概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)謝壽才版課后習(xí)題答案

1、習(xí)題二 1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求的概率分布列及，. 解: 隨機(jī)變量的分布列為則 ； ； ； . 2. 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為且，試求，和的分布列. 解：由分布函數(shù)的定義可知 又因?yàn)?，則故 ， . 3. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求，. 解: 根據(jù)題意為連續(xù)型隨機(jī)變量，則 ， ， 。 4. 若，其中，試求. 解: . 5. 一只口袋中有5個(gè)球，編號分別為1，2，3，4，5.從中任意取3個(gè)，以表示取出的3個(gè)球中的最大號碼. (1)求的分布列； (2)寫出的分布函數(shù)，并作圖. 解：(1)根據(jù)題意表示取出球中最大的號碼，則其可能取值為3，4，5， 故 其分布列為 ，.即 (2)由分布函數(shù)的

2、定義可知作圖略. 6. 有三個(gè)盒子，第一個(gè)盒子裝有1個(gè)白球、4個(gè)黑球；第二個(gè)盒子裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球；第三個(gè)盒子裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球.現(xiàn)任取一個(gè)盒子，從中任取3個(gè)球,以表示所取到的白球數(shù). (1)試求的概率分布列； (2)取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率為多少？ 解：(1)根據(jù)題意表示所取到的白球數(shù)，則其可能取值為， 故 其分布列為 ，.即(2)根據(jù)題意，所求概率為 . 7. 擲一顆骰子4次，求點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)的次數(shù)的概率分布. 解：以表示骰子點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)6的次數(shù)，則 故 其分布列為 ，.即 8. 一批產(chǎn)品共有100件，其中10件是不合格品.根據(jù)驗(yàn)收規(guī)則，從中任取5件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，假如5件中無不合格

3、品，則這批產(chǎn)品被接受，否則就要重新對這批產(chǎn)品逐個(gè)檢驗(yàn). (1)試求5件中不合格品數(shù)的分布列； (2)需要對這批產(chǎn)品進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)的概率為多少？ 解：(1)以表示件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，則其可能取值為0，1，2，4，5. 故 其分布列為 ，. (2)根據(jù)題意，所求概率為 . 9. 設(shè)某人射擊命中率為0.8，現(xiàn)向一目標(biāo)射擊20次，試寫出目標(biāo)被擊中次數(shù)的分布列. 解：以表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，則 故 其分布列為 ，. 10. 某車間有5臺車床，每臺車床使用電力是間歇的，平均每小時(shí)有10分鐘使用電力.假定每臺車床的工作是相互獨(dú)立的，試求 (1)同一時(shí)刻至少有3臺車床用電的概率； (2)同一時(shí)刻至多有3臺車床

4、用電的概率. 解： 以表示同一時(shí)刻用電車床的臺數(shù)，則 故 其分布列為 ， (1)根據(jù)題意所求概率為 ； (2)根據(jù)題意所求概率為 . 11. 某優(yōu)秀的射擊手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3.試求該射手三次射擊所得的環(huán)數(shù)不少于29環(huán)的概率？ 解：以表示射擊手命中環(huán)10的次數(shù)，則 故 其分布列為 ，.根據(jù)題意所求概率為 . 12. 設(shè)隨機(jī)變量和均服從二項(xiàng)分布，即，.若，試求? 解：根據(jù)題意隨機(jī)變量，則 ，.又因?yàn)?，則 .則 . 故 . 13. 已知一電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求： (1)每分鐘恰有8次呼喚的概率； (2)每分鐘呼喚次數(shù)大于8的概率. 解：以表

5、示交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)，則 故 其分布列為 ， (1)根據(jù)題意所求概率為 ； (2)根據(jù)題意所求概率為 . 14. 某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品，根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄可知，該產(chǎn)品的次品率為0.01，問該種產(chǎn)品300件中次品數(shù)大于5的概率為多少？ 解：以表示300件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則 用參數(shù)為的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為 . 15. 保險(xiǎn)公司在一天內(nèi)承保了5000份同年齡段，為期一年的壽險(xiǎn)保單，在合同有效期內(nèi)若投保人死亡，則公司需賠付3萬元.設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人是否死亡相互獨(dú)立.求該公司對于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率. 解：以表示該年齡段投保人在一年內(nèi)

6、的死亡人數(shù)，則 用參數(shù)為的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為 . 16. 有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)一輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001.在某天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的車輛數(shù)不小于2的概率是多少？ 解：以表示該汽車站每天出事故的車輛數(shù)，則 用參數(shù)為的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為 . 17. 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為，則失敗的概率為 . (1)將試驗(yàn)進(jìn)行到第一次成功為止，求所需試驗(yàn)次數(shù)的分布列. (2)將試驗(yàn)進(jìn)行到第次成功為止，求所需試驗(yàn)次數(shù)的分布列.（此分布被稱為負(fù)二項(xiàng)分布） 解：(1)根據(jù)題意，以表示試驗(yàn)第一次成功為止所需試

7、驗(yàn)次數(shù)，則服從參數(shù)為的幾何分布，其分布列為 ， (2)根據(jù)題意，以表示試驗(yàn)第次成功為止所需試驗(yàn)次數(shù)，則的可能取值為，（即在次伯努利試驗(yàn)中，最后已此一定是成功，而前面次中一定有次是成功的，由二項(xiàng)分布得其概率為，再乘以最后一次成功的概率），則其分布列為 ，. 18.一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.45，求他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃次數(shù)的分布列，并計(jì)算為偶數(shù)的概率. 解：根據(jù)題意，以表示籃球運(yùn)動(dòng)員首次投籃命中的投籃次數(shù)，則其分布列為 ， 故 籃球運(yùn)動(dòng)員首次投籃命中的投籃次數(shù)為偶數(shù)次的情況是互不相容的，即所求概率為 . 19. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為試求. 解：由概率密度函數(shù)的定義可知 . 20. 設(shè)隨機(jī)變

