數(shù)學分析第2章ppt課件

1、數(shù)學分析電子教案數(shù)學分析電子教案重慶郵電大學數(shù)理學院重慶郵電大學數(shù)理學院高等數(shù)學教學部高等數(shù)學教學部沈世云沈世云62460842一、連續(xù)的定義一、連續(xù)的定義二、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與運算二、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與運算三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、間斷點及其分類四、間斷點及其分類五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)六、函數(shù)的整體連續(xù)性六、函數(shù)的整體連續(xù)性 一致連續(xù)一致連續(xù)1.函數(shù)在一點的連續(xù)性函數(shù)在一點的連續(xù)性函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設函數(shù)設函數(shù)xxxxxUxx

2、Uxf .)(),()(0的的增增量量相相應應于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 一、連續(xù)的定義一、連續(xù)的定義連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當自變量的增量果當自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函對應的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點的連續(xù)點. .,0 x

3、xx 設設),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定義定義 2 2 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限存在時的極限存在, ,且等于它在且等于它在點點0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù). .:定義定義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時時使使當當0lim( )xxf x0()f x在x0有定義1.在x0附近定義;2.極限存在 左右極限存在并相等2. 單側連續(xù)單側

4、連續(xù)例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解00lim( )lim(2)2(0),xxf xxf 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,00lim( )lim(2)2(0),xxf xxf 3.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點并且在左端點內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如

5、果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)的的有有理理函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當當對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy例例4 證明證明 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在),( xay證證只須證明只須

6、證明，有有對對),(0 x00limxxxxaa limlim0000 xxxxxaay 1lim00 xxxaa )1(lim00 xxxaa 0 處處連連續(xù)續(xù)在在故故),(0 xayx二、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與運算二、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與運算1. 局部有界性局部有界性2. 局部保號性局部保號性4. 不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)3. 局部保序性局部保序性5、反函數(shù)連續(xù)性定理、反函數(shù)連續(xù)性定理嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有同嚴格單調(diào)的嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有同嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)連續(xù)反函數(shù)7. 復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性 6. 四則運算性質(zhì)定理定理).(lim)()(lim,)(),(,)(lim000 xgfafxg

7、faufxguaxgxxxxxx則有連續(xù)在點函數(shù)若證證,)(連連續(xù)續(xù)在在點點auuf .)()(, 0, 0成成立立恒恒有有時時使使當當 afufau,)(lim0axgxx又,0, 0, 00時時使使當當對對于于 xx.)(成立恒有auaxg將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時時使使當當 xx)()()()(afxgfafuf.成立成立 )()(lim0afxgfxx).(lim0 xgxx意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的理論依據(jù)變量代換xgu 例例4 4.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式

8、式)1(limln10 xxx eln 解解例例5 5.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初

9、等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0

10、點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法初等函數(shù)求極限的方法代入法.例例6 6. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例7 7.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx四、間斷點及其分類四、間斷點及其分類1. 概念概念1) 跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但存存在

11、在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf 例例8 8.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy2. 分類分類2) 可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例9 9.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xx

12、xxxxxfoxy1121yx 2yx 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點. .如例如例9中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點特點.0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點函數(shù)在點 xoxy1123) 第二類間斷

13、點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例1010.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例1111.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解1sinyx ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點點 x

14、例例12 討論討論的的連連續(xù)續(xù)性性xxxxfnnn 2211lim)(若有間斷點判別其類型，并作出圖形若有間斷點判別其類型，并作出圖形解解)1|(|0lim qqnn由于由于則則若若故故1| xnnnxxxxf2211lim)( x 則則若若1| xnnnxxxxf2211lim)( 1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 則則若若1| x0)( xf 1|1|01|)(xxxxxxf外外連連續(xù)續(xù)除除去去1)( xxf時時當當1 x1)01(, 1)01( ff1)01(, 1)01( ff躍間斷點）躍間斷點）都是第一類間斷點（跳都是第一類間斷點（跳1 x , 0, 1)(是是無無理理數(shù)數(shù)

