橢圓專題復習講義(理附答案).

1、橢圓專題復習考點 1橢圓定義及標準方程題型 1: 橢圓定義的運用1.短軸長為5 ，離心率 e的橢圓兩焦點為 F ，F(xiàn) ，過 F作直線交橢圓于 A、 B 兩點，則 ABF 的周長為212123A.3B.6C.12D.24（） 解析 C.長半軸 a=3， ABF2 的周長為 4a=122.已知 P 為橢圓 x2y21上的一點， M , N 分別為圓 ( x3) 2y21 和圓 ( x 3)2y24 上的點，則2516PMPN 的最小值為（）A 5B 7C 13D 15 解析 B.兩圓心 C、D 恰為橢圓的焦點，| PC |PD |10， PMPN 的最小值為 10-1-2=7題型 2 求橢圓的標準

2、方程3. 設橢圓的中心在原點， 坐標軸為對稱軸， 一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直， 且此焦點與長軸上較近的端點距離為 4 2 4，求此橢圓方程 .x2y21 或 x2y2bc 解析 設橢圓的方程為1(ab0) ，則 ac4(2 1)，a2b2b2a2222abc解之得： a4 2 ，b=c 4.則所求的橢圓的方程為x2y 21或 x 2y 21 .321616324. 橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是3 ，求這個橢圓方程.ac3a233，所求方程為x2+ y2=1 或 x2+ y2解析 =1.， ba2cc3129912考點 2

3、橢圓的幾何性質(zhì)題型 1: 求橢圓的離心率（或范圍）5.在 ABC 中，A300 ,| AB | 2, S ABC3 若以 A， B 為焦點的橢圓經(jīng)過點C ，則該橢圓的離心率e【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率1 解析 S ABC| AB | | AC | sin A3 ，2|AC| 23，|BC |AB|2| AC |2 2 | AB | | AC | cos A 2|AB|23 1e|BC| 23 22|AC|6.成等差數(shù)列， m，n ，mn 成等比數(shù)列，則橢圓x2y21的離心率為mn2n2mnm2x2y22 解析 由 n2m2n，橢圓1 的離心率為n4mn0mn2題型

4、 2: 橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范圍、對稱性等）7.已知實數(shù) x, y 滿足 x2y21,求 x2y2x 的最大值與最小值42【解題思路】把 x2y2x 看作 x 的函數(shù)解析 由 x 2y 21 得 y221 x2 ,21 x202 x 24222x2y 2x1 x2x21 (x1)23 , x2,2222當 x1時 , x2y2x 取得最小值 3,當 x2 時 , x2y 2x 取得最大值 628. 如圖，把橢圓x2y21 的長軸AB 分成 8 等份，過每個分點作x 軸的垂線交橢圓的上半部分于2516P,1 P2 , P3 , P4, P5 , P6 , P7 七個點， F 是橢圓的一個焦

5、點則 PF1P2FPF3P4F P5 F P6F P7 F _解析由橢圓的對稱性知：P F P7 F P2 F P F P F P F 2a 351635考點 3橢圓的最值問題9.橢圓x2y21上的點到直線 l: xy90 的距離的最小值為 _169 解析 在橢圓上任取一點P, 設 P( 4cos,3sin).那么點 P 到直線 l 的距離為：| 4 cos3sin12 |2 | 5sin()9|22.1212210. 已知點 P 是橢圓 x2y 21 上的在第一象限內(nèi)的點，又A(2,0)、 B(0,1) ，4O 是原點，則四邊形OAPB 的面積的最大值是_解析 設 P ( 2 cos , s

6、in),( 0,) ，則2SOAPBS OPAS OPB1 OAsin1 OB2 cossincos222考點 4橢圓的綜合應用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題11. 已知橢圓 C 的中心為坐標原點O ,一個長軸端點為0 ,1,短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線 l 與y軸交于點P 0，m），與橢圓C交于相異兩點A BAP 3PB（、 ，且（ 1）求橢圓方程；（ 2）求 m的取值范圍 解析 （ 1）由題意可知橢圓C 為焦點在 y 軸上的橢圓，可設C :y2x21 ( a b 0)2b2a由條件知 a1 且 bc ，又有 a2b2c2 ，解得a1 , bc22故橢圓 C 的離心率為

