極限與連續(xù)修訂

1、第二章 極限與連續(xù) 我們在第一章已經(jīng)介紹，微積分課程研究的對象是函數(shù)，而研究函數(shù)的工具就是極限。極限是微積分學(xué)的基本概念之一，是微積分學(xué)各種概念和計算方法能夠建立和應(yīng)用的基礎(chǔ)，是區(qū)別于高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的顯著標(biāo)志.本章將討論數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義、性質(zhì)及基本計算方法，并在此基礎(chǔ)上介紹與極限概念密切相關(guān)的函數(shù)連續(xù)性的基本知識。§2.1 數(shù)列的極限極限概念是由于社會生產(chǎn)實踐中求某些實際問題的精確解而產(chǎn)生的.早在公元3世紀(jì)，我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽曾提出用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似計算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。設(shè)有一圓，首先作該圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為；再作內(nèi)接正

2、十二邊形，其面積記為；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；，繼續(xù)下去，每次邊數(shù)加倍，第n個內(nèi)接正6邊形的面積記為（）.這樣，就得到一系列正多邊形的面積：，.，.它們構(gòu)成一列有次序的數(shù).當(dāng)n越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓面積的近似值也就越精確.但是無論n取得如何大，只要n取定了，終究只是正多邊形的面積，還不是圓的面積.因此，設(shè)想當(dāng)n無限增大（記為讀作n趨于無窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，在這個過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時也無限趨近于某個確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積.而這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面這一列有次序的數(shù)（即數(shù)列），.，.當(dāng)時的極限.這樣，

3、我們從直觀上得到了數(shù)列極限的概念.定義2.1 以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)按排列的一列數(shù)，稱為一個無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記為.其中稱為數(shù)列的通項或一般項，正整數(shù)稱為數(shù)列的下標(biāo). 數(shù)列的例子： 例21 數(shù)列：1， 例22 數(shù)列：2，例23 數(shù)列：2，0， 例24 數(shù)列：-1，1，-1，1，.例25 數(shù)列 觀察上列數(shù)列會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)下標(biāo)n無限增大時（記為），各數(shù)列取值的變化趨勢大致可以分為兩類：一類是當(dāng)時，無限趨近于某個確定的常數(shù)，如例2.1、例2.3中的無限趨近于數(shù)0(記為),例2.2中的無限趨近于1（）.另一類數(shù)列則無此特點,如例2.4、例2.5中的不趨近于某個確定的常數(shù).一般，設(shè)有數(shù)列和常數(shù)A，若當(dāng)時

4、，無限趨近于常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為 或 （ 如果數(shù)列有極限，則稱是收斂的，否則稱是發(fā)散的.如例2.1、2.2、2.3中的都是收斂的，它們的極限分別為：，而2.4、2.5中的極限不存在，所以它們都是發(fā)散的. 上面幾例，僅僅對數(shù)列的極限作了一些直觀的分析.為了精確表明“無限增大”，“無限接近”的含義，我們對作進一步的分析。直觀上看，隨著n的不斷增大，=與0無限接近程度可以用小于某個正數(shù)來表示.若令要使<，只要n >10時，都能滿足與0的距離小于即對于以后的任意一項，.都能滿足<；如果再取一個更小的正數(shù)，要使<，只要n >100以后的任意項，

5、.都能滿足<；.由此可見，對于=，無論事先任意給定的正數(shù)多么小，在n無限增大的變化過程中，總有那么一個時刻，在那個時刻以后，有<.而存在的那個時刻如何確定？一般，對于任意小的正數(shù)，要使=<，即當(dāng)n>=N（存在的時刻）時，數(shù)列從第N+1項起以后所有項都能滿足<，此時，我們說數(shù)列以0為極限.由此我們可以給出數(shù)列極限的嚴(yán)格分析定義: 定義2.2 設(shè)有數(shù)列和常數(shù)A.如果對于任意給定的>0，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，有不等式<成立，則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于A.記為 或 （ 定義2.2也稱為數(shù)列極限的“N”分析定義.為了表示的方便,引入