15、時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點斷點.o1x2x3xyx yfx , 1, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxf在定義域在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處但其絕對值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:例例1313.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(

16、af ),0()00()00(fff 要要使使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間對于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)五、閉

17、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1. 最值性定理最值性定理定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo( )yf x ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意:1.:1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, , 定理不一定理不一定成立定成立. .xyo( )yf x 211xyo2 ( )yf x 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間

18、上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設函函數(shù)數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則則有有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf定義定義.)(, 0)(000的的零零點點稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf 2. 介值性定理介值性定理ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:=( ),.yf xxx連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧的的兩兩個個端端點點位位于于 軸軸的的不不同同側側 則則曲曲線線弧弧與與 軸軸至至少少有有一一個個交

19、交點點xyo( )yf x 幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo( )yf x 證證,)()(Cxfx 設設,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最大值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1414.)1 , 0(01423至至少少有

20、有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xxMm例例1515.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF

21、)()(, 0 .)( f即即例例16 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設設證證則則記記)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的的定定義義域域即即上上連連續(xù)續(xù)在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff 若若即為所求即為所求則則0 )()0(aff 若若0)()0( aFF則則由零點定理知由零點定理知0)(), 0( Fa 使使)()(aff 即即總之總之)()(), 0affa 使使注注方程方程f(x)=0的根的根函數(shù)函數(shù)f(x)的零點的零點有關閉區(qū)間

22、上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法有關閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，間接法輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)， 再利用零點定理再利用零點定理輔助函數(shù)的作法輔助函數(shù)的作法（1將結論中的將結論中的(或或x0或或c)改寫成改寫成x（2移項使右邊為移項使右邊為0，令左邊的式子為，令左邊的式子為F(x)則則F(x)即為所求即為所求連連續(xù)續(xù)在在Ixxfy 0)(, 0),(, 00 x )()(0 xfxf恒恒有有1. 由函數(shù)連續(xù)性的差異談起由函數(shù)連續(xù)性的差異談起l 函數(shù)的連續(xù)性是逐點定義的：函數(shù)的連續(xù)性是

23、逐點定義的：l 函數(shù)在不同點連續(xù)性的差異見圖示函數(shù)在不同點連續(xù)性的差異見圖示六、函數(shù)的一致連續(xù)性2),(0 xUx 使使得得oxy 22)(xfyx1x)(xf)(1xfx1x如圖，給定后當 ，附近在點 x，函數(shù)圖象變化比較 “慢” ，較大對應的 ；附近在點 1x，函數(shù)圖象變化比較 “快” ，較小對應的 。 連續(xù)在區(qū)間設 )( Ixf，給定后當 ，x 相應于無窮多個， 0 x有無窮多個，在這x 無窮多個中是否存在一個 0 通用的，Ix 對于，時只要當 xx，就有 )()(xfxf呢？ 2. 函數(shù)的一致連續(xù)性函數(shù)的一致連續(xù)性定義：定義：(一致連續(xù)性一致連續(xù)性 uniform continuity

24、 )上上一一致致連連續(xù)續(xù)在在Ixfy)( Ixx 21,0,0使使得得 時時當當 21xx )()(21xfxf恒恒有有4l 用肯定語氣敘述在用肯定語氣敘述在 I 上非一致連續(xù)上非一致連續(xù)Ixxnn ,)2()1(nnnxx )2()1(使使當當0)2()1()()( nnxfxf有有,00 ,0 n 例例17 證明證明 上一致連續(xù)上一致連續(xù). ),(sin 在在xy5有有當當,21 xx2sin221xx 21sinsinxx 2cos2sin22121xxxx 21xx 2221xx 證證, 0, 0 6),(,21 xx)(sin ，xy因而因而 在在 上一致連續(xù)上一致連續(xù). ),(,2

