx)(222)( 前前dSzyx)(222)( 后后20,:,y zzhDRyR 2022-2-10151. 設(shè)所討論的曲面都是光滑的設(shè)所討論的曲面都是光滑的，雙側(cè)的雙側(cè)的。如一張包圍某一空間區(qū)域的閉曲面如一張包圍某一空間區(qū)域的閉曲面，就有就有外側(cè)與內(nèi)側(cè)之分外側(cè)與內(nèi)側(cè)之分。2022

9、-2-1016觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) ( (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的) )曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)上側(cè)上側(cè)下側(cè)下側(cè)外側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)2022-2-1017 （注注: : 本課程不討論此類(lèi)曲面）本課程不討論此類(lèi)曲面）把一條紙帶的一端扭把一條紙帶的一端扭180度，再和度，再和另一端另一端單側(cè)曲面例子（莫比烏斯帶）：?jiǎn)蝹?cè)曲面例子（莫比烏斯帶）：粘起來(lái)來(lái)得到一條莫比烏斯帶的模型。粘起來(lái)來(lái)得到一條莫比烏斯帶的模型。2022-2-1018用法向量的指向用法向量的指向方向余弦方向余弦 cos cos cos 0 為前側(cè)為前側(cè) 0 為右側(cè)為右側(cè) 0 為上

10、側(cè)為上側(cè) 0 為下側(cè)為下側(cè)外側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定側(cè)的規(guī)定來(lái)指定曲面的側(cè)的方法如下來(lái)指定曲面的側(cè)的方法如下: 現(xiàn)用曲面上法向量的指向來(lái)定曲面的側(cè)現(xiàn)用曲面上法向量的指向來(lái)定曲面的側(cè),指定了側(cè)的曲面叫指定了側(cè)的曲面叫有向曲面有向曲面. 2022-2-1019zxy 2、設(shè)設(shè)是有向曲面是有向曲面， 在在上取小塊曲面上取小塊曲面S，S在在xoy面上的投影區(qū)域面積面上的投影區(qū)域面積,)(xy ()xy 假設(shè)假設(shè)S上各點(diǎn)處上各點(diǎn)處的法向量與的法向量與 z 軸正向的夾角軸正向的夾角 cos有相同符號(hào)有相同符號(hào), 則則xyS)( 規(guī)定規(guī)定S在在xoy面上的投影面上的投影 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0cos00c

11、os)(0cos)( xyxynn余弦余弦記為記為S 2022-2-1020類(lèi)似規(guī)定類(lèi)似規(guī)定：面上的投影面上的投影在在yozS yzS)( xzS)( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0cos00cos)(0cos)( yzyz 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0cos00cos)(0cos)( xzxz面上的投影面上的投影在在xozS 2022-2-10213、引例引例:設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)( 速度速度V 與時(shí)間與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)的流動(dòng)無(wú)關(guān)的流動(dòng) )的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為常向量的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為常向量速度場(chǎng)中有一有向平面速度場(chǎng)中有一有向平面 A ( (面積記為面積記為A)A)求單位時(shí)間內(nèi)流向求單位時(shí)間

12、內(nèi)流向 A A 一側(cè)的流體的體積，即流量一側(cè)的流體的體積，即流量先討論先討論：0n0n AA(在流體密度在流體密度 = 1= 1的假設(shè)下，數(shù)值上等于質(zhì)量的假設(shè)下，數(shù)值上等于質(zhì)量)：VVV000),()1( nVAV 則則,),()2(0 nV cosAV 則則0.V n A u u r rr r0.V n A u u r rr r2022-2-1022設(shè)流體設(shè)流體（密度為（密度為1 1）的速度場(chǎng)為的速度場(chǎng)為kzyxRjzyxQizyxPzyxV),(),(),(),( 為速度場(chǎng)中一片光滑有向曲面為速度場(chǎng)中一片光滑有向曲面，函數(shù)函數(shù)P, Q, R 在在上連續(xù)上連續(xù)，求單位時(shí)間內(nèi)流向求單位時(shí)間內(nèi)流