6、記號“”表示任意給定的或者對每一個,記號“”表示存在.于是, 數(shù)列極限定義可表達為:>0, 正整數(shù)N,當(dāng)n>N時,有<.對數(shù)列極限分析定義應(yīng)注意以下兩點:(1) 正數(shù)是任意給定的，用來刻劃與A的接近程度,可以理解為它要多小就有多小.另一方面, 一經(jīng)給定,就視為不變的,以便確定N.(2) 正整數(shù)N的存在性用來刻劃總有那么一個時刻(n>N)及以后,使<成立.N與有關(guān),一般說來，越小，相應(yīng)的N就越大,所以N不唯一.數(shù)列極限分析定義的幾何意義.若數(shù)列以常數(shù)A為極限，表示對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使從點開始，其以后的無窮個點，.都落在以A為中心、為半徑的鄰域(A-

7、，A+)內(nèi)，而至多有N個點落在該鄰域之外.如圖2.1. 圖2.1. 數(shù)列極限的分析定義并未提供如何求數(shù)列極限的方法，但利用該定義可以證明某個數(shù)是不是數(shù)列的極限.例26 證明證 對于任意給定的>0，要使<<成立，只要n>即可.所以取N=，則當(dāng)n>N時，即n>，就有<<恒成立，由定義2.2知，.例2.7已知,利用”N”分析定義證明數(shù)列的極限是0.證 對>0, 要使<<,只要n>-1(設(shè)<1),所以,取N=,則當(dāng)n>N時，就有<.利用數(shù)列極限分析定義,可以證明下列兩個數(shù)列極限:(1) (<1)(2) (a

8、>0)上述兩個極限,有必要記住結(jié)論.例如: , 0, , .§2.2 函數(shù)的極限上節(jié)討論了數(shù)列的極限，由于數(shù)列是定義域為正整數(shù)自變量為n的函數(shù) .所以，數(shù)列的極限實質(zhì)是函數(shù)極限的一種特殊情形.本節(jié)將討論函數(shù)的極限，主要研究以下兩種情形：（1） 自變量x的絕對值無限增大即趨于無窮大（）時，對應(yīng)的函數(shù)值的變化情形；（2） 自變量x任意地接近于有限值（）時，對應(yīng)的函數(shù)值的變化情形.一 當(dāng)時，函數(shù)的極限討論函數(shù)，當(dāng)充分大時（即），無限地接近于1，如圖2.2. 圖2.2.也就是說，當(dāng)無限增大時，可以任意地小.即對于任意給定的，要使成立，只要>即可.所以取一正數(shù)M=，只要當(dāng)>M

9、時，就有成立，此時，則稱x趨于無窮大時，以1為極限.定義2.3 設(shè)有函數(shù)和常數(shù)A.如果對于任意給定的>0，總存在正數(shù)M，使得當(dāng)>M時，有不等式<成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時的極限，記為 或 （ 定義2.3也稱為函數(shù)極限的“M”分析定義，簡記為：>0, M,當(dāng)>M 時，有<.的幾何意義:對任意小的,總有一個正數(shù)X,使得當(dāng)>M,即或時,函數(shù)的圖形位于兩條直線和之間，如圖2.3. 圖2.3與數(shù)列極限類似, “M”定義中的描述f(x)與A的接近程度,M刻劃充分大的程度, M隨而確定.例27用分析定義證明極限證 對>0, 要使<,只要>,取M=,

10、則當(dāng)>M 時，就有<.由定義2.3有.如果將定義2.3中>M改為或者,則常數(shù)A就成為函數(shù)當(dāng)或者時的極限，記為,上述極限稱為函數(shù)的左右極限,也可簡記為:>0, M,當(dāng)x>M 時，有<.>0, M,當(dāng)x<-M 時，有<.例如: ,.但是,當(dāng)函數(shù)值不趨向于一個確定的常數(shù),故當(dāng),函數(shù) 的極限不存在.二 當(dāng)時，函數(shù)的極限考慮下列函數(shù)當(dāng)時,函數(shù)的極限:(1) =x+1; (2) 由圖2.4、圖2.5觀察知,當(dāng)x趨近于1時,函數(shù)、的值都無限接近于2,則2分別稱為當(dāng)時、的極限,并記為: ，圖2.4 圖2.5值得注意的是:（1）函數(shù)在處既有定義極限也存在；（

11、2）函數(shù)在處無定義但是極限存在.函數(shù)在某點極限是否存在與函數(shù)在該點有無定義無關(guān).因此，討論函數(shù)在某點極限是否存在，只需討論函數(shù)在該點的空心鄰域內(nèi)變化趨勢.下面，我們進一步對極限作幾何直觀分析. 圖2.6由圖2.6可以看出，當(dāng)且時，無限趨近于4，是指對任意小的>0，在鄰域內(nèi)，有<.這里，關(guān)鍵是找到以為心的某個空心鄰域.由上式知，當(dāng)時，就有，亦即滿足不等式的任意x，都能使不等式成立.由此，我們給出函數(shù)在某點極限的分析定義：定義2.4 設(shè)函數(shù)在點某空心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)x滿足時，有不等式<成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時的極限，記為 或 （

