有理數(shù)及其運(yùn)算全章復(fù)習(xí)與鞏固基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、有理數(shù)及其運(yùn)算全章復(fù)習(xí)與鞏固【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】要點(diǎn)一、有理數(shù)的相關(guān)概念 1有理數(shù)的分類： （1）按定義分類： （2）按性質(zhì)分類：要點(diǎn)詮釋：（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個(gè)蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài) 表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)2數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線要點(diǎn)詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如（2）在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大3相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0 要點(diǎn)詮釋：

2、（1）一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的（2）求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“”號(hào)即可（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：數(shù)字前面“”號(hào)的個(gè)數(shù)若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)4絕對(duì)值：（1)代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0 數(shù)a的絕對(duì)值記作 （2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離要點(diǎn)二、有理數(shù)的運(yùn)算 1 法則：（1）加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕

3、對(duì)值一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)2）減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)即a-b=a+(-b) 3）乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘任何數(shù)同0相乘，都得04）除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)即a÷b=a·(b0) 5）乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是06)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行要點(diǎn)詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“”號(hào)

4、的個(gè)數(shù)，例如：（3）=3，+（3）=3（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：（3）×（2）×（6）=36，而（3）×（2）×6=36（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如： ， 2運(yùn)算律： （1）交換律: 加法交換律:a+b=b+a； 乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律: 加法結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c)； 乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac要點(diǎn)三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方

5、法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小；(3) 作差比較法（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法要點(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法 把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中1，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法例如：200 000=【典型例題】類型一、有理數(shù)相關(guān)概念1若一個(gè)有理數(shù)的：(1)相反數(shù)；（2）倒數(shù)；(3)絕對(duì)值；(4)平方；(5)立方，等于它本身則這個(gè)數(shù)分別為(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；（5）_ 【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正數(shù)和0；(4)1和0；(5)-1、0和1 【解析】根據(jù)定義，把符合條件的有理數(shù)寫全 【總結(jié)

6、升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對(duì)值，相反數(shù)等概念舉一反三：【變式】(1)的倒數(shù)是 ；的相反數(shù)是 ；的絕對(duì)值是 -（-8）的相反數(shù)是 ；的相反數(shù)的倒數(shù)是_.(2)某種食用油的價(jià)格隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的變化漲落，規(guī)定上漲記為正，則-58元的意義是 _ ；如果這種油的原價(jià)是76元，那么現(xiàn)在的賣價(jià)是 (3) 上海浦東磁懸浮鐵路全長(zhǎng)30km，單程運(yùn)行時(shí)間約為8min,那么磁懸浮列車的平均速度用科學(xué)記數(shù)法表示約為 mmin(4) 若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，則_ 【答案】（1）； ； ；-8；2 （2）降價(jià)58元，702 元；（3）；（4）3；2如果(x-2)2+|y-3|0，那么(2x-y)2005的值

7、為( ) A1 B-1 C22006 D32005【思路點(diǎn)撥】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出的值再代入計(jì)算【答案】A【解析】 因?yàn)?x-2)2，|y-3|都是非負(fù)數(shù)，且(x-2)2+|y-3|0， 所以由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求出x=2，y =3的值，代入得： (2x-y)2005=12005=1【總結(jié)升華】偶次方與絕對(duì)值都具有非負(fù)性3在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)： _【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“a-b0，a-b0，a-b0分別得到ab，ab，ab”來比較兩數(shù)的大小【答案】 【解析】解法一：作差法由于，所以解法二：倒數(shù)比較法：因?yàn)樗耘e一反三：【變式】比較大?。?1)_0.001； (2)_-0.68【答案】（1）

8、（2）類型二、有理數(shù)的運(yùn)算4（1）（12）5+（14）（39）（2）32÷（3）2+3×（2）+|4|（3）（4）【答案與解析】解：（1）（12）5+（14）（39）=12514+39=31+39=8（2）32÷（3）2+3×（2）+|4|=9÷96+4=16+4=3（3）=×60×60×60=10258=23（4）=×（）÷（）32=×232=×30=24（5）舉一反三：【變式】計(jì)算：（1）（2）【答案】解：（1）（2）=-16+4-3×1=-15類型三、數(shù)學(xué)思想

9、在本章中的應(yīng)用5（1）數(shù)形結(jié)合思想：有理數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則a，-a，1的大小關(guān)系 A-aa1 B1-aa C1-aa Da1-a （2）分類討論思想：已知|x|5，|y|3求x-y的值 （3）轉(zhuǎn)化思想：計(jì)算：【答案與解析】解：（1）將-a在數(shù)軸上標(biāo)出，如圖所示，得到a1-a，所以大小關(guān)系為：a1-a 所以正確選項(xiàng)為：D（2）因?yàn)閨 x|5，所以x為-5或5 因?yàn)閨y|3，所以y為3或-3當(dāng)x5，y3時(shí)，x-y5-32 當(dāng)x5，y-3時(shí)，x-y5-(-3)8 當(dāng)x-5，y3時(shí)，x-y-5-3-8 當(dāng)x-5，y-3時(shí)，x-y-5-(-3)-2 故（x-y）的值為±2或