8、量的概率密度為試求： (1)常數(shù); (2)落在區(qū)間內(nèi)的概率. 解：(1)由概率密度函數(shù)的正則性可知 ； (2)根據(jù)題意，所求概率為 . 21. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 試求： (1)常數(shù)； (2)落在區(qū)間內(nèi)的概率； (3)的概率密度. 解：(1)由分布函數(shù)的連續(xù)性可知 ； (2)根據(jù)題意，所求概率為 ； (3)由分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系可知 22. 某加油站每周補(bǔ)給一次油，如果這個(gè)加油站每周的銷售量（單位：千升）為一隨機(jī)變量，其概率密度為試問該加油站的儲(chǔ)油罐需要多大，才能把一周內(nèi)斷油的概率控制在5%以下？ 解：設(shè)該油站的儲(chǔ)油罐容量為升，以表示該加油站每周油品銷售量，則根據(jù)題意 . 23. 在區(qū)

9、間上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)該質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)間中任意小區(qū)間的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正，試求的分布函數(shù)和概率密度. 解：設(shè)的分布函數(shù)為，則 當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭遣豢赡苁录裕?當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭潜厝皇录?，所以?當(dāng)時(shí)，有，其中為比例系數(shù)，由分布函數(shù)的右連續(xù)性可知， 則的分布函數(shù)為 由分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系可得其概率密度函數(shù)為 24. 設(shè)隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，求對進(jìn)行4次獨(dú)立觀測中，至少有3次的觀測值大于5的概率？ 解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量，則其概率密度函數(shù)為 故 對進(jìn)行獨(dú)立觀測中觀測值大于5的概率為 以表示對進(jìn)行獨(dú)立觀測中觀測值大于5的次數(shù)，則 故 所求概率為 . 25. 設(shè)隨機(jī)變

10、量，求方程無實(shí)根的概率和有實(shí)根的概率. 解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量，則其密度函數(shù)為 根據(jù)韋達(dá)定理可得， 當(dāng) 時(shí)，方程無實(shí)根，其概率為 ； 當(dāng) 或時(shí)，方程有實(shí)根，其概率為 . 26. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他便離開，他每月要到銀行5次，以表示他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試求他至少有一次沒有等到服務(wù)而離開的概率. 解：根據(jù)題意，顧客在銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間服從指數(shù)分布，則等候時(shí)間超過10分鐘的概率為 以表示他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，則 故 所求概率為 。 27. 某儀器裝了3個(gè)獨(dú)立工作的同型號電子元件，其壽命（以

11、小時(shí)計(jì)）都服從同一指數(shù)分布試求：此儀器在最初使用的300小時(shí)內(nèi)，至少有一個(gè)該種電子元件損壞的概率. 解：根據(jù)題意，以表示該型號電子元件的壽命，則該型號電子元件壽命小于300小時(shí)的概率為 以表示該型號電子元件損壞數(shù)，則 故 所求概率為 . 28. 設(shè)隨機(jī)變量，求 (1)； (2)； (3) 確定，使得？ 解：由正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化可得 (1) ； (2) ； (3)根據(jù)題意，則 故 。 29. 設(shè)隨機(jī)變量，求 (1) (2) (3)設(shè)為參數(shù)，使得，問最多取為多少？ 解：由正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化可得 (1) ； (2) ； (3)根據(jù)題意，則即 (，)故 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)定義可得 即 參數(shù)最大取為0.145.

12、30. 測量到某一目標(biāo)的距離時(shí)，發(fā)生的隨機(jī)誤差(以m計(jì))具有概率密度 ，試求在三次測量中，至少有一次誤差的絕對值不超過30m的概率. 解：根據(jù)題意，以表示測量中隨機(jī)產(chǎn)生的誤差，由其密度函數(shù)的定義可知，則誤差絕對值超過30m的概率為 ,以表示測量中誤差絕對值超過30m的次數(shù)，則 故 所有概率為. 31. 某單位招聘員工，共有10000人報(bào)考.假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人，現(xiàn)按考試成績從高分到低分一次錄用2500人，試問被錄用者中最低分?jǐn)?shù)是多少？ 解：根據(jù)題意，以表示報(bào)考人的成績分?jǐn)?shù)，則 故 （查表得） （查表得） 由、可得 ，即， 設(shè)錄用者中最低分

13、數(shù)為，則 ， ，(，) 故 32. 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為試求與的分布列. 解：根據(jù)題意可得 故 合并整理得的分布列的分布列 33. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為對獨(dú)立重復(fù)觀察4次，表示觀察值大于的次數(shù)，求分布列. 解：根據(jù)題意，由概率密度函數(shù)定義可知，對進(jìn)行獨(dú)立觀測中觀測值大于的概率為 . 以表示對進(jìn)行4次獨(dú)立觀測中觀測值大于的次數(shù)，則 故 其分布列為 ，.即故 34. 設(shè)隨機(jī)變量，試求以下隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度： (1)； (2)； (3)； (4). 解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量，則其密度函數(shù)為 (1)由，且有，則的密度函數(shù)為 (2)由，且有，則的密度函數(shù)為 (3)由，且有，則的密度函數(shù)為 (4)由，故當(dāng)時(shí)，有，從而 當(dāng)時(shí)，且有，則的密度函數(shù)為 35. 設(shè)隨機(jī)變量，試求以下隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度