12、 定義2.4也稱為函數(shù)極限的“”定義，簡記為：>0, ,當(dāng) 時，有<.的幾何意義:對任意小的,總有一個正數(shù),當(dāng)x滿足不等式，即在空心鄰域，函數(shù)的圖形位于兩條直線和之間，圖2.7. 圖2.7例2.8用分析定義證明證 對于任意給定的>0，要使成立，只要即可.所以取=，則當(dāng)時，就有恒成立，由定義2.4知，.例29證明證 由于，因此，對于任意給定的>0，可取=，則當(dāng)時，就有，所以，.三 左極限和右極限討論時函數(shù)的極限為A，是當(dāng)自變量不論是從左側(cè)或的右側(cè)趨近于時，函數(shù)都無限趨近于A.但是，有時我們只需考慮僅從的左側(cè)或僅從右側(cè)趨近于.例如，函數(shù)，其定義域為-1，1，但點-1與1的任

13、何鄰域都不能完成包含在定義域內(nèi)，因此，我們僅考察從-1的右側(cè)趨于-1（記為）或者從1的左側(cè)趨于1（記為），由圖2.8觀察有：， 圖2.8上述極限稱為函數(shù)的左極限、右極限.定義2.5 設(shè)函數(shù)在（a，）有定義.如果存在常數(shù)A，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)x滿足時，有不等式<成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時的左極限，記為 或 將定義2.5中（a，）換成（，b）；換成就得到函數(shù)當(dāng)時的右極限定義，記為 或左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.例210討論下列函數(shù)在分段點處的左、右極限.（1） （2） 解（1）由圖2.9觀察知，.（2） 由圖2.10觀察知， 圖2.9 圖2.10根據(jù)時函數(shù)極限定義與左、右

14、極限定義，容易證明下述定理：定理2.1 函數(shù)當(dāng)極限存在的充分必要條件是其左、右極限存在且相等，即.例211討論當(dāng)函數(shù)的極限.解由于， 由定理2.1可得 .本節(jié)我們討論了， ，六種變化過程中函數(shù)的極限.這六種極限，以和為重點.以后，如無特別情況，將用泛指函數(shù)的任何一種極限.§2.3無窮小量與無窮大量一 無窮小量的概念定義2.6 極限為零的變量稱為無窮小量.例如，所以，當(dāng)時，是無窮小量；因為，所以，當(dāng)時，是無窮小量；因為，所以，當(dāng)時，是無窮小量.同理，是當(dāng)時的無窮小量.注意：（1）無窮小量是相對于自變量的某一變化過程而言的.比如當(dāng)時是無窮小量，而當(dāng)時就不是無窮小量了.（2）無窮小量不是很

15、小很小的數(shù)，而是在自變量的某個變化過程中極限為零的變量.（3）數(shù)零是無窮小量，除此以外任何小的數(shù)都不是無窮小量.（4）無窮小量定義包括六種函數(shù)極限形式和數(shù)列極限.因此，無窮小量定義一般表示為：>0, 某個時刻,在該時刻以后，有<.下面的定理說明無窮小量與函數(shù)極限之間存在密切的關(guān)系：定理2.2 其中為該過程中的無窮小量.證 僅對的情形證明.必要性 設(shè)，則對>0，當(dāng)時，總有，即由函數(shù)極限定義知，有，因此，當(dāng)時，為無窮小量.記，則有.充分性 設(shè)，其中為時的無窮小量，即.于是，對>0，當(dāng)時，總有，即.二 無窮小量性質(zhì)性質(zhì)2.1有限個無窮小量的和或差仍為無窮小量.例如時，和都是無

16、窮小量，則當(dāng)時，也是無窮小量.性質(zhì) 2.2有限個無窮小量之積仍為無窮小量.定義2.7 設(shè)函數(shù)在點某空心鄰域內(nèi)有定義.如果存在正數(shù)M和，當(dāng)時，總有不等式<M成立，則稱當(dāng)時為有界變量.同樣可以定義自變量其他變化趨勢的有界變量.值得注意的是，有界變量針對某一過程而言，是一個局部概念，而有界函數(shù)是一個整體概念.如是過程中的有界變量，而當(dāng)時就不是有界變量；由于，所以是有界函數(shù).性質(zhì) 2.3 有界變量與無窮小量之積仍為無窮小量.例212 求極限解 因為 當(dāng)時，有，所以當(dāng)時是有界變量；又當(dāng)時，是無窮小量，由性質(zhì)2.3知，.三 無窮小量的比較無窮小量雖然都是趨于0的變量，但不同的無窮小量趨于0的速度卻不

