運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件

1、.本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題目：運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件系 （部）學(xué)科門類 專 業(yè) 學(xué) 號 姓 名 指導(dǎo)教師 職 稱 年 月日運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件摘 要熵判據(jù)是討論熱力學(xué)系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)的最基本判據(jù)，但在實際熱力學(xué)過程中可以引入其它判據(jù)進(jìn)行討論。本文探討了系統(tǒng)在熵和體積不變時，由內(nèi)能判據(jù)出發(fā)，再結(jié)合雅克比行列式，詳細(xì)推證了平衡穩(wěn)定性條件。該方法條理清楚，步驟簡明，便于理解。關(guān)鍵詞：熵判據(jù) 內(nèi)能判據(jù) 雅克比行列式 平衡穩(wěn)定性條件 ABSTRACTEntropy criterion is the most basic criterion in discussing the

2、 equilibrium state of thermodynamic system, but we can introduceother criterion for discussion in the actual thermodynamicprocess. This essay discusses the requirement for a system to reach a equilibrium stability in detail. The discussion is in condition of constant entropy and volume, and on the b

3、asis of the internal energy criterion and the Jacobian. This method is clear, concise, and easy to master.Key words: entropy criterioninternal energy criterionJacobianthe equilibrium stability condition. v.目錄1 引言.12 系統(tǒng)的平衡判據(jù).12.1 熵判據(jù).12.2 內(nèi)能判據(jù).23 平衡的穩(wěn)定性條件.24 雅克比行列式.44.1 定義.44.2 表達(dá)式及相關(guān)內(nèi)容.45 由內(nèi)能判據(jù)推證系統(tǒng)的

4、平衡穩(wěn)定性條件.5結(jié)論.8參考文獻(xiàn).9致謝.101 引言經(jīng)典熱力學(xué)是建立在系統(tǒng)處于平衡態(tài)基礎(chǔ)上的，因此，研究某一個實際系統(tǒng)，分析它是否處于平衡態(tài)具有極其重要的實踐意義。熱力學(xué)系統(tǒng)在不同的條件下有不同的平衡判據(jù),實際情況中要依據(jù)系統(tǒng)所處的條件而采用相應(yīng)的平衡判據(jù),得到系統(tǒng)的平衡條件和平衡穩(wěn)定性條件,用來判斷某一個理論過程的各個狀態(tài)是否真實存在。如圖所示：在由氣體的范德瓦爾斯方程畫出的等溫線圖中，利用平衡穩(wěn)定性條件可以判斷其中AB段曲線是不存在的，與實驗所得出的結(jié)果不相符，這也正說明了范德瓦爾斯氣體方程理論上有很大的缺陷性。另外研究平衡體系的穩(wěn)定條件,在生產(chǎn)實踐中也具有較高的實際應(yīng)用價值，可以解決

5、諸如合金、高分子、溶液等的至關(guān)重要的穩(wěn)定性問題。在熱力學(xué)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的平衡條件與平衡穩(wěn)定性條件一般都是由熵判據(jù)推導(dǎo)出來的。熵判據(jù)是最基本的平衡判據(jù)，它只適用于孤立的系統(tǒng)。在實際情況中遇到的特定物理條件下，應(yīng)用其它判據(jù)比較方便，且其對應(yīng)的平衡判據(jù)也是唯一的。當(dāng)系統(tǒng)的熵和體積不變時，可以用內(nèi)能判據(jù)推證平衡穩(wěn)定性條件。熱力學(xué)理論中關(guān)系式的證明與推導(dǎo)離不開數(shù)學(xué)手段和方法，而且采用不同的數(shù)學(xué)手段與方法總會得到異曲同工的效果。其中，應(yīng)用雅克比行列式可以解決熱力學(xué)關(guān)系式的證明及其熱力學(xué)函數(shù)中一階偏導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)換問題，可以簡化推導(dǎo)步驟，易于掌握。需要說明的是，在推導(dǎo)平衡穩(wěn)定性條件時并不是所有的函數(shù)判據(jù)都可用此法推