7、ec2，其標準方程為：y2x 21a212（ 2）設 l 與橢圓 C 交點為 A（ x1， y1）， B（x2，y2）y kx m22222得（ k 2） x 2kmx（ m 1） 02x y 1（ 2km） 2 4（ k2 2）（m2 1） 4（ k2 2m2 2） >0 （ * ） 2kmm2 1x1 x2 2x2x1 x2 k2 2 ， x1x2k2 2AP3PB x1 3x2 x1x2 3x22 2kmm2 1消去 x2，得 3（x1x2）2 4x1x2 0， 3（2）24 2 0k 2k 2整理得2 2 2m22212122 2m24k mk 2 0m 時，上式不成立； m 時

8、， k 4m2，44 122 2m21或1<m<1容易驗證22 2 成立，所以（ * ）成立因 3 k0 k4m2>0， 1<m<22k >2m11 1即所求 m 的取值范圍為（ 1， 2）（ 2，1 ）基礎鞏固訓練1. 如圖所示 ,橢圓中心在原點 ,F 是左焦點 ,直線 AB1 與 BF交于 D,且 BDB1 90 ,則橢圓的離心率為()3151513AB2C2D22解析 B.b ( b )1a2c2ac e5 1ac22. 設 F1、F2 為橢圓 x2+y2=1 的兩焦點， P 在橢圓上，當 F1PF2 面積為1 時， PF1PF2 的值為（）4A0B1

9、C2D3解析 A.SFPF23 | yP |1 ，P 的縱坐標為3，從而 P的坐標為 (2 6 ,3 ) ，1333PF1 PF20，x2y2平分 , 那么這條弦所在的直線方程是（）3.橢圓1 的一條弦被 A(4, 2)369A x2 y 0B 2x y 10 0C 2x y 2 0D x 2 y 8 0解析D.x12y121, x22y221,兩式相減得： x1 x24( y1y2 ) y1y20，369369x1x2x1 x28, y1y24 ，y1y21x1x224.在 ABC 中，A90 ，tan B3若以A， B 為焦點的橢圓經(jīng)過點C ，則該橢圓的離心率e4AB1解析AB4k, AC

10、3k, BC5k, eAC BC25. 已知 F1, F2 為橢圓的兩個焦點,P 為橢圓上一點 ,若PF1 F2:PF2 F1 :F1 PF21 : 2 : 3, 則此橢圓的離心率為 _. 解析31三角形三邊的比是1:3 : 26.在平面直角坐標系中， 橢圓 x2y21(ab 0)的焦距為2，以 O 為圓心， a 為半徑的圓， 過點a2,0a2b2c作圓的兩切線互相垂直，則離心率e=解析a22ae2c2綜合提高訓練7、已知橢圓x2y 21 (ab0) 與過點 A(2， 0)， B(0， 1)的直線 l 有且只有一個公共點 T，且橢圓的離a 2b 2心率 e3求橢圓方程2 解析 直線 l的方程為

11、 ： y1 x1由已知a 2b 23a 24b 22a2x 2y 211 a 2 )x 2由a 2b 2得： (b2a2 x a2a 2b 20y114x2a4( 42a2 )(a2a2b2 ) 0，即a24 4b2b由得：a22，b21故橢圓E 方程為x2y2221128.已知 A、B 分別是橢圓x 2y21的左右兩個焦點，O 為坐標原點，點P( 1,2PBa 2b2）在橢圓上，線段2與 y 軸的交點 M 為線段 PB 的中點 .（ 1）求橢圓的標準方程； （2）點 C 是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于sin AsinBABC，求的值。sin C 解析 （ 1）點 M 是線段 PB的中點 OM 是 PAB