17、一定相同，它們之間的比值極限也隨之不同.例如 當(dāng)時，都是無窮小量，但是它們趨于0的速度卻不一樣，它們的比值的極限分別為，通過上述無窮小量比值的極限情況，可以比較無窮小量趨于0的速度.由此，我們引入無窮小量階的概念.定義2.8 設(shè)是同一過程中的兩個無窮小量.如果，則稱是比較高階的無窮小量，記作.如果（為常數(shù)），則稱與是同階無窮小量.特別，當(dāng)時，稱與是等價無窮小量，記作.如果，則稱是比較低階的無窮小量.如上面的討論，當(dāng)時，是比較高階的無窮小量，與是同階無窮小量.四 無窮大量討論當(dāng)時，下列函數(shù)變化情況：函數(shù)的絕對值無限增大；函數(shù)恒為正值，且其值無限增大；函數(shù)恒為負(fù)值，且其絕對值無限增大.所以，當(dāng)時，

18、上述三個函數(shù)的極限均不存在，但它們卻具有共同特點，當(dāng)時其函數(shù)的絕對值無限增大，這樣的函數(shù)稱為當(dāng)時的無窮大量.定義2.9 在自變量的某一變化過程中，若函數(shù)的絕對值無限地增大，則稱為無窮大量.記為 或.例如，.注意（1）無窮大量是相對于某一過程而言的.比如，函數(shù)是無窮大量，但時就不是無窮大量了.（2）無窮大量定義對函數(shù)極限的六種形式和數(shù)列極限也適用.例如，.無窮大量與無窮小量之間有著密切的關(guān)系，在同一變化過程中：無窮大量的倒數(shù)是無窮小量；無窮小量（不取0值）的倒數(shù)是無窮大量.即有（1） 若，則；（2） 若（），則.例如 因為，所以有由，有.§2.4極限的性質(zhì)一 極限的性質(zhì)性質(zhì)2.4（唯一

19、性）若極限存在，則極限值唯一.性質(zhì)2.5（有界性）若極限存在，則在該過程中有界.極限性質(zhì)對極限的其它情形均成立.為方便敘述和證明，以下性質(zhì)僅給出當(dāng)?shù)那樾?性質(zhì)2.6（保號性）若，且（或），則在的某空心鄰域內(nèi)恒有，（或）性質(zhì)2.7 若，且在某空心鄰域內(nèi)恒有（或），則（或）.二 極限的四則運算法則我們可以利用極限定義去證明某個常數(shù)是否是某個函數(shù)的極限，而不能用極限定義求出函數(shù)的極限.那么，怎樣求一個函數(shù)的極限呢？下面，我們介紹函數(shù)極限的運算法則，并通過極限運算法則可以求一些函數(shù)的極限.定理 2.3如果=，=則極限和也都存在，且有證 因為=，=，則由定理2.2有（都是無窮小量），于是有由無窮小量的性

20、質(zhì)可知，和都是無窮小量，又由定理2.2有推論2.1若存在，為常數(shù)，則有.即常數(shù)因子可以提到極限符號外面.推論2.2設(shè)，.都存在，為常數(shù)，則有推論2.3設(shè)，為正整數(shù)，則有例如還可以證明，.定理2.4設(shè)=，=，且，則極限也存在，且.下面利用函數(shù)極限運算法則求函數(shù)極限.例213求極限解 由極限運算法則，得=一般 對多項式的極限，有 =例214 求極限 解 因為 所以由極限商的運算法則可得.例215求極限解因為所以不能直接用定理2.4求此分式函數(shù)的極限，但所以，我們可以求出，即當(dāng)時，為無窮小量.因此，由無窮大量與無窮小量的關(guān)系可得.例216求極限解因為此時需要將分式化簡再求極限例217求極限解 由于，