6、導(dǎo)，它只適用于用兩個廣延量為變量表述的函數(shù)判據(jù)，而內(nèi)能判據(jù)符合這一條件。因此，本文將由內(nèi)能判據(jù)出發(fā)，再結(jié)合雅克比變換的方法詳細(xì)推證系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性條件。2 系統(tǒng)的平衡判據(jù)熱力學(xué)系統(tǒng)在不同的條件下有不同的平衡判據(jù)，如在內(nèi)能和體積不變時有熵判據(jù)，熵和體積不變時有內(nèi)能判據(jù)，等溫等壓條件下有吉布斯函數(shù)判據(jù)，等熵等壓條件下有焓判據(jù)，等溫等容條件下有自由能判據(jù)等。本文將主要介紹熵判據(jù)和內(nèi)能判據(jù)。2.1 熵判據(jù)在熱力學(xué)中，熵增加原理表明，孤立系統(tǒng)的熵永不減少。孤立系統(tǒng)中發(fā)生的趨向平衡的過程，一定沿著熵增加的方向進(jìn)行。當(dāng)孤立系統(tǒng)的熵增加到極大值時，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不再發(fā)生變化，這時系統(tǒng)就達(dá)到了平衡狀態(tài)。在判定孤

7、立系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)時可以利用熵函數(shù)這一性質(zhì)，即為熵判據(jù)。在體積和內(nèi)能不變時，圍繞某一狀態(tài)發(fā)生的各種變動所導(dǎo)致的熵變，那么這一狀態(tài)的熵就具有極大值，其所處的平衡狀態(tài)也是穩(wěn)定的。由數(shù)學(xué)知識可知，時，熵函數(shù)有極大值，由可以導(dǎo)出平衡條件，由可以導(dǎo)出平衡穩(wěn)定性條件。2.2 內(nèi)能判據(jù)根據(jù)熱力學(xué)基本微分方程可知,若，時,則，即當(dāng)系統(tǒng)在熵和體積不變時，所進(jìn)行的任何熱力學(xué)過程，其內(nèi)能永不增大。當(dāng)該系統(tǒng)的內(nèi)能取極小值的時候，系統(tǒng)就達(dá)到了穩(wěn)定的平衡態(tài)。在判定該系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)時可以利用內(nèi)能函數(shù)的這一性質(zhì)，故內(nèi)能判據(jù)可表示為：當(dāng)，時，對于處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，其內(nèi)能最小?；跀?shù)學(xué)上的極小值條件,內(nèi)能判據(jù)可表為，即為平

8、衡條件和平衡的穩(wěn)定性條件。3 平衡的穩(wěn)定性條件由于不同的熱力學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)平衡的必要條件及平衡穩(wěn)定性條件有不同的形式，下面以孤立系統(tǒng)為例，根據(jù)熵判據(jù)分析系統(tǒng)平衡的必要條件及平衡穩(wěn)定性條件。假設(shè)某一孤立系統(tǒng)由兩部分組成，設(shè)和分別表示兩部分的體積、內(nèi)能和粒子數(shù)。令： （1）設(shè)系統(tǒng)在平衡態(tài)附近有虛變動，則有：=（2）= （3） （4）由熵平衡判據(jù)可知，在平衡態(tài)時系統(tǒng)的熵取極大值，即： （5） （6）把（2）式、（3）式代入（5）式： （7）因為虛變動均為任意，要使（7）式成立，則有：（8）即熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡條件是：等溫、等壓和化學(xué)勢相同。對于粒子數(shù)不變的孤立系統(tǒng)，有：,將其展開到二級項，有： = （9

9、）結(jié)合（9）式，由（6）式得：=即得：（10）因為可以任意的變化，為使上式能夠成立，則須滿足： （11） （12）將,代入（11）式得：=得：（13）結(jié)合（11）式，由（12）式得： （14）用矩陣表示上式，即： =（15） 則：（16）綜上可得，系統(tǒng)的平衡的穩(wěn)定性條件即為：及（17）4 雅克比行列式4.1 定義在熱力學(xué)中，雅克比行列式是其進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)變換運算的一個有用的工具。設(shè)是獨立變量的函數(shù)：設(shè)表示的雅克比行列式為：4.2 表達(dá)式及相關(guān)內(nèi)容雅克比行列式的性質(zhì)：（1）（2） （3） ,相當(dāng)于只進(jìn)行一個變量的轉(zhuǎn)換。（4） ，其中為另一對獨立變量。（5） （6） 熱力學(xué)基本方程的雅克比表示：麥克斯

10、韋關(guān)系式的雅克比表示：,即即4個麥克斯韋關(guān)系式和都可以用上式表示。熱力學(xué)函數(shù)的雅克比表示與可測量的關(guān)系表達(dá)式：對于簡單系統(tǒng)有，則5由內(nèi)能判據(jù)推證系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件熱力學(xué)系統(tǒng)在熵和體積不變時，運用內(nèi)能判據(jù)推導(dǎo)系統(tǒng)的平衡條件和平衡穩(wěn)定性條件。假設(shè)某一均勻孤立系統(tǒng)，熵為，體積為,內(nèi)能為，粒子數(shù)為，將其分為兩部分，和分別表示兩部分的體積、內(nèi)能、粒子數(shù)和熵，則應(yīng)滿足： （1）設(shè)系統(tǒng)在平衡態(tài)附近有虛變動，則有： （2）孤立系統(tǒng)有：（3）根據(jù)熵判據(jù)，則有：（4）孤立系統(tǒng)的熱力學(xué)基本方程為，將其代入（4）式（5）結(jié)合（2）式，將（5）式變?yōu)椋?（6）因為虛變動均為任意，要讓（6）式成立，則有：（7）即熱力學(xué)