13、向的指定側(cè)的流量的指定側(cè)的流量 。zxy0iniViS ),(iii 2022-2-1023(1) 把把任意分成任意分成 n 個(gè)小塊曲面?zhèn)€小塊曲面Si ;(2) 在在Si 中任取一點(diǎn)中任取一點(diǎn)),(iii ( ,)iiiiVV ),(),(),(iiiiiiiiiRQP ,iiiRQP 上上其其它它各各點(diǎn)點(diǎn)處處的的流流速速；近近似似代代替替iS 用用處曲面的單位法向量處曲面的單位法向量用用),(iii cos,cos,cos0iiiin 向向量量；上上其其它它各各點(diǎn)點(diǎn)處處的的單單位位法法近近似似代代替替iS iiiSnV 0指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量流流過(guò)過(guò)iS iiiiiiiSRQP cosc

14、oscos 2022-2-1024iiniiSnV 01)3(iiiiiiiniSRQP coscoscos1 xyiS )( i :平平面面上上的的投投影影在在xoySi ()cosixyiiSS （切平面過(guò)渡）同理同理：()cos,iyziiSS ()cos,izxiiSS )()()(1xyiizxiiyziiniSRSQSP zxyiS i 2022-2-1025)()()(lim10 xyiizxiiyziiniSRSQSP 4. 定義定義 設(shè)設(shè) R(x, y, z) 在光滑有向曲面在光滑有向曲面上有界上有界，任分任分為為n個(gè)小曲面?zhèn)€小曲面,iS 在在xoy平面的投影平面的投影,)(

15、xyiS 為為,),(iiiiS 任任取取作乘積作乘積,)(,(xyiiiiSR 01lim(,)()niiiixyiRS 若若存在存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)則稱(chēng)此極限值為函數(shù) iS 。max,iS（4）記 的直徑2022-2-1026類(lèi)似可定義類(lèi)似可定義： 01lim(,)()niiiiyziPS 01lim(,)()niiiizxiQS 01lim(,)()niiiixyiRS 記作記作dxdyzyxR),( dydzzyxP),( dzdxzyxQ),( 2022-2-1027：.),(),(),(dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP (1)函數(shù)函數(shù) P, Q, R 中變量中變

16、量 ，受到受到曲面曲面方程的限制方程的限制；(2)RdxdyQdzdxdydzP 前前述述流流量量,SdV ,VP Q R r r其其中中,dxdydzdxdydzSd 為為有向面積微元有向面積微元2022-2-1028(3) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分又稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分又稱(chēng)為，如如：，當(dāng)當(dāng)21 是是有有向向曲曲面面， 取取相相反反側(cè)側(cè)，與與 則則 其性質(zhì)與第二類(lèi)曲線(xiàn)積分相仿其性質(zhì)與第二類(lèi)曲線(xiàn)積分相仿。 21則則2022-2-1029取取上上側(cè)側(cè)，：設(shè)設(shè)),(yxzz ,xyDxoy平面上的投影區(qū)域?yàn)槠矫嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)榍以谇以?，上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在xyDyxz),(則則上上連

17、連續(xù)續(xù)，在在 ),(zyxR dxdyzyxR),(cos0,()()ixyixyS 取取上上側(cè)側(cè)，取取下下側(cè)側(cè)，：設(shè)設(shè)),(yxzz dxdyyxzyxRxyD),(, dxdyzyxR),( (cos0,()() )ixyixyS 取取下下側(cè)側(cè)，dxdyyxzyxR),(, xyD 2022-2-1030類(lèi)似類(lèi)似，),(zyxx ：設(shè)設(shè) ),(zxyy ：設(shè)設(shè) dzdyzyxP ),( dxdzzyxQ),(取取dydzzyPzyD, , ),(zyx()()取取dxdzzxQxzD, ),(zxy()()2022-2-1031例例1：)2, 1( idxdyzi部分的下側(cè)；部分的下側(cè)；在

18、在10:221 zyxz zxy,:221yxz 11:22 yxDxy取下側(cè)，取下側(cè)，1 .0cos 1dxdyz dxdy22yx yxD 20d 10rdrr.32 1 12022-2-1032所所圍圍立立體體的的外外側(cè)側(cè)面面。與與1:222 zyxz221:yxz 1: z(取上側(cè)取上側(cè))2, 1( idxdyzi(取下側(cè)取下側(cè)).12 1:22 yxDxy 1dxdyz.32 dxdyz dxdyyxD1.12 dxdyz 2 32.3 zxy11 1 例例1：2022-2-1033例例2：,sin12dxdyyedydzyxx 22:10,2xyzz介于之間的部分的外側(cè)。21yx