21、而所以例2.18求極限解 將分子、分母同除以，得例2.19求極限解 將分子、分母同除以，得例2.20求極限解 將分子、分母同除以，得總結(jié)例2.18、2.19、2.20的結(jié)果，可以得出以下規(guī)律： ，為常數(shù)且，為非負(fù)整數(shù).例221求極限解例222求極限解 當(dāng)時，和的極限均不存在，因此不能直接用求極限法則，需先將函數(shù)恒等變形，得所以 例223求極限解 當(dāng)時，上式是無限項之和，不能直接用極限運算法則，需將函數(shù)變形后再求極限.§2.5 兩個重要極限本節(jié)介紹判斷函數(shù)極限是否存在的兩個準(zhǔn)則，在此基礎(chǔ)上引入兩個重要極限.一 極限存在準(zhǔn)則及重要極限準(zhǔn)則（夾值定理） 設(shè)函數(shù)、在點的某空心鄰域（內(nèi)滿足條件

22、： （1）， （2.1）（2）.則有.證 由條件 對>0, 總使得當(dāng)時，有即有 （2.2）當(dāng)時，有即有 （2.3）取，于是當(dāng)時，式（2.1）、（2.2）、（2.3）均成立，則有從而有 由極限定義可知.注意 （1）準(zhǔn)則對函數(shù)極限其它情形也成立. （2）數(shù)列夾值定理： 對于數(shù)列、如果滿足條件： （1）， （2）則有.例 2.24 利用準(zhǔn)則求極限 解 對于有 而，由數(shù)列夾值定理，有 =1.作為準(zhǔn)則的一個重要應(yīng)用，下面給出第一個重要極限: 證 因為，所以當(dāng)改變符號時，的值不變，故只需討論由正值趨于的情形就可以了.如圖2.11的單位圓中， 圖2.11設(shè)圓心角 （，過點處的切線與的延長線相交與，又，

23、則，因為的面積<扇型的面積<的面積，所以 即 （2.4）同除以， 從而 又由（2.4）式有于是有因為 ，由夾值定理可得例2.25 求極限 解 上述重要極限簡記為: 例2.26 求極限 解 由于，當(dāng)時， 故.例2.27 求極限解 .例2.28 求極限解 令，則.當(dāng)時，有于是.例2.29 求極限解 由于，所以 .二 極限存在準(zhǔn)則及重要極限 設(shè)有數(shù)列，如果對任意正整數(shù)，有（或），則稱數(shù)列單調(diào)增加（或減少）數(shù)列.如果存在正整數(shù)，使 恒成立，則稱數(shù)列為有界數(shù)列.準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.作為準(zhǔn)則的一個應(yīng)用，我們討論另一個重要極限 首先考慮取正整數(shù)而趨于的情形.設(shè) ，利用牛頓二項公式可以證明

24、數(shù)列單調(diào)增加且有界. 由于類似地 比較和 的展開式可以看出，除前面兩項相等外，從第三項起，的每一項都大于的對應(yīng)項，并且還多出最后一正項.因此即數(shù)列單調(diào)增加，下證是有界的. 因為，如果的展開式各項括號內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替，就得到：即數(shù)列是有界的.根據(jù)極限存在準(zhǔn)則知，數(shù)列極限存在，通常用數(shù)來表示它，即可以證明，當(dāng)取實數(shù)而趨于或時，函數(shù)的極限都存在且等于，因此 （2.5）注意 （1）數(shù)（2）利用代換 ，當(dāng)時，于是（2.5）式又可以寫成 例2.30 求極限解 令，當(dāng)時，于是有.例2.31 求極限解 由于 故例2.32 求極限解 例2.33 求極限解 令，即，當(dāng)時，于是第二個重要極限也簡記為 三 連續(xù)

25、復(fù)利第二個重要極限的一個重要應(yīng)用就是求連續(xù)復(fù)利.設(shè)本金為，年利率為，則一年末結(jié)算時本利和為 二年末的本利和為 .年末的本利和為 如果一年分期計息，年利率仍然為，則每期利率為，于是一年末的本利和為 . 年末的本利和為 如果計息期數(shù)，即每時每刻計算復(fù)利（稱為連續(xù)復(fù)利），則年末的本利和為 .四 等價無窮小量代換求極限利用兩個重要極限求函數(shù)極限，由前面幾例我們知道，當(dāng)時， ， .作為等價無窮小的一個應(yīng)用，下面介紹利用等價無窮小量代換求函數(shù)極限.定理2.5 設(shè)且存在，則證明 定理2.5說明，當(dāng)求兩個無窮小之比的極限時，分子分母都可以用等價無窮小量來代替.如果用來代替的無窮小量選得適當(dāng)?shù)脑挘梢允褂嬎愫喕?/p>