10、77;8（3）原式=【總結(jié)升華】在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問題的有效手段數(shù)形結(jié)合“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問題簡(jiǎn)單化，具體化；分類討論中注意分類的兩條原則：分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，而且分類要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知” 舉一反三：【變式】若a是有理數(shù)，|a|-a能不能是負(fù)數(shù)?為什么?【答案】解： 當(dāng)a0時(shí)，|a|-aa-a0； 當(dāng)a0時(shí)，|a|-a0-00； 當(dāng)a0時(shí)，|a|-a-a-a-2a0 所以，對(duì)于任何有理數(shù)a，|a|-a都不會(huì)是負(fù)數(shù)類型四、規(guī)律探索 6將1，按一定規(guī)律排列如下： 請(qǐng)你寫出第20行從左至右第10個(gè)數(shù)是_【答案】【解析】

11、 認(rèn)真觀察可知，第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有3個(gè)數(shù)，所以第20行有20個(gè)數(shù)，從第1行到第20行共有1+2+3+20210個(gè)數(shù)，所以第20行最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值應(yīng)是；又由表中可知，凡是分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)是負(fù)數(shù)，故第20行最后一個(gè)數(shù)是，以此類推向前10個(gè)，則得到第20行第10個(gè)數(shù)是拔高：類型一、有理數(shù)相關(guān)概念7已知x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，|x+y |+（a-1）20，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值【思路點(diǎn)撥】 (1)若有理數(shù)x與y互為相反數(shù)，則x+y0，反過來也成立 (2)若有理數(shù)m與n互為倒數(shù)，則mn1，反過來也成立【答案與解析】解：因?yàn)?/p>

12、x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，（a-1）20， 所以x+y0，mn1，a1， 所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 a2-a+1 a1，原式12-1+11【總結(jié)升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對(duì)值，相反數(shù)等概念舉一反三：【變式1】選擇題（1）已知四種說法： |a|=a時(shí)，a>0； |a|=-a時(shí)， a<0 |a|就是a與-a中較大的數(shù) |a|就是數(shù)軸上a到原點(diǎn)的距離 對(duì)于任意有理數(shù)，-|a|a|a| 其中說法正確的個(gè)數(shù)是（ ） A1 B2 C3 D4 （2）有四個(gè)說法： 有最小的有理數(shù) 有絕對(duì)值最小

13、的有理數(shù) 有最小的正有理數(shù) 沒有最大的負(fù)有理數(shù) 上述說法正確的是（ ） A B C D （3）已知(-ab)3>0，則（ ） Aab<0 Bab>0 Ca>0且b<0 Da<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，則(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A120 B-15 C0 D-120 （5）下列各對(duì)算式中，結(jié)果相等的是（ ） A-a6與(-a)6 B-a3與|-a|3 C(-a)23與(-a3)2 D(ab)3與ab3 【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C【變式2】明明同學(xué)在“百度”搜索引擎輸入“釣魚

14、島最新消息”，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個(gè)數(shù)約為4680000，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為 【答案】 8 在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)： _ 【思路點(diǎn)撥】在a、b均為正數(shù)的條件下，根據(jù)“，分別得到ab，ab，ab”來比較兩數(shù)的大小【答案】 【解析】解法一：作差法：（）=， 解法二：作商法：由于，所以 再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，得到：【總結(jié)升華】比較大小常用的有五種方法，要根據(jù)數(shù)的特征選擇使用舉一反三：【變式】在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào) _ 【答案】 （提示：倒數(shù)法較簡(jiǎn)便）類型二、有理數(shù)的運(yùn)算9(1) (2) (4)(5)【答案與解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）舉

15、一反三：【變式】（1）（2）【答案】解：（1）（2） 10先觀察下列各式：；，根據(jù)以上觀察，計(jì)算：的值【答案與解析】解：原式【總結(jié)升華】根據(jù)題中提供的拆項(xiàng)方法把每一項(xiàng)拆成的形式，然后再進(jìn)行計(jì)算舉一反三：【變式】用簡(jiǎn)單方法計(jì)算：【答案】解：原式=類型三、數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用11（1）數(shù)形結(jié)合思想：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且|a|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值 A2b+a B2b-a Ca Db（2）分類討論思想：已知a是任一有理數(shù)，試比較|a|與-2a的大?。?）轉(zhuǎn)化思想：【答案與解析】解：（1）從數(shù)軸上a、b兩點(diǎn)的位置可以看出a0，b0，且|a|b|，所以|