19、: (前后曲面前后曲面):zyD 11y20 z曲面向曲面向 xoy平面投影時(shí)平面投影時(shí)，曲面向曲面向 yoz平面投影時(shí)平面投影時(shí)，dxdyyexsin 即即= 0 .投影為曲線(xiàn)，面積為零投影為曲線(xiàn)，面積為零12zxy2022-2-1034,sin12dxdyyedydzyxx :zyD 11y20 zdydzyx21 原原式式 dydzy21zyD)1(2y dydzy21zyD)1(2y zyDdydzy )1(22.316 曲面向曲面向 yoz平面投影時(shí)平面投影時(shí)，21yx : (前后曲面前后曲面)22:10,2xyzz介于之間的部分的外側(cè)。例例2：12zxy2022-2-1035dSR

20、QP)coscoscos( RdxdyQdzdxPdydz處處上上點(diǎn)點(diǎn)為為其其中中),(cos,cos,coszyx 法向量的方向余弦。法向量的方向余弦。 ,是是空空間間光光滑滑有有向向曲曲面面設(shè)設(shè) ,),(),(),(上連續(xù)上連續(xù)在在 zyxRzyxQzyxP:則可以證明則可以證明2022-2-1036例例： dzdxyzyxfdydzxzyxf),(2),(其中其中 f (x, y, z) 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)， 是平面是平面1 zyx在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)。 的法向量的法向量1 , 1, 1 n,31cos ,31cos 31cos dxdyzzyxf),( xyz11

21、-12022-2-1037 cos),(2cos),(yzyxfxzyxf則則，原式原式 =dSzzyxfcos),( )31(),(231),(yzyxfxzyxfdSzzyxf31),( dSzyx)(31 xyDdxdyyxyx3)1(3121 xy1-1xyD dS1311: zyx 2022-2-1038 2022-2-1039 2022-2-1040 是是在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y, z)處的法向量處的法向量的方向余弦的方向余弦。設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面由分片光滑的閉曲面),(),(),(,zyxRzyxQzyxP函函數(shù)數(shù)所所圍圍成成 在在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連

22、續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有則有dvzRyQxP)( RdxdyQdzdxPdydz其中其中或或 dSRQP)coscoscos( cos,cos,cos2022-2-1041dvzRyQxP)( RdxdyQdzdxPdydz 其中其中為閉區(qū)域?yàn)殚]區(qū)域的邊界曲面的的邊界曲面的。,zRyQxP 若若取取1 zyxRQP.31zdxdyydzdxdydzxdvV 則有：則有：2022-2-1042例例1：,sin12dxdyyedydzyxx 所圍部分的外側(cè)。所圍部分的外側(cè)。與與2, 01:22 zzyx xyz,12yxP , 0 Q,sin yeRx ,12yPx , 0 yQ, 0 zRdv 原原式式.

23、316 21y xdyd 11 20zd21y 21 y 21 y 22022-2-1043例例2：穿穿過(guò)過(guò)球球面面求求向向量量kxzjzyi yxa 1222 zyx在第一卦限外側(cè)部分的流量在第一卦限外側(cè)部分的流量。 Sda即即求求 dxdyxzdzdxyzdydzxy，, 0:1 x, 0:2 y, 0:3 z 321vdxzy)( dvz3方向如圖，方向如圖，:,163 vdRQPzyx)( 203 d 20sin drdr210 cosrxyz02022-2-1044 123.163 Sda, 0:1 x, 0:2 y. 0:3 z: : 1dydzzyD 0= 0, 2dzdxzxD

24、 0= 0, 3dxdyyxD 0= 0, dxdyxzdzdxyzdydzxy dxdyxzdzdxyzdydzxy 321 xyz0 1xydydz 2yzdzdx 3xzdxdy2022-2-1045例例3. 求求, zdxdyydzdxxdydzI. 0,2222軸正向成銳角軸正向成銳角與與法向量法向量指定側(cè)的指定側(cè)的為半球面為半球面其中其中znzazyx 01 zdxdyydzdxxdydz0 xyzn利用高斯公式利用高斯公式, 為此引入輔為此引入輔 助曲面助曲面 0:2221zayx.1向的方向相反向的方向相反軸正軸正與與指定側(cè)法向量指定側(cè)法向量并設(shè)并設(shè)zn 易見(jiàn)易見(jiàn)于是由高斯公式

