橢圓及其標準方程獲獎

1、2.2.1 橢圓及其標準方程（1）教學目標:重點: 橢圓的定義及橢圓標準方程,用待定系數(shù)法和定義法求曲線方程.難點：橢圓標準方程的建立和推導知識點：橢圓定義及標準方程.能力點：通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；通過對橢圓標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法,提高學生運用坐標法解決幾何問題的能力懂得欣賞數(shù)學的“簡潔美”，并滲透數(shù)形結合和等價轉化的數(shù)學思想方法.教育點：通過橢圓定義的歸納和標準方程的推導，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生探索數(shù)學的興趣，激發(fā)學生的學習熱情.自主探究點：1.通過教學情境中具體的學習活動（如動手實驗、

2、自主探究、合作交流等），引導學生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題，并在作出合理推導的基礎上，形成橢圓的定義；2.探討橢圓標準方程的最簡形式，并通過對解決問題過程的反思，獲得求曲線方程的一般方法.考試點：橢圓定義及標準方程，利用其解決有關的橢圓問題易錯易混點：在用橢圓標準方程時， 學生一般在“焦點的位置”上容易出錯.拓展點：如何利用坐標法探討其它圓錐曲線的方程.教具準備 多媒體課件和三角板課堂模式 學案導學一、 引入新課【創(chuàng)設情景】材料1：對橢圓的感性認識.通過演示課前準備的生活中有關橢圓的實物和圖片，讓學生從感性上認識橢圓.材料2：2012年6月16日下午18時，“神州九號”載人飛船順利升空，實現(xiàn)多人多天飛

3、行，標志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階，請問：“神州九號”飛船的運行軌道是什么？多媒體展示“神州九號”運行軌道圖片【設計意圖】利用多媒體，展示學生常見的橢圓形狀的物品，讓學生從感性上認識橢圓.通過“神州九號”的軌道錄像，讓學生感受現(xiàn)實，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)愛國思想.思考1:自然界處處存在著橢圓,我們如何用自己的雙手畫出橢圓呢?思考2:在圓的學習中我們知道,平面內到一定點的距離為定長的點的軌跡是圓.那么，到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡又是什么呢？【設計意圖】對于生活中、數(shù)學中的圓，學生已經有一定的認識和研究，但對橢圓，學生只停留在直觀感受，基于它倆的關系，引導學生用上一章所學，來研究橢圓

4、學生分組做試驗,教師同時做好指導: 按照課本上介紹的方法，學生用一塊紙板；兩個圖釘，一根無彈性的細繩試畫橢圓，讓學生自己動手畫，同桌相互切磋，探討研究.（提醒學生：作圖過程中注意觀察橢圓的幾何特征，即橢圓上的點要滿足怎樣的幾何條件）思考:點運動時，移動了嗎？點按照什么條件運動形成的軌跡是橢圓？1.在作圖時，視筆尖為動點，兩個圖釘為定點，動點到兩定點距離之和符合什么條件？其軌跡如何？2.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？3.當繩長小于兩圖釘之間的距離時，還能畫出圖形嗎？學生經過動手操作獨立思考小組討論共同交流的探究過程，師生共同總結規(guī)律：當 時, 點的軌跡為橢圓； 當時

5、, 點的軌跡為線段 ；當時, 點的軌跡不存在【設計意圖】在本環(huán)節(jié)中并不是急于向學生交待橢圓的定義，而是設計一個實驗，一是為了給學生一個動手實驗的機會，讓學生體會橢圓上點的運動規(guī)律；二是通過實踐思考，為進一步上升到理論做準備二、探究新知（一）歸納定義通過師生共同總結歸納，形成橢圓概念橢圓定義：在平面內，到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點、叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.注意：“和”，“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍（常數(shù)大于）思考：焦點為的橢圓上任一點，有什么性質？設橢圓上任一點為，則有【設計意圖】通過學生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學生全程參與概念

6、的探究過程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學語言的表達能力.（二）橢圓標準方程的推導 復習提問求曲線方程的一般步驟：（教師提問，針對對于學生回答情況做一總結）（1）建系、設點;（2）寫出點的集合;（3）列式;（4）化簡;（5）證明.思考：如何建系，才能使求出的方程最簡呢？由學生自主提出建立坐標系的不同方法，教師根據(jù)學生提出的“建系”方式，把學生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導方程，進行比較。常遇到的建系方法如下：（供教師參考）方案一：把、建在軸上，以、的中點為原點；方案二：把、建在軸上，以為原點；方案三：把、建在軸上，以、與軸的左交點為原點；方案四：把、建在軸上，以、的中點為原點；xyMO【

