最實(shí)用的對數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)資料精練

1、 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)專題復(fù)習(xí)【知識點(diǎn)梳理】一、對數(shù)的概念1、對數(shù)的定義：如果，那么數(shù)叫做以為底，的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)2、幾種常見對數(shù)：對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為（）常用對數(shù)底數(shù)為10自然對數(shù)底數(shù)為e3、對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則（1）對數(shù)的性質(zhì)（）：loga1=0， loga a=1， =N， （2）對數(shù)的重要公式：換底公式：（均為大于0且不等于1，）；，推廣：（3）對數(shù)的運(yùn)算法則：如果，那么·；二、對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，我們把函數(shù)（0且1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）2、對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a1)的圖象與性質(zhì)：

2、圖象性質(zhì)定義域：（0,+）值域：R過定點(diǎn)：（1，0），即當(dāng)x=1時(shí)，y=0當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在（0,+）上為增函數(shù)在（0,+）上為減函數(shù)3、反函數(shù)（1）反函數(shù)：一般地，對于函數(shù)，設(shè)它的定義域?yàn)?，值域?yàn)槿绻麑χ腥我庖粋€(gè)值，在中總是唯一確定的值與它對應(yīng)，且滿足，這樣得到的關(guān)于的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作（2）反函數(shù)的求法：反解；與對調(diào)；求定義域（3）反函數(shù)的性質(zhì)： 原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域；若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱；(對稱性) 一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致（單調(diào)性） （4）同底的指數(shù)

3、函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)【典型例題】題型一、對數(shù)運(yùn)算 例題1：計(jì)算下列各式的值：（1）； （2）【解析】（1）方法一：原式= =方法二：原式=（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3【點(diǎn)評】這類問題一般有兩種處理方法：一種是將式中真數(shù)的積、商、方根運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為對數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的對數(shù)的和、差、積、商運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根，然后化簡求值（計(jì)算對數(shù)的值時(shí)常用到lg2 + lg

4、5 = lg10 = 1）變式1： 計(jì)算：【解析】分子=，分母= ；所以，原式=題型二、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 例題2：求函數(shù)的定義域【解析】由，得 所求函數(shù)定義域?yàn)閤| 1x0或0x2【點(diǎn)評】求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題，首先要考慮真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1例題3：判斷函數(shù)f（x）=ln(x)的奇偶性【解析】x恒成立，故（x）的定義域?yàn)椋ǎ?），又f (x)=ln(+x)=ln=ln=ln(x)=f (x)，f (x)為奇函數(shù)【點(diǎn)評】在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候，首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的解析式確定函數(shù)的定義域，當(dāng)所給函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，再判斷f（x）和f（x）之間的關(guān)系f（x

5、）為奇函數(shù)f（x）=f（x）f（x）+f（x）=0=1f（x）0；f（x）為偶函數(shù)f（x）=f（x）f（x）f（x）=0=1f（x）0在解決具體問題時(shí)，可以根據(jù)函數(shù)解析式的具體特點(diǎn)選擇不同的方式來判斷例題4：比較下列各組數(shù)的大?。海?）log0.7 1.3和log0.71.8； （2）log35和log64； （3）(lgn)1.7和(lgn)2 (n1) 【解析】（1）對數(shù)函數(shù)y = log0.7x在(0, +)內(nèi)是減函數(shù)因?yàn)?.31.8，所以log0.71.3log0.71.8（2）log35和log64的底數(shù)和真數(shù)都不相同，需找出中間量“搭橋”，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解因?yàn)閘og3

6、5log33 = 1 = log66log64，所以log35log64（3）把lgn看作指數(shù)函數(shù)的底，本題歸為比較兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的大小，故需對底數(shù)lgn討論若1lgn0，即1n10時(shí)，y = (lgn)x在R上是減函數(shù)，所以(lgn)1.7(lgn)2；若lgn1，即n10時(shí)，y = (lgn)x在R上是增函數(shù)，所以(lgn)1.7(lgn)2若lgn = 1，即n = 10時(shí)，(lgn)1.7 = (lgn)2【點(diǎn)評】兩個(gè)值比較大小，如果是同一函數(shù)的函數(shù)值，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性來比較在比較時(shí)，一定要注意底數(shù)所在范圍對單調(diào)性的影響，即a1時(shí)是增函數(shù)，0a1時(shí)是減函數(shù)，如果不是同一個(gè)函