25、于是由高斯公式, 有有 2022-2-1046例例3. 求求. 0,2222軸正向成銳角軸正向成銳角與與法向量法向量指定側(cè)的指定側(cè)的為半球面為半球面其中其中znzazyx dv)111(0 xyzn于是由高斯公式于是由高斯公式, 有有 zdxdyydzdxxdydz 1zdxdyydzdxxdydz dv3334213a 32 a , zdxdyydzdxxdydzI01 zdxdyydzdxxdydz2022-2-1047例例3. 求求. 0,2222軸軸正正向向成成銳銳角角與與側(cè)側(cè)的的法法向向量量指指定定為為半半球球面面其其中中znzazyx zdxdyydzdxxdydz0 xyzn利用

26、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系求解利用兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系求解, 指指定定側(cè)側(cè)的的法法向向量量為為因因?yàn)闉榘氚肭蚯蛎婷?則則2,2,2zyxn 0, ,xyznaaa, zdxdyydzdxxdydzISdnzyx 0,Sdzyxa )(1222Sda 2421aa 32 a 2022-2-1048例例4. 求求,)1( dxdyydzdxdydzxI 是如圖所示的四面體是如圖所示的四面體 OABC 的整個(gè)邊界曲面，的整個(gè)邊界曲面，且取外側(cè)且取外側(cè)。0 xyzA(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1), 1 xP, yQ , 1 R dxdyydzdxdydzx)1( dv)011( dv21

27、21312 31 2022-2-1049例例5：,22 yxdxdyez1,2zz 所所圍圍立立體體的的外外側(cè)側(cè)面面。,221yxz ：. 41:221 yxD, 1:2 z, 2:3 z不不連連續(xù)續(xù)，22yxeRz 在在所所圍圍區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)，分析：分析：. 1:222 yxD.4:223 yxD12xyz1 1222:,zxy 2022-2-1050 22yxdxdyez所所求求yx,221yxz ：. 41:221 yxD, 1:2 z. 1:222 yxD, 2:3 z.4:223 yxD 1Ddxdyyxe22 22yx dxdyyxe22 1 2D dxdyyxe22 2 3D1 2

28、12xyz1 122022-2-1051rdr 22yxdxdyez所所求求 1Ddxdyyxe22 22yx dxdyyxe22 1 2D dxdyyxe22 2 3Dyxrer 20d1 212 20drdr re01 20drdr 2re02)(22ee e 2 24 e .22e 2022-2-1052例例6： 設(shè)設(shè)為一光滑閉曲面為一光滑閉曲面， 處的單處的單),(zyxn上上點(diǎn)點(diǎn)為為 位外法線(xiàn)向量，位外法線(xiàn)向量，,kzjyixr ,),cos(2dSrnr 求求(1)不包含原點(diǎn)不包含原點(diǎn)；的表面外側(cè)。的表面外側(cè)。2222:)2(azyx 由題意，由題意，的向徑，的向徑，上任一點(diǎn)上任一

29、點(diǎn)為為),(zyxr ,coscoscoskjin nrnrnr ),(cos= 222coscoscos 222zyx coscoscoszyx cosrx cosry cosrz SdrzryrxrI)coscoscos(12 2022-2-1053SdrzryrxrI)coscoscos(12 ,),cos(2dSrnr 求求dydz3rx3ry dzdx3rz dxdy(1) 不包含原點(diǎn)不包含原點(diǎn)。高斯公式條件滿(mǎn)足高斯公式條件滿(mǎn)足, 0 zyxRQP所以所以 I = 0(1) 因?yàn)橐驗(yàn)椴话c(diǎn)不包含原點(diǎn)， xP,3522rxr ,3522ryrQy ,3522rzrRz 2022-2-1054(2)在在上上，r = a ,dxdyrzdzdxrydydzrxI333 dxdyzdzdxydydzxa 31 vda)111(13的的表表面面外外側(cè)側(cè)。2222:)2(azyx 包含原點(diǎn)包含原點(diǎn), 則不可直接用高斯公式。則不可直接用高斯公式。.4 vda33(內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)內(nèi)無(wú)奇點(diǎn))334a 33a ,),cos(2dSrnr 求求2022-2-1055因?yàn)樵谇蛎嫔弦驗(yàn)樵谇蛎嫔?，點(diǎn)的向徑與該點(diǎn)法向量點(diǎn)的向徑與該點(diǎn)法向量(x,y,z)nn方向一致方向一致，, 0),(