7、設計意圖】積極鼓勵學生用不同建系方法，讓他們充分暴露自然思維，通過比較，得出最簡潔的方案，而不是被動地接受教材或老師強加給的方法通過師生分析對比，選擇方案一比較簡潔：（師生共同求解橢圓方程）（1）建系：以所在直線為x軸，以線段的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。設點：設是橢圓上任意一點，為了使的坐標簡單及化簡過程不那么繁雜，設，則設與兩定點的距離的和等于（2）寫點的集合：由橢圓的定義，橢圓就是集合（3）列式： （4）化簡：教師引導學生思考:我們怎么化簡兩個帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是移項后再平方好呢？（通過分析對比，最后選擇移項平方）兩邊平方，得：即兩邊平方，得：整理，得： 兩邊同除

8、以，得 xyO由橢圓的定義知， 所以注:教師板書化簡過程,讓學生進一步明確標準方程的由來,體會化簡的技巧.思考1:請同學觀察右圖，你能從中找出表示的線段嗎？由圖可知，令即，則方程可簡化為：整理成： 【設計意圖】通過思考可以讓學生進一步明確的幾何意義，加深對橢圓定義及標準方程的理解.(5)證明：從上述過程可以看到，橢圓上任意一點的坐標都滿足方程，以方程的解為坐標的點到橢圓的兩個焦點的距離之和為，即以方程的解為坐標的點都在橢圓上，由曲線與方程的關系知，方程是橢圓的方程，我們把它叫做橢圓的標準方程.xyMO方程叫做橢圓的標準方程，焦點在軸上，焦點是思考2：如果以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建

9、立直角坐標系，焦點是，橢圓的方程又如何呢？如果不想重復上述繁瑣的化簡過程，我們將如何做呢？分析:由 且變?yōu)? 即變量與互換位置;所以變?yōu)榧矗簷E圓的標準方程焦點在軸： 焦點是 焦點在軸： 焦點是 注：橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定?！驹O計意圖】橢圓的標準方程的導出，先放手給學生嘗試，教師跟蹤指導再展示學生結果；教師對照圖形，加以引導，讓學生明白方程中字母的幾何意義，對方程的理解有很大的作用；利用類比對稱，化歸的思想得出焦點在軸上的標準方程，避免重復的繁雜計算三、理解新知1.橢圓的標準方程：（1） 焦點在軸上，焦點是（2） 焦點在軸上，焦點是2.歸納概括，橢圓方程特征（1）橢圓標準方程形

10、式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1;（2）不可少,體會的幾何意義;（3）橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定;（4）橢圓標準方程中三個參數(shù)關系： ，最大，大小不定.【設計意圖】通過將兩個標準方程的總結加深學生對橢圓標準方程的理解掌握，特別是焦點位置，三個參數(shù)的關系，為求解橢圓的相關問題打下基礎.四、運用新知題型一:求橢圓標準方程例1. 已知橢圓的兩個兩焦點坐標分別是，并且橢圓經過點，求它的標準方程分析:要求橢圓的標準方程,關鍵先確定參數(shù),本題已知,結合及標準方程,進一步確定.教師板書例題求解過程:法1:因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為 由橢圓定義知： 所以： 又因為 所以因此，

11、所求橢圓的標準方程為 思考與探究:是否還有其他方法解決此類型問題 法2:因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為 因為橢圓經過點 且 所以： 所以解方程得： 因此，所求橢圓的標準方程為注:本題多以方法二為主,如:已知橢圓的左、右焦點分別為、,橢圓上一點到兩焦點、的距離的和等于,求橢圓的標準方程及焦點坐標.本題再用方法一解決顯著比較麻煩了.方法小結:求橢圓標準方程的步驟（1）“定位”即確定橢圓的焦點在哪條坐標軸上;（2）“定量”即確定的具體數(shù)值;（3）求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法及定義法.變式訓練1:已知橢圓經過兩點,求橢圓的標準方程.分析:通過條件看不出焦點的位置,因此在解決問題前應

12、先考慮焦點位置的兩種情況,然后帶入兩點的坐標求參數(shù)即可.方法1:(1)若焦點在軸上,設橢圓的標準方程為,由已知條件可得,解得,即所求橢圓的標準方程為;(2) 若焦點在軸上,設橢圓的標準方程為,由已知條件可得,解得,即,且,與題設矛盾,舍去綜上,所求橢圓的標準方程為.方法2:分析:結合方法1的兩種情況,影響最后結果的只是,所以我們可以設,求出來具體值后在比較大小,進一步確定表達式,這樣可以減少討論的復雜性.設橢圓的一般方程為.將兩點帶入,得,解得即所求橢圓的標準方程為.小結:在對橢圓定義充分理解的基礎上,顯然方法2解決問題要比方法1要簡單.【設計意圖】培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力及良好的解題習慣, 同