11、系統(tǒng)的平衡條件是：等溫、等壓和化學(xué)勢相同。對于粒子數(shù)不變的系統(tǒng)，有，將其展開到二級項，有：=（8）由內(nèi)能判據(jù)可知：要求平衡穩(wěn)定性條件有，則：=（9）對此系統(tǒng)，有特性函數(shù)，則：將代入上式，得：則： （10）結(jié)合（10）式，（9）式可變?yōu)椋海?1）由（11）式得：（12）（13）結(jié)合，（12）式可變?yōu)椋旱茫海?4）以上的推證過程與許多優(yōu)秀教材中的過程相比，思路清晰，通俗易懂。為使推導(dǎo)的步驟更加簡潔明了，下面本文將依據(jù)內(nèi)能判據(jù)，結(jié)合雅克比行列式推證平衡穩(wěn)定性條件。結(jié)合（12）式，（13）式可變?yōu)椋豪醚趴吮刃辛惺蕉x將上式變?yōu)椋?（15）由熱力學(xué)基本方程 得：結(jié)合，代入（15）式，得：利用雅克比行列

12、式性質(zhì)得：=即得：綜上可得，系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件即為：及（16）結(jié)論 通過以上對比、分析可見，依據(jù)內(nèi)能判據(jù)，再結(jié)合雅克比行列式推導(dǎo)出的平衡穩(wěn)定性條件與只用熵判據(jù)推導(dǎo)出的結(jié)果完全一致。當(dāng)系統(tǒng)處在穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，不僅要滿足平衡的必要條件，還必須滿足平衡穩(wěn)定性條件：及否則系統(tǒng)平衡狀態(tài)很難維持穩(wěn)定。該方法條理清楚，步驟簡明，便于理解。參考文獻(xiàn)l馬本坤, 高尚惠, 孫煌. 熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)M. : 高等教育出版社, 1986. 2汪志誠. 熱力學(xué)統(tǒng)計物理學(xué)M. : 高等教育出版社, 1980. 3龔昌德. 熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)M. : 高等教育出版社, 1982. 4王竹溪. 熱力學(xué)M. : 高等教育出

13、版社, 1955年9月第一版5孫延. 防論平衡態(tài)的均勻系的體積無償自發(fā)收縮不可能J. 鄭州工學(xué)院學(xué)報, 1986年第二期. 6倪致祥. 一個統(tǒng)計物理問題的多種解法J. 大學(xué)物理, 2000年11期7言經(jīng)柳. 巨正則系綜的最可幾統(tǒng)計法J. 廣西物理, 1998年04期8潘宏利. 耗散結(jié)構(gòu)靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)研究J. 漢中師范學(xué)院學(xué)報, 1999年06期9任亞杰. 熱力學(xué)系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性條件的研究J. 首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2001年04期10張凱莉, 朱孟正, 尹新國. 力學(xué)系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性條件的研究J. 科技資訊, 2012. 11肖波齊, 林紫霞, 蔣國平. 運用3種判據(jù)推導(dǎo)熱力學(xué)系統(tǒng)平

14、衡穩(wěn)定性條件J. 華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2010年01期. 12呂依穎. 熱力學(xué)系統(tǒng)平衡判據(jù)和平衡穩(wěn)定條件推導(dǎo)的研究J. 魯東大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012, 28(2): 126-128. 13穆軼. 雅克比行列式在平衡穩(wěn)定性條件中的應(yīng)用J. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2008, 31(4): 487-490. 14曾丹苓. 復(fù)相系平衡條件及平衡穩(wěn)定性條件的分析J. 工程熱物理學(xué)報, 1996年01期. 15周貴興. 熱力學(xué)平衡判據(jù)的穩(wěn)定條件J. 紡織基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報, 1990年04期. 致經(jīng)過半年的忙碌和工作，畢業(yè)論文的寫作已經(jīng)接近尾聲，作為一個本科生，由于經(jīng)驗的匱乏，難免有許多考慮不周全的地方，如果沒有導(dǎo)師的督促指導(dǎo)，想要順利完成論文是難以想象的。在這里首先要感謝我的導(dǎo)師。老師雖然工