測(cè)度與概率(嚴(yán)士健劉秀芳)第八章答案

1、第1題證明：任取£ > 0,因?yàn)榈峨憥譜 8,所以日no e Z,使得Vn > m, 4 < e.下面證 V n > n0?有U爲(wèi) Wn+皿) >ec unJ(A+1,A) > 6k (1).任取 3 Ui</(/+, A) > £,則存在 V > 1,使得 d(/n+v,/n) > £.若" 禺> 4,則 3 e ngum+bAX 幾,即 d(fk+iifk) < 4, v >n-則 d(fn+v,fn) < 刀蔦一口(幾+1,幾)< Er1 < H <

2、; £,得到矛盾. 于是 3 e U£nd(A+i,/fc) > <M，即(1)得證.所以v n > no,M(UlWn+.,/n)>e)< M(U2in(A+l>/fc) 3 <M)oc< K“(d(Zt+l，人)> 4).k=n因?yàn)樯鲜接叶水?dāng)71 T OC時(shí)，收斂到0.故而“(U髭d(幾+u ,九)> £) T 0.因?yàn)?/n, n N a.e.相互收斂，則存在 N 6 Q, s.t. “(N) = 0. Vw Nc, /n(W)nN是E中基本列.如果(E,d)完備.則limnToe/n(3)存在，記

3、畑)：= lim“->oo 人(3),則 fn T f a.e.第3題證明:由于X有限，則limTO_ooP(|X|>n) = 0.于是Vs > 0,存在N > 0,S.t.P(|X|M) V£/4.(1)因Xn芳X,則P(C迄1 U忍 |X“-X|>1) V£/4,于是存在 N2 > o, s.t. P(ULN2Xn -X>1)< £/4,所以可得P(U筆N2Xn| > 1 + M)< P(U JV2|Xn| > 1 + M, |X| < M) + PN2Xn > 1 + M, |X|

4、 > NJ< P(u詮mIX“ - X| > 1) + P(X > M) V £/2.對(duì) T- V A- < iV2,存在 W S.t. P(Xk > Mk) < 為.于是，若取 Af(e):= maxM + 1, Mi,Mjv2,則P(SUP|Xn| < Af(e) = P(n xflXnl < M(e)=1 P(U詮i|XS "(£)N2> 1 - 刀卩(氐| > A/(e) - P(ULN2Xn < W) fc=l2 1 -爲(wèi) XN2-£/2=l£第5題反例:取 Q

5、= (0,8), T = 3(0,oo), p 為(0,oo)上的Lebesgue 測(cè)度. fn(x) = (% + g)2, f(x) = a:2,則 fn(x)->f(x) a.s.取 <5 = 1, V J7, s.t. “(4f) < 1.則“(令)=8所以1 2xsup d(fn(x)J(x) = sup (-2 + ) = oo.x£Asn n習(xí)題8.21.如果 X” X,YnY,那么 XnYn 4 XV.證明：因?yàn)閄n 4 x和匕厶r,所以x, y兒乎處處有限.于是對(duì)于任意 的 7/ > 0,存在 Ml > 0 使得 P(X > A/

6、1) < n 和 P(Y > Ml) < ?/.于是對(duì)于任 意的 M2 > Ml, £ > 0,P(XnYn - XY > e)< -K|>|) + P(Xn - X|y| > |)< 糾蠢)+ HIXnl > A/2)+ P(Xn 一 XI擊)+ P(|/| > Ml)< P(Yn - Y| > 蟲)+ P(Xn > M2, |X| > Ml) + P(Xn-X> M2 - Ml) +P(|X X|>) + P(Y|>Mi)£ £<2；/ +

7、P(Yn - Y > 班)+ P(Xn -X> M2 - MJ + P(Xn -X|>). 因?yàn)閄n 4 X和耳4 y,所以上式兩端令72TOO,可得IH兀TOO P(XnYtl-> £)< 2m 由 T)的任意性,可得 limwooPQXn耳 一 XY >£) = 0,即 XnYn 4 XY 得證.習(xí)題8.2 2.證嘰因?yàn)閒(x) 一致連續(xù)，所以對(duì)丁任意的£ > 0,存在8 > 0,使得 對(duì)于任意的切，當(dāng)血一叼| V 6時(shí)，|/(xi) - f(x2) V £所以/(“) ->ec |Xn(Q -