7、數(shù)的函數(shù)值，就可以對所涉及的值進(jìn)行變換，盡量化為可比較的形式，必要時(shí)還可以“搭橋”找一個(gè)與二者有關(guān)聯(lián)的第三量，以二者與第三量（一般是1、0、1）的關(guān)系，來判斷二者的關(guān)系，另外，還可利用函數(shù)圖象直觀判斷，比較大小方法靈活多樣，是對數(shù)學(xué)能力的極好訓(xùn)練變式2：（2010重慶四月模擬）函數(shù)的定義域是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】由題意得：，解得：，選A變式3：設(shè)alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，則a、b、c的大小順序是（ ）A、a<b<c B、b<c<a C、b<a<c D、c<b<a【解析】因?yàn)?<alog0.70

8、.8<log0.70.71，blog1.10.9<log1.110，c1.10.9>1.101，所以選C變式4：求函數(shù)y = log4 (7 + 6 x x2)的單調(diào)區(qū)間和值域【分析】考慮函數(shù)的定義域，依據(jù)單調(diào)性的定義確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)利用二次函數(shù)的基本理論求得函數(shù)的值域【解析】由7 + 6 x x20，得(x 7) (x + 1)0，解得1x7函數(shù)的定義域?yàn)閤|1x7設(shè)g (x) = 7 + 6x x2 = (x 3)2 + 16. 可知，x3時(shí)g (x)為增函數(shù)，x3時(shí)，g (x)為減函數(shù).因此，若1x1x23. 則g (x1)g (x2)，即7 + 6x1 x12

9、7 + 6x2 x22，而y = log4x為增函數(shù)，log4 (7 + 6 x1 x12)log4 (7 + 6x2 x22)，即y1y2 故函數(shù)y = log4 (7 + 6x x2)的單調(diào)增區(qū)間為(1, 3)，同理可知函數(shù)y = log4 (7 + 6x x2)的單調(diào)減區(qū)間為(3, 7)又g (x) = (x 3)2 + 16在(1, 7)上的值域?yàn)?0, 16所以函數(shù)y = log4(7 + 6x x2)的值域?yàn)?(, 2【點(diǎn)評】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須使函數(shù)有意義，因此求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，必先求其定義域，然后在定義域內(nèi)劃分單調(diào)區(qū)間求函數(shù)最值與求函數(shù)的值域方法是相同的，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性是常用

10、方法之一cdab1logbxlogaxlogdxlogcx1oxy例題5：根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系：【解析】直線與各函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為底數(shù)值，故【點(diǎn)評】利用，可以有效的解決對數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比較問題；由上述結(jié)果可知，對數(shù)函數(shù)底數(shù)越小，圖象在第一象限越靠近y軸題型三、反函數(shù)例題6 ：（2009廣東）若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，且，則（ ）A、 B、 C、 D、2 【解析】函數(shù)的反函數(shù)是，又，即，所以，故，選A【點(diǎn)評】利用同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)題型四、對數(shù)方程與不等式例題7：的解為 【解析】原方程變形為，即，得， ， 【點(diǎn)評】考察對數(shù)運(yùn)算，注意驗(yàn)根，使對數(shù)式有意義變式5：解關(guān)于

11、x的不等式：【解析】原不等式可化為，當(dāng)a>1時(shí)，有；當(dāng)0<a<1時(shí)，有當(dāng)a>1時(shí)不等式的解集為；當(dāng)0<a<1時(shí)不等式的解集為【點(diǎn)評】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，注意定義域和底數(shù)的討論題型五、對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)綜合問題 例題8：已知函數(shù)y=loga（1ax），（a0，a1） （1）求函數(shù)的定義域與值域；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）證明函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱【解析】（1）1ax0，即ax1，a1時(shí)，定義域?yàn)椋ǎ?）；0a1時(shí)，定義域?yàn)椋?，+）令t=1ax，則0t1，而y=loga（1ax）=logata1時(shí)，值域?yàn)椋ǎ?）；0a1時(shí)，值域?yàn)椋?，+）（2）a