26、.例 2.34 求極限解 由于當(dāng)時，.于是例 2.35 求極限解 當(dāng)時，于是我們還可以證明，當(dāng)時，.注意：利用等價無窮小量代換求函數(shù)極限，只能用于乘除運算，對加、減項的無窮小量不能隨便代換，如例 2.36 求極限解 由于當(dāng)時，所以但是，下面的解法是錯誤的：.§2.6 函數(shù)的連續(xù)性自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動、植物的生長等等，都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性，它是微積分的又一重要的概念.一 變量的改變量設(shè)變量從它的一個初值變到終值，終值與初值的差稱為變量的改變量（或者稱為增量），記為，即 .當(dāng)時，變量增大，改變量是正的；當(dāng)時，變量減少，改變量是負(fù)

27、的.例如，設(shè)有函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從初值變到終值時，其自變量的改變量為；相應(yīng)地函數(shù)從初值變到終值，函數(shù)的改變量.例 2.37 正方形的邊長產(chǎn)生一個的改變量，問其面積改變多少？解 邊長為的正方形面積函數(shù) 當(dāng)邊長產(chǎn)生改變量時，其面積改變量.例如邊長由改變到，此時面積改變因為，所以面積增加了如果邊長由改變到，此時面積改變因為，所以面積減少了二 函數(shù)連續(xù)的概念對于函數(shù)定義域內(nèi)的一點，如果自變量在點處取得極其微小的改變量時，函數(shù)也相應(yīng)產(chǎn)生微小的改變量，且當(dāng)趨于零時，也趨于零，則稱函數(shù)在點處是連續(xù)的，如圖2.12.而對圖2.13中的函數(shù)來說，在點不滿足這個條件，所以，它在點是不連續(xù)的.圖2.

28、12 圖2.13定義2.10 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果 （2.6）則稱函數(shù)在點連續(xù).對于（2.6）式，如果令，則當(dāng)即是.又因為，于是就是.因此，（2.6）式又等價于所以，函數(shù)在點連續(xù)的定義又可以敘述如下：定義2.11 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果 （2.7）則稱函數(shù)在點連續(xù).定義2.11告訴我們，函數(shù)在點連續(xù)需滿足以下三條：（1） 函數(shù)在點有定義；（2） 存在；（3） .由函數(shù)當(dāng)時的極限定義可知，上述定義也可用“”語言表達： 在點連續(xù)當(dāng)時，有.例 2.38 證明函數(shù)在任意點處皆連續(xù).證 任意取定一點，當(dāng)在處產(chǎn)生改變量時，函數(shù)相應(yīng)的改變量為因為所以，函數(shù)在點處連續(xù).由點的任意性可

29、知，在任意點處皆連續(xù).例2.39 證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證 ，由于 =因為，所以即因而 所以，函數(shù)在點處連續(xù).由點的任意性可知，在內(nèi)連續(xù).同理可證在內(nèi)連續(xù).如果只考慮單側(cè)極限，則當(dāng)時，稱函數(shù)在點處左連續(xù).當(dāng)時，稱函數(shù)在點處右連續(xù).顯然，函數(shù)在點連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點既左連續(xù)又右連續(xù).如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)則稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù).如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)且在左端點處右連續(xù)，右端點處左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉上連續(xù).三 函數(shù)的間斷點定義2.12如果函數(shù)在點處不滿足連續(xù)條件，則稱函數(shù)在點處不連續(xù)，或者稱函數(shù)在點處間斷.點稱為間斷點.顯然，如果在點處有下列三種情況之一，則點為間斷點（或者不連續(xù)點）：（

30、1） 在點處無定義；（2） 有定義，但是不存在；（3） 有定義且存在，但是.例 2.40 討論下列函數(shù)在指定點處是否連續(xù)：（1）正切函數(shù)在 處.解：由于 在 處無定義，所以在點處間斷. 因，我們稱為函數(shù)的無窮間斷點，圖2.14.（2）正弦函數(shù)在 處.解：正弦函數(shù) 在 處無定義，正弦函數(shù) 在 處間斷. 因時，函數(shù)值在-1與+1之間無限次振蕩，所以點稱為的振蕩間斷點，圖2.15.圖2.14 圖2.15 （3）函數(shù)在處.解：函數(shù) 在 處無定義，所以 在 處不連續(xù). 但由于，所以，可以補充定義：令，則函數(shù) 在處就連續(xù)，所以點稱為該函數(shù)的可去間斷點，圖2.16.此時函數(shù)成為 （4）函數(shù)在處.解：在處有定