8、X(3)| > 6.因?yàn)閄“ 4 X,所以當(dāng)“too時(shí)，上式右端收斂到0.所以limn_>oo|/(Xrl)- /(X(s)| > £ = 0.即/(Xn(w) 4 f(X). 乂因?yàn)閒是有界函數(shù)，所以由推論 8.2.6 有 Ef(Xn)Ef(X).3.證明:因?yàn)閄nlX.所以0<Xi-Xnt于是由單調(diào)收斂定理lilgTOoE(Xi- Xn) = E(X1 - X),因?yàn)?X1 可積，所以 EX 有限，丁是 lininoo E(Xn) = E(X).注：?jiǎn)问菍?duì)丁本題的結(jié)論，條件illfn EXn > -oo多余，當(dāng)然耍用控制收斂 定理來(lái)證明本題的話需耍.

9、§8.3證明HOklcr不等式和Minkowski不等式. 證明H6klcr不等式.+1-p， o >- g p9 o >- 6a V先證HJYounger不等式:ab S芳+罟, 因?yàn)閒(x) =是凸函數(shù)，所以lna+1 lnbIna+ -eb =qab一 + P(l3即得a眾+ 用心取代上面的a,6即得所證. 下面我們來(lái)證H61deT不等式.由Younger不等式,EXpp EY兩邊取期電可得一豈空_r < t Holder不等式得證. EXppEY (2)證明Minkowski不尊r = 1時(shí)顯然.r > 1 時(shí)，EX + Yr < EX + YT

10、-i|X| + EX + 丫廠1廳|< EX + YrEXr7 + EX + YrEYri< EX + Yr(EXr + EYr所以EX + Yri < EXr7 + EYrk習(xí)題第2題證明定理8.3.18中(2) => (1).先證明:|a + 6|r <(2r-1Vl)(|ar-F|6|r) (*).當(dāng)0 V r V 1時(shí)，考查函數(shù)E + (l_0)r,它在0,1上的最小值在“ = 0,1 處取得，即是xr + (l-x)r>l.用懸代替上而式子中的«,可得(*)當(dāng)r > 1時(shí)，函數(shù)xr是凸函數(shù)，所以扣+款1-叩> (；a+敖l-a

11、)=(|)r, 用鵝代替上面式子中的a,可得(*).因?yàn)?EXr < (2-1 V l(EXn - Xr + EXnr) V oo因?yàn)?Xn £ X,即是 E|X“-X| JO,所以對(duì)于任意的£>0,存在N > 0,當(dāng)n> N時(shí),EXn-Xr < e. 于是當(dāng)當(dāng) n > N 時(shí),EXnr < (2-1 V l)(EXn 一 Xr + EXr) < (2-】V 1)(£ + EXr),所以 supnE|X|r <mEXkr: l<k< N,(2rx V + EXr) <因?yàn)閂 ooM =EXr

12、< oo,所以由可積函數(shù)的絕對(duì)連續(xù)性,對(duì)于任意的£0,存在<5>0,使得可測(cè)集4,只要P(A) < d,就有EXkr. A < £“ = 1,N, E|X|,M v £.當(dāng) n>N 時(shí)，E|X|r,4 < (21-1 V l)(E|Xn - Xr.A + EXr,A) < (2i V 1)(£ + £).所以 supn EXnr,A < 2(2r1 V 1)£,所 以Xnrn>l積分一致絕對(duì)連續(xù)，所以由引理8.3.16可得Xnrn>l 一致可積.習(xí)題3題目中需再加一條件

13、EXnr < oo, Xfn > 1.由定理8.3.18直接可得.習(xí)題5首先存在Xnn>l的子列使得皿_X|因?yàn)閁n A u, xn A x,所以分別存在見(jiàn)空1和Xg空1的子列U叫心 和X叭“使得當(dāng)i->oo時(shí),U叭X叭tX a.s.,由習(xí)題5.4第2題知,當(dāng) loo 時(shí) J |X叫 _X|tO,于是蕊 fXn-X = hm J |Xn,-X| = ,lim / |Xnjbi- X| = o.所以 lim f Xn - X| = 0.習(xí)題&5第1題證明：設(shè)Fn 5 F,且Fn 5 G.則由淡收斂的定義有凡(h)tF(叭 VewC(F),Fn(x)G(x), xe

