123角的平分線的性質(zhì)1

1、復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問1 1、角平分線的概念、角平分線的概念oBCA12復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問 2 2、點(diǎn)到直線距離、點(diǎn)到直線距離: :從直線外一點(diǎn)從直線外一點(diǎn)到這條直線的到這條直線的垂線段垂線段的的長度長度，叫做叫做點(diǎn)到直線的距離。點(diǎn)到直線的距離。OPAB我的我的長度長度ABO尺規(guī)作角的平分線尺規(guī)作角的平分線畫法：畫法：以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于，長為半徑作弧，交于，交于交于分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 1/2 的長的長為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于作射線作射線射線即為所求射線即為所求為什么為什么OCOC是角平分線呢？是角平分線呢？ O O想一想：想一想

2、：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求證：求證：OCOC平分平分AOBAOB。證明證明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB練習(xí)練習(xí)1 1：平分平角：平分平角AOBAOB。歸納：歸納：“過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線”的方法。的方法。ABOCD1 1、在準(zhǔn)備好的角上標(biāo)好字母；、在準(zhǔn)備好的角上標(biāo)好字母；A,O,B, A,O,B, 。把角。把角AOBAOB對折，

3、使得這個角的兩邊重合。對折，使得這個角的兩邊重合。2 2、在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)、在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)P P。作。作PDPD垂直與垂直與OAOA，垂足為，垂足為DD。3 3、過點(diǎn)、過點(diǎn)P P作作OBOB邊的垂線邊的垂線PEPE，垂足為，垂足為E E。做一做做一做問：點(diǎn)問：點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)E重合嗎？由此你可得到重合嗎？由此你可得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？ 按照做一做做一做的順序畫AOB的折痕OC ,過點(diǎn)P的垂線段PD、PE ，并度量所畫PD、PE是否等長？議一議：由此你可得到什么猜想？議一議：由此你可得到什么猜想？畫一畫畫一畫同學(xué)甲、乙誰的畫法是正確的?角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的角平分

4、線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等距離相等 議一議：由做一做和畫一畫你可得到什議一議：由做一做和畫一畫你可得到什么猜想？么猜想？寶坪初中數(shù)學(xué)備課組寶坪初中數(shù)學(xué)備課組驗(yàn)證 結(jié)論已知已知: :如圖如圖,OC,OC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E.D,E.求證求證:PD=PE.:PD=PE.而OPDOPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS). 故結(jié)論可證.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的OPDOPE，w角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到這個

5、角的兩邊距離相等. .OCB1A2PDE證明：證明：PDOAPDOA，PEOBPEOB（已知），（已知），PDO=PEOPDO=PEO9090（垂直的定義）（垂直的定義）在在PDOPDO和和PEOPEO中，中， PDO=PEO(PDO=PEO(已證已證),), AOC= BOC( AOC= BOC(已知已知),), OP=OP( OP=OP(公共邊公共邊),),PDOPDOPEO PEO （AASAAS）PD=PEPD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等）ADOPCEB能否用符號語言來翻譯能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的兩邊的距離

6、相等”這句話請?zhí)钕卤恚哼@句話請?zhí)钕卤恚篜D=PEOC平分平分AOB，PDOA, PEOB, D、E為為垂足垂足用數(shù)學(xué)語言表示為： PDOA,PEOB,點(diǎn)P在AOB的平分線上 PDPE推理的理由有推理的理由有三個三個，必須寫完全，不能必須寫完全，不能少了任何一個。少了任何一個。角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)BADOPEC定理應(yīng)用所具備的定理應(yīng)用所具備的條件條件： （1 1）角的平分線；）角的平分線；（2 2）點(diǎn)在該平分線上；）點(diǎn)在該平分線上； （3 3）垂直距離。）垂直距離。定理的作用：定理的作用： 證明線段相等。證明線段相等。 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的

7、平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等如圖，如圖， OCOC是是AOBAOB的平分線，的平分線， 又又 _PD=PE ( PD=PE ( ) )PDOA

8、，PEOBBOACDPE 角的平分線上的點(diǎn)角的平分線上的點(diǎn) 到角的兩邊的距離相等到角的兩邊的距離相等 在在ABC中，中， C=90 ，AD為為BAC的平分線，的平分線，DEAB，BC7，DE3.求求BD的長。的長。EDCBA1 . 1 . 如圖，如圖，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分別是分別是E E，F(xiàn) F， DE =DFDE =DF， EDB= EDB= 6060，則，則 EBF=EBF= 度，度，BE=BE= 。ABCDCEF60BF2 2 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么線段，那么線

9、段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分線角的平分線6cm6cm1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分線，是角平分線，DEABDEAB，垂足為垂足為E E，DEDE與與DCDC相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ ABCDE 2 2 、 如 圖、 如 圖 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 線的 平 分 線 , , 點(diǎn)點(diǎn) P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,則則PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知識應(yīng)用知識應(yīng)用3.已知已知ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求點(diǎn)求點(diǎn)D到到AB的距離是多少？的距離是多少？ABCDE你會嗎？你會嗎？B 思考：思考：如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點(diǎn)一點(diǎn),問問PE=PD?為什么為什么?OAEDCPPD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角它們不是角平分線上任一點(diǎn)到這個角兩邊的距離平分線上任一點(diǎn)到這個角兩邊的距離,所以不一定相等所以不一定相等知識拓展知識拓展 如圖，在如圖，在ABC中，中，AC=BC，C=90，AD是是AB