13、一個題目有不同的解法,我們可以從中選擇簡捷、自然的的解題思路本題突出橢圓定義的應用和待定系數(shù)法的解題方法.題型二:橢圓標準方程的識別例2當時,指出方程表示的曲線.分析:要想確定表示的曲線,首先應確定的取值范圍.教師板書例題求解過程:由,則.（1）當,即時,方程表示焦點在軸上的橢圓;（2）當,即時,方程表示圓;（3）當,即時,方程表示焦點在軸上的橢圓.方法小結:根據(jù)橢圓方程的兩種基本形式可知,焦點在哪一個軸上,那一個變量就對應的分母大,即:對應的分母大,焦點就在軸上; 對應的分母大,焦點就在軸上.當兩變量的分母相同時就變成圓了.變式訓練2:已知曲線:,則“”是“曲線表示焦點在軸上的橢圓”的什么條

14、件?分析:將曲線的方程化為: ,若曲線是焦點在軸的橢圓,則,即;故“”是“曲線表示焦點在軸上的橢圓”的必要不充分條件.注:在解決此類問題前應將先化成標準式.【設計意圖】通過此類型問題進一步加深學生對橢圓定義及標準方程的理解,強調橢圓焦點位置的決定因素,對于含參問題一直是學生的難點,通過此題可以讓學生進一步體會參數(shù)問題的解決方法.題型三:橢圓定義及其應用例3:已知為橢圓上一點, 、為橢圓的兩焦點, ,求的面積.分析:本題解決關于橢圓和三角形問題,通常利用橢圓的定義,結合正余弦定理等知識求解.教師板書例題求解過程:設,由,所以,則,又由,則所以,即.則xyAOB變式訓練3:已知橢圓,、為橢圓的兩焦

15、點,過的直線與橢圓交于兩點,求的周長.分析:因為則的周長為即的周長為.思考:當直線過焦點時,隨著位置的該變,是否的周長也在跟著改變呢?分析:由橢圓的定義可得的周長是個定值,即為.【設計意圖】通過題型三,一是加強學生對橢圓定義和標準方程的理解,二是加強了橢圓與三角函數(shù)的聯(lián)系.并且通過思考進一步明確三角形一邊過焦點時周長為定值的情況.五、課堂小結 1知識：本節(jié)課學習了橢圓的定義及標準方程, 應注意以下幾點:(1)橢圓的定義中皆為正值,其中是橢圓焦距；(2)要注意特征量的幾何意義,它們確定橢圓的形狀.(3)焦點的位置由橢圓的標準方程中的分母大小或焦點坐標來決定;求橢圓的標準方程之前應先判斷焦點位置以

16、便確定代入哪個方程解題.2思想：曲線與方程的軌跡思想，方程的思想、分類討論的思想、待定系數(shù)法在歸納總結的基礎上，學生完成下表標準方程圖形xyMOxyMO關系焦點坐標焦點位置在軸上在軸上【設計意圖】通過橢圓的教學，加強對學生學習方法的指導，讓學生進一步鞏固所學知識,與前面的學習目標呼應,同時應加強對學生在數(shù)學知識與思想方法的指導.六、布置作業(yè) 必做題:1.寫出適合下列條件的橢圓標準方程（1），焦點在軸上；（2）,焦點在軸上，；（3）2. 若方程表示焦點在軸上的橢圓，求的范圍.3.已知橢圓與橢圓的焦點、相同,且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程.(2)若,求的面積.選做題：1. 已知，是兩個定點，周

17、長為，求頂點的軌跡方程.2.已知為橢圓上一點,橢圓焦點為、,且,若、的等差中項為,求橢圓的標準方程.(注意焦點的位置)3已知橢圓的焦點為、,為橢圓上一點,若的面積的最大值為,求橢圓的標準方程.【設計意圖】通過設計不同層次的作業(yè)一是為了讓學生能夠運用橢圓的定義及標準方程，解決簡單的橢圓問題；二是讓學有余力的學生有所提高,從而達到激發(fā)學生學習興趣和“減負”的目的.七、教后反思 1.本教案的亮點是在教學過程中始終是教師作為引導者，引導學生借助于生活中的實際問題及動手實驗歸納出橢圓的定義,在此基礎上進一步探討橢圓的標準方程,理解的幾何意義及焦點位置的決定因素.在教學中通過例題的講述,變式訓練的加強,作業(yè)的鞏固大部分同學基本上掌握橢圓的定義及求解標準方程等相關問題. 2. 本節(jié)課在設計和