14、C(G).丁是由數(shù)列極限的唯一性有F(x) = G(x). Va：C(F)nC(G).由單調(diào)函數(shù)的不 連續(xù)點(diǎn)至多可數(shù)，可知(C(F)nC(G)c至多可數(shù)，丁是對(duì)丁任意© 6 (C(F) n C(G)C,存在xnn> e C(F) n C(G),使得xnlx,由分布函數(shù)的右連續(xù)性知, F(x) = limnooF(xn) = limn-ooG(xn) = G(x).可得 F(x) = G(x)即淡收斂的 極限是唯一的.補(bǔ)充題求證：若Xn號(hào)X,則Xn 4 X.證：設(shè)Fn, F分別是Xn、X的分布函數(shù).5 G,有X < y = X < Xn < arUX <

15、y, Xn > x C Xn < arU|Xn-X| > x-y,所以 F(y) < Fn(x) + P(Xn -X>x-y).令 n->oo,由 Xn 厶 X,知 F(y) <同理 < z,有Iimn->ooFn(ir) < F(z).若 z C(F),則 limzF F(z) = F(x) = limyF F(y),于是 F(x) < lim,一Fn(x) < limnooJk(x) < F(x).所以 F(x) = limooFn(x)y Px e C(F).又凡(+8)= 1, Fn(-oo)= 0, Vn

16、>1,R F(+oo) = 1, F(-oo) = 0.所以 凡(+oo)tF(+oo), Fn(-oc)->F(-oo). 所以Xn出X.習(xí)題&5習(xí)題2證明：定義&5.5 =>定義8.5.1:由定義8.5.5知，對(duì)于任意的/ e Cb,有 f fdp.n > J fdp,于是對(duì)于任意 f Co,有 J* fd/in T f fdfjLy 這樣，由定理8.5.4 可知，“淡收斂于“特別地，取/ = 1,則由定義8.5.5知Mn(R) T m(R).于是 可得定義8.5.1的要求滿足.定義8.5.1 =>定義8.5.5:役Fn是如的分布函數(shù)，F(xiàn)是&q

17、uot;的分布函數(shù)，因 為F的不連續(xù)點(diǎn)至多可數(shù)，所以對(duì)丁任意的£>0,存在厶> 0,使得F(-L) <1 - F(L) < £.對(duì)于上述的 £>0 因?yàn)榉?ZJtF(D, Fn(-L) -> F(-£),所以 存在 N > 0,使得Fu-L) <2£, 1-F(L) < 2° 任取 f e Cb，設(shè) |/| < AA 有I /如-/蝕I< I fdFn +1 fdF +1 fdFn - fdFJ(-oo,-LU(L,oo)7(-oo,-LU(L,oo)7(-L£

18、;< 4仏 + I / fdFn - / fdFJ(-L,LJ(-L,L用定理8.5.4 (1)的證明部分可得當(dāng)n T x時(shí)，上式中最后一部分收斂到0,也就 是說(shuō) Iim I J fd/Ln - J fd < 4M£,由 E 的任意性可得 j /血” T f fd/L.習(xí)題4證明：設(shè)Fq對(duì)應(yīng)的概率測(cè)度是如.因?yàn)樾朗峭陚淇煞值模杂啥ɡ?8.5.12知,“相對(duì)緊等價(jià)丁胎緊.下面我們來(lái)證明:仏胎緊的充要條件是 Fa對(duì)a 一致收斂.必耍性：因?yàn)閬栍喬ゾo，所以對(duì)丁任意£ > 0,存在緊集K使得，對(duì)于 任意的a,心(")< £.因?yàn)镵是R中的緊集，故而有界，所以存在M > 0 使得K C -M,M|. 丁是戀(_M,Mjc)< £.所以對(duì)于