12、1時(shí)，t=1ax在（，0）上單調(diào)遞減，y=logat關(guān)于t單調(diào)遞增，y=loga（1ax）在（，0）上單調(diào)遞減0a1時(shí)，t=1ax在（0，+）上單調(diào)遞增，而y=logat關(guān)于t單調(diào)遞減，y=loga（1ax）在（0，+）上單調(diào)遞減（3）y=loga（1ax），ay=1axax=1ay，x=loga（1ay）反函數(shù)為y=loga（1ax），即原函數(shù)的反函數(shù)就是自身函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱【點(diǎn)評】有關(guān)于對數(shù)函數(shù)的定義域要注意真數(shù)大于0；函數(shù)的值域取決于1ax的范圍，可應(yīng)用換元法，令t=1ax以減小思維難度；運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定法求單調(diào)區(qū)間；函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱等價(jià)于原函數(shù)的反函數(shù)就是自身，本題

13、要注意對字母參數(shù)a的范圍討論【方法與技巧總結(jié)】1、對數(shù)運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用，應(yīng)掌握變形技巧：（1）各部分變形要化到最簡形式，同時(shí)注意分子、分母的聯(lián)系；（2）要避免錯(cuò)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)2、求對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、及奇偶性的判定都依賴于定義法、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)本身的性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)3、對數(shù)式方程和不等式常用解法：（1）形如，轉(zhuǎn)化為；（2）對于，則當(dāng)時(shí)，得， 當(dāng)時(shí)，得；（3）形如或的方程或不等式，一般用換元法求解；（4）形如的方程化為求解，對于的形式可以考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決 題庫題目僅供選擇使用【鞏固練習(xí)】1（2012肇慶高三上學(xué)期期末）函數(shù)的定義域是（ ）A、 B、

14、 C、 D、2已知，則有 （ ）A、 B、 C、 D、3（2010北京海淀區(qū)第二學(xué)期期中）在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，可能正確的是（ ）4（2010遼寧）設(shè)，且，則（ ）A、 B、10 C、20 D、1005函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 6（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg；（2）設(shè)logax = m，logay = n，用m、n表示；（3）已知lgx = 2lga + 3lgb 5lgc，求x7求函數(shù)y = log2|x|的定義域，并畫出它的圖象8比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。海?）log23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1；（

15、3）loga5.1，loga5.9； （4）log75，log67 9設(shè)A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為a和a+4，直線l：x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點(diǎn)C，與直線AB交于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)ABC的面積大于1時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍10已知函數(shù)（1）若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍【課后作業(yè)】1已知函數(shù) ，那么 的值為 （ ）A、9 B、 C、 D、 2已知0<x<y<a<1，則有（ ） A、loga(xy)<0 B、0< loga(xy)<1 C、1< loga(x

16、y)<2 D、loga(xy)>23若定義在（1，0）內(nèi)的函數(shù)，則a的取值范圍是 （ ）A、 B、 C、 D、4若函數(shù)在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是 （ ） A、 B、 C、 D、 5已知，則的大小關(guān)系是（ ）A、 B、 C、 D、6若，則（ ）A、a<b<c B、c<a<b C、b<a<c D、b<c<a 7（2010北京西城一模）若，則下列結(jié)論正確的是（ ）A、 B、 C、 D、8若指數(shù)函數(shù)yax的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，則a等于（ ）A、 B、2 C、3 D、109（2011重慶）設(shè)的大小關(guān)系是（ ）A、B、C、D、10

17、若，則的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、11（2012江門市一模）已知函數(shù)，且，則是（ ）A、奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 B、偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增C、奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減 D、偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減12（2010青島市二模）已知函數(shù)且在上的最大值與最小值之和為，則的值為（ ）A、 B、 C、 D、13（2010北京豐臺一模）設(shè)集合，則集合是（ ）A、 B、 C、 D、14若f (10x)= x, 則f (5) = 15（2010上海市奉賢區(qū)4月質(zhì)量調(diào)研）函數(shù)的圖像恒過一定點(diǎn)是 16（2010上海市普陀區(qū)二模）函數(shù)的定義域是 17已知log189 = a，18b = 5，求log364518求證：

18、函數(shù)f (x) =在(0, 1)上是增函數(shù)19、已知，（1）求的值；（2）x1，x2，x2010均為正實(shí)數(shù)，若函數(shù)f (x)logax(a0且a1)且f (x1x2x2010)，求f ()f ()f ()的值20、已知函數(shù)，其中（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）若，求使成立的的集合【拓展訓(xùn)練】1函數(shù)y=logax在上總有|y|>1，則a的取值范圍是（ ） A、或 B、或C、 D、或2（2010山東）函數(shù)的值域?yàn)椋?）A、 B、 C、 D、3已知且，下列四組函數(shù)中表示相等函數(shù)的是（ ）A、 B、 C、 D、 4（2011高州三中高三上期末）已知是上的減函數(shù)，那么的