16、a|-|a+b|-|b-a|-a+a+b-b+aa（2）a可能是正數(shù)，0或負(fù)數(shù)，這就需要分類討論：當(dāng)a0時(shí)，|a|a0，-2a0，所以|a|-2a；當(dāng)a0時(shí)，|a|0，-2a0，所以|a|-2a；當(dāng)a0時(shí)，|a|-a>0，-2a0，又-a-2a，所以|a|-2a綜上所述：當(dāng)a0時(shí)， |a|-2a；當(dāng)a0時(shí)，|a|-2a（3）【總結(jié)升華】在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問題的有效手段數(shù)形結(jié)合“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問題簡(jiǎn)單化，具體化；分類討論中注意分類的兩條原則：分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，而且分類要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知” 類型四、規(guī)律探索

17、 12下面兩個(gè)多位數(shù)1248624，6248624都是按照如下方法得到的：將第1位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位；若積為兩位數(shù)，則將其個(gè)位數(shù)字寫在第2位對(duì)第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時(shí)，仍按如上操作得到一個(gè)多位數(shù)，則這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是( ) A495 B497 C501 D503【思路點(diǎn)撥】多位數(shù)1248624是怎么來的？當(dāng)?shù)?個(gè)數(shù)字是1時(shí)，將第1位數(shù)字乘以2得2，將2寫在第2位上，再將第2位數(shù)字2乘以2得4，將其寫在第3位上，將第3位數(shù)字4乘以2的8，將8寫在第4位上，將第4位數(shù)字8乘以

18、2得16，將16的個(gè)位數(shù)字6寫在第5位上，將第5位數(shù)字6乘以2得12，將12的個(gè)位數(shù)字2寫在第6位上，再將第6位數(shù)字2乘以2得4，將其寫在第7位上，以此類推根據(jù)此方法可得到第一位是3的多位數(shù)后再求和【答案】A【解析】按照法則可以看出此數(shù)為362 486 248，后面6248循環(huán)，所以前100位的所有數(shù)字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4495，所以選A【總結(jié)升華】特例助思，探究規(guī)律，這類題主要是通過觀察分析，從特殊到一般來總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并表示出來舉一反三：【變式】世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示，則排在第10行從左邊數(shù)第3個(gè)位置上的數(shù)是（ ）A B C D【答案】B提示

19、：觀察發(fā)現(xiàn)：分子總是1，第n行的第一個(gè)數(shù)的分母就是n，第二個(gè)數(shù)的分母是第一個(gè)數(shù)的（n-1）倍，第三個(gè)數(shù)的分母是第二個(gè)數(shù)的分母的倍根據(jù)圖表的規(guī)律，則第10行從左邊數(shù)第3個(gè)位置上的數(shù)是【鞏固練習(xí)】一、選擇題1下列判斷正確的個(gè)數(shù)有( ) (1)任何一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)和它的絕對(duì)值都不可能相等 (2)若兩個(gè)有理數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù) (3)如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)有理數(shù)也相等 A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)2下列各數(shù)中最大的是( ) A23 B-32 C(-3)2 D(-2)33 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)據(jù)有關(guān)

20、資料顯示，2011年遵義市全年財(cái)政總收入202億元，將202億用科學(xué)記數(shù)法可表示（ ）A2.02×人 B202×人 C2.02×人 D2.02×人5若-1<a<0,則a，從小到大排列正確的是（ ） Aa2<a< Ba << a2 C<a< a2 Da < a2 <6在數(shù)軸上距2.5有3.5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)是( )A6 B-6 C-1 D-1或67a,b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則下列正確的是（ ）A a+b>0 B ab>0 C>0 Da-b>0 8已知有理數(shù)，在數(shù)

21、軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別是A，B請(qǐng)你將具體數(shù)值代入，充分實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：對(duì)于任意有理數(shù)，計(jì)算A， B兩點(diǎn)之間的距離正確的公式一定是（ ） A B C D二、 填空題9.對(duì)某種盒裝牛奶進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，一盒裝牛奶超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量2克，記作+2克，那么-3克表示_.10.水池中的水位在某天八個(gè)不同時(shí)刻測(cè)得記錄為：(規(guī)定向上為正，向下為負(fù)，單位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么這里0的含義是_.11德國(guó)科學(xué)家貝塞爾推算出天鵝座第61顆暗星距離地球102 000 000 000 000千米，用科學(xué)記數(shù)法表示出暗星到地球的距離為_ _千米12，則； ，則.13已知實(shí)數(shù)a , 在數(shù)軸上如下圖所示，則= . 14若|a-2|+|b+3|=0，則3a+2b= 15 16觀察下列算式： ，請(qǐng)你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空：.三、 解答題17計(jì)算： （1）（2）（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19（4）18已知a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，且x的絕對(duì)值為3，求2x2-(ab-c-d)+|ab+3|的值19某地的氣象觀測(cè)資料表明，高度每增加1k