31、義，但是： 即在處左右極限存在但不相等，故極限不存在，所以在處不連續(xù).由于的圖形在處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象（圖2.17），我們也稱為函數(shù)的跳躍間斷點.圖2.16 圖2.17上面幾例說明函數(shù)的間斷點有不同類型.一般，我們把函數(shù)的間斷點分為兩類： 如果點是函數(shù)的間斷點，且在左右極限皆存在，則稱為的第一類間斷點；如果在左右極限至少有一個不存在，則稱為的第二類間斷點.在第一類間斷點中，左右極限相等則稱為可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點.無窮間斷點和振蕩間斷點屬于第二類間斷點.例 2.41設(shè) 求函數(shù)的間斷點，并判斷其類型.解 因為 函數(shù)在處無定義且所以點是函數(shù)的第二類間斷點，且為無窮間斷點. 在處函數(shù)有定義，且

32、，但， ，所以，為的第一類間斷點，且為跳躍間斷點.在處，無定義，所以是的間斷點.但，故是的第一類間斷點且為可去間斷點，圖2.18. 圖2.18四 連續(xù)函數(shù)的運算法則由于函數(shù)的連續(xù)性是以極限理論為基礎(chǔ)，因此利用函數(shù)極限的性質(zhì)可以證明連續(xù)函數(shù)的四則運算法則.定理2.6 如果函數(shù)與在點處連續(xù)，則 ，在點處也連續(xù).下面我們僅證在點連續(xù)，其他情形類似證明.證 因為與在點處連續(xù)，所以有 及 由極限運算法則有，所以，在點處連續(xù).如函數(shù)，因，都在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，由定理2.6知，和函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，可以證明如下結(jié)論：（1） 多項式函數(shù)在內(nèi)連續(xù)；（2） 分式函數(shù)除分母為0的點不連續(xù)外，在其

33、他點處都連續(xù)；（3） 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)；（4） 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).由函數(shù)在點處連續(xù)的定義有：，即如果已知在點連續(xù)，那么求當(dāng)?shù)臉O限時，只需求在點的函數(shù)值就行了.因此，初等函數(shù)的連續(xù)性為我們提供了一個求函數(shù)極限的有效方法.例如，點是初等函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)的點，所以；點是初等函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)的點，所以.例2.42求下列函數(shù)極限（1）解：為初等函數(shù)，為定義域內(nèi)的點，所以 （2）解： （3）解 令，則，當(dāng)時，于是 .（4）解 所以 .五 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)在本小節(jié)我們將不加證明地給出閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的兩個重要性質(zhì)：最值定理與介值定理.定義 2.13 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若存在

34、，使得對內(nèi)的一切恒有 ，或則稱是在上最大值或最小值.最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.定理 2.7（最值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必取得最大值與最小值.即在上至少存在兩點使對任意的恒有 .由上式可得推論2.4 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是有界函數(shù). 定理 2.8 （介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上的最大值為最小值為.則對任何實數(shù)，至少存在一點，使得 .最值定理和介值定理的幾何意義，如圖2.19所示.圖2.19 圖2.20 推論2.6（零值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則至少存在一點，使得 . 零值定理的幾何意義，如圖2.20所示.圖中共有三個點滿足：注意：（1）最值定理和介值定理及其推論中

35、的條件“在閉區(qū)間上連續(xù)”是重要要的，即區(qū)間要求為閉區(qū)間，函數(shù)要求連續(xù)，如果有一方面不滿足，結(jié)論不一定成立.如下幾例：（）函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，函數(shù)在閉區(qū)間上雖然有界，但是既無最大值又無最小值，圖2.21；（）函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，但它在開區(qū)間內(nèi)是無界的，且既無最大值也無最小值；圖2.21（2）零值定理常用于證明方程實根的存在性.例 2.43 證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根.證 設(shè)函數(shù)，由于在閉區(qū)間上連續(xù)，又，.根據(jù)零值定理，在內(nèi)至少有一點，使得.即 因此，方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根.習(xí) 題 二（A）1.寫出下列數(shù)列的前五項:(1) (2) (3) (4) .2寫出下列數(shù)列的一般項，并觀察判斷其