19、取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A、 B、 C、 D、6已知定義在R上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則滿足的的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、7（2012重慶）設(shè)函數(shù)集合 則為（）A、B、(0,1)C、(-1,1)D、8（2012江蘇）函數(shù)的定義域?yàn)?9（2008山東）已知，則的值等于 10已知f（logax）=，其中a0，且a1（1）求；（2）求證：是奇函數(shù)；（3）求證：在R上為增函數(shù)11已知函數(shù)（1）求的定義域；（2）在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn),使過這兩點(diǎn)的直線平行于軸；（3）當(dāng)滿足什么條件時(shí),在上恒取正值12現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)與，其中（1）求函數(shù)的表達(dá)

20、式與定義域；（2）給出如下定義：“對于在區(qū)間上有意義的兩個(gè)函數(shù)與，如果對任意，有，則稱與在區(qū)間上是接近的，否則稱與在區(qū)間上是非接近的.” 若，試討論與在給定區(qū)間上是否是接近的【參考答案】1、鞏固練習(xí)答案1、選B由2、A3、選D依題意，a>0且a1，對于A，D圖，由對數(shù)及指數(shù)函數(shù)圖像知，a>1，此時(shí)直線y=x+a在y軸上的截距大于1，因此A錯(cuò)，D對，選擇D4、選A又5、注意定義域6、【解析】（1）0.4771+0.5 0.1505= 0.8266（2）01 2xy2······1（3）由已知得：，.7、【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

21、x|x0，xR函數(shù)解析式可化為y =，其圖象如圖所示（其特征是關(guān)于y軸對稱）8、【解析】（1）對數(shù)函數(shù)y=log2x在（0，+）上是增函數(shù)，且3.43.8，于是log23.4log23.8（2）對數(shù)函數(shù)y=log0.5x在（0，+）上是減函數(shù)，且1.82.1，于是log0.51.8log0.52.1（3）當(dāng)a1時(shí)，對數(shù)函數(shù)y=logax在（0，+）上是增函數(shù)，于是loga5.1loga5.9；當(dāng)0a1時(shí)，對數(shù)函數(shù)y=logax在（0，+）上是減函數(shù)，于是loga5.1loga5.9（4）因?yàn)楹瘮?shù)y=log7x和函數(shù)y=log6x都是定義域上的增函數(shù)，所以log75log77=1=log66lo

22、g67，所以log75log679、【解析】（1）易知D為線段AB的中點(diǎn)，因A(a, log2a )，B(a+4, log2(a+4)，所以由中點(diǎn)公式得D(a+2, log2) （2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB= log2，其中A,B,C為A,B,C在x軸上的射影，由SABC= log2>1，得0< a<2210、【解析】（1）或；（2）依題意對一切恒成立當(dāng)時(shí)，必須有，即或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)不合題意故或；依題意，只要能取到的任何值，則的值域?yàn)椋视?，即；?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，不合題意故2、課后作業(yè)答案1、選B 2、選D0<x

23、<y<a<1 ，3、選A當(dāng)（1，0）時(shí)，而函數(shù)，故，即4、選A在R上為增函數(shù)， 5、選C由于，6、選C由得，從而，7、選D由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知D正確 8、選A運(yùn)用原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于yx對稱，則函數(shù)yax過點(diǎn)(1,2)，故選A9、選B10、選C11、選B12、選C函數(shù)且在上具有單調(diào)性，因此a+a2+loga2=，解得a=2，選擇C13、選C，因此14、lg5由題意10x= 5，故x= lg5，即 f(5)= lg515、（2，2）當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值為2，所以其圖像恒過定點(diǎn)（2,2）16、，解得x.17、【解析】方法一：log189 = a，18b = 5，log185 = b，于是=.方法二：log189 = a，18b = 5，lg9 = alg18，lg5 = blg8，=.18、【解析】設(shè)0x1x21，則f (x2) f (x1) = = 0x1x21，1，1. 則0，f (x2)f (x1). 故函數(shù)f (x)在(0, 1)上是增函數(shù).19、【解析】（1）方法一：， ， 方法二：， ， （2）由（1）可知f(x1x2x2010)f(