25、 aaxy在在任任意意,)0(上上一一致致連連續(xù)續(xù) a例例18 證明證明證證(1), 0, 0 2221xx 恒有恒有,21 xx當當,21aaxx )(2121xxxx 2121xxxx 7但在但在 上非一致連續(xù)上非一致連續(xù). .)( ，|2 a 212xxa |2|2aa證證(2), 0310 兩點列滿足：兩點列滿足：),( ,)2( nnxn),(1)1( nnxn取取8這說明這說明 在在 上一致連續(xù)上一致連續(xù).)0(,2 aaaxy)(2 ，在在xy非一致連續(xù)非一致連續(xù).但是但是2)2(2)1()()(nnxx nn 1nn 11),( ,0 n031 11 nn9)()()2()1(

26、nnxx ),(2 在在xy即即上不一致連續(xù)上不一致連續(xù).是函數(shù)全局、整體性質(zhì)。是函數(shù)全局、整體性質(zhì)。l函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)性的差異函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)性的差異l 與聯(lián)系與聯(lián)系: :連續(xù)是逐點定義的連續(xù)是逐點定義的,因而是函數(shù)的局部因而是函數(shù)的局部一致連續(xù)一致連續(xù)(如例如例4), 但反之不對但反之不對. (如例如例18) f 在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù)性質(zhì)性質(zhì),它在它在 I 內(nèi)閉內(nèi)閉10而一致連續(xù)是對整個區(qū)間而一致連續(xù)是對整個區(qū)間 I 而言，而言，然而閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致然而閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致 連續(xù)的。（見下述定理）連續(xù)的。（見下述定理）3.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致

27、連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性上有界上有界 在有限區(qū)間在有限區(qū)間 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù),f它在它在 I11證證明明： （1）0， 1 , ,21axx，要使 212212121111xxaxxxxxx成立，只要221axx，取2a，于是 0，02a， 1 , ,21axx，當21xx時， 有2111xx，（2）在 1 , 0(上非一致連續(xù)。 （2）021，0（1n） ， 當2211) 1(1111nnnnnxx（1n）時，有211) 1(1121nnxx， 故xxf1)(在上 1 , 0(非一致連續(xù)。 思考題思考題假設有一個登山者頭天上午假設有一個登山者頭天上午8點從山腳開始上點從山腳

28、開始上山，晚上山，晚上6點到達山頂，第二天上午點到達山頂，第二天上午8點從山頂點從山頂沿原路下山，下午沿原路下山，下午6點到達山腳。問該登山者點到達山腳。問該登山者在上、下山過程中，會同時經(jīng)過同一地點嗎？在上、下山過程中，會同時經(jīng)過同一地點嗎？為什么？為什么？思考題解答思考題解答會會.結論。結論。亦即證明亦即證明），使），使，（存在一點存在一點由零點定理知由零點定理知且且上連續(xù)，上連續(xù)，在在則則設設上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在、則則數(shù)為數(shù)為，第二天登山的高度函，第二天登山的高度函為為函數(shù)函數(shù)登山者頭天登山的高度登山者頭天登山的高度不妨設山高為不妨設山高為. 0)(188. 0)18(, 0)8(1

29、88)(),()()(. 0)18(,)8(;)18(, 0)8(18, 8)()().()(,2122112121 fhfhfxfxfxfxffhfhffxfxfxfxfh極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.xxx3lim20 xxxsinlim0觀察各極限觀察各極限2201sinlimxxxxxx1sinlim0 型）型）（00不可比不可比.不存在不存在.第四節(jié)第四節(jié) 無窮小量與無窮大量的階無窮小量與無窮大量的階.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx x2比比3x要快得多要快得多;sinx和和x大致相同大致相同;,0l

30、imCk定義定義1.,0lim假設則稱 是比 高階的無窮小,)(o,lim假設假設假設, 1lim假設,0limC或,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階的無窮小;則稱 是 的同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階無窮小;則稱 是 的等價無窮小,記作例如例如 , 當當)(o0 x時3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時xcos1是關于 x 的二階無窮小,xcos1221x且例例1. 證明證明: 當當0 x時,11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時當 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb定理定理1.)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時x,sinxx,tanxx故,0 時x, )(sinxoxx)(tanxoxx定理定理2 . 設設,且lim存在 , 那么lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052利用等價代換可簡化