36、中收斂數(shù)列的極限值：（1）1， （2）， （3） （4） 3極限思想的萌芽在我國古代很早就有記載，公元前三世紀(jì)戰(zhàn)國時代的思想家莊子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.試把一尺長的木棍“日取其半”，將每日剩余部分用數(shù)列表示，并考察這個數(shù)列的極限值.4利用“”定義證明下列極限：（1） （2）（3） （4）5、利用函數(shù)極限定義證明下列極限：（1） （2）（3） （4）（5）6下列函數(shù)在什么情況下是無窮小量，什么情況下是無窮大量？（1）（2）（3）（4） （5）（6）7、當(dāng)時，下列數(shù)列是否為為窮小量？（1） （2）（3） （4） 8、求下列各極限（1） （2） （3） （4） （5） （6

37、） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） （25） （26） 9、討論下列函數(shù)在給定點處的極限是否存在？如果存在，求其極限值.（1） 在和處；（2） 在和處；10、若求的值. 11、若求的值. 12、若求的值. 13、求下列極限（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 14、求下列極限（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 15、求下列極限（1） （2） （3） （4） 16設(shè)，求17設(shè)，用夾值定理求18求下列極限：（1）

38、 （2） （3） （4） （5） （6） （7） 19、判定下列函數(shù)在定義域上是否連續(xù)（說明理由）：（1） （2）20、求下列函數(shù)的間斷點，并判斷其類型.如果是可去間斷點，補充其定義使之連續(xù).（1） （2） （3） （4） ， （5） ， （6） （7） （8） 21、討論下列函數(shù)在分段點處的連續(xù)性：（1） （2） （3） （4） 22、常數(shù)取何值下列函數(shù)在分段點處連續(xù)？ 23、求常數(shù)、使下列函數(shù)在分段點處連續(xù). 24、證明方程在1與2之間至少存在一個實根.25、證明曲線在與之間至少與軸有一個交點.（B）一、 填空1、= .2、= .3、= .4、 .5、 . 6、 7、= .8、設(shè)存在，且，

39、則= .9、設(shè)= ，則k= . 10、設(shè)，則= ,= .11、已知，則 . 12、設(shè)在處連續(xù)，則 ， . 13、點是函數(shù)的 間斷點. 14、如果函數(shù)在其定義域上連續(xù)，則= .15、函數(shù)的間斷點為 ，其中可去間斷點為 ，補充定義 使其連續(xù).二、單項選擇題1、下列數(shù)列中收斂的是（ ）.A BC D2、函數(shù)在點有定義是它在該點有極限的（ ）A、充分條件 B、必要條件 C、充要條件 D、無關(guān)條件3、當(dāng)時下列變量中與是等階無窮小量的是（ ）.A B C D4、設(shè)，則當(dāng)時與比是（ ）.A等階無窮小 B同階但非等價無窮小C更高階無窮小 D較低階無窮小5、函數(shù)在（ ）過程中為無窮大量.A、 B、 C、 D、6

40、、下列命題正確的是（ ）.A、無限多個無窮小之和仍是無窮小. B、兩個無窮大的和仍是無窮大C、無窮大與有界變量（但不是無窮?。┑某朔e一定是無窮大.D、兩個無窮大的積仍是無窮大.7、下列各式中正確的是（ ）.A BC D8、下列極限存在的是（ ）.A、 B、 C、 D、9、如果，則（ ）.A、 B、 C、 D、10、若，則（ ）.A、 B、 C、 D、11、設(shè)對任意的，總有，且，則（ ）.A存在且等于0 B存在但不一定為0C一定不存在 D不一定存在12、若與均存在，則（ ）.A、存在且等于B、存在但不一定等于C、不一定存在D、必不存在13、已知，則=0是函數(shù)的（ ）.A、無窮間斷點 B、跳躍間斷點 C、可去間斷點 D、其它類型間14、函數(shù)在下列（ ）區(qū)間上有界.A、（-1，0） B、 C、 D、（2，3）15、對于函數(shù) ，下列結(jié)論中不正確的是（ ）.A、是連續(xù)函數(shù) B、是有界函數(shù)C、是有最大值和最小值 D、有最大值無最小值第二章 極限與連續(xù) 小結(jié) 通過本章學(xué)習(xí)，要求學(xué)習(xí)者重點對函數(shù)極限、函數(shù)在一點連續(xù)的概念理解、掌握；熟練掌握函數(shù)極限的運算、兩個重要極限、函數(shù)間斷點的判斷和分類；了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。一、極限