第6章誤差理論

1、第六章 測量誤差理論 內(nèi)容提要第一節(jié)第一節(jié) 測量誤差概述測量誤差概述第二節(jié)第二節(jié) 精度評定的標準精度評定的標準第三節(jié)第三節(jié) 誤差傳播定律誤差傳播定律第一節(jié)第一節(jié) 測量誤差概述測量誤差概述一、測量誤差的定義一、測量誤差的定義任何一個觀測量，客觀上總是存在著一個能代表其真任何一個觀測量，客觀上總是存在著一個能代表其真正大小的數(shù)值，這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值，并正大小的數(shù)值，這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值，并以以X表示。設對某量觀測表示。設對某量觀測n次，其觀測值為次，其觀測值為L1，L2，Ln，則真誤差則真誤差i定義如下：定義如下：XLii（i=1,2,3, ,ni=1,2,3, ,n）二、測量誤

2、差的來源二、測量誤差的來源 ( (一一) )人為因素人為因素 觀測時由于觀測者的感覺器官的鑒別能力存在局觀測時由于觀測者的感覺器官的鑒別能力存在局限性，在儀器的對中、整平、照準、讀數(shù)等方面都會限性，在儀器的對中、整平、照準、讀數(shù)等方面都會產(chǎn)生誤差。同時，觀測者的技術熟練程度也會對觀測產(chǎn)生誤差。同時，觀測者的技術熟練程度也會對觀測結(jié)果產(chǎn)生一定影響。結(jié)果產(chǎn)生一定影響。 ( (二二) )儀器因素儀器因素 測量中使用的儀器和工具，在設計、制造、安裝和校正等測量中使用的儀器和工具，在設計、制造、安裝和校正等方面不可能十分完善，致使測量結(jié)果產(chǎn)生誤差。方面不可能十分完善，致使測量結(jié)果產(chǎn)生誤差。 ( (三三)

3、 )外界條件的影響外界條件的影響觀測過程中的外界條件，如溫度、濕度、風力、陽光、大氣觀測過程中的外界條件，如溫度、濕度、風力、陽光、大氣折光、煙霧等時刻都在變化，必將對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響。折光、煙霧等時刻都在變化，必將對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響。 觀測條件:人、儀器和外界條件，通常稱為觀測條件。 觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。在觀測結(jié)果中，有時還會出現(xiàn)錯誤，稱之為粗差。 粗差在觀測結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認真仔細作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。三、測量誤差的分類例： 誤差 處理方法 鋼尺尺長誤差ld 計算改正 鋼尺溫度誤差lt 計算改

4、正 水準儀視準軸誤差i 操作時抵消(前后視等距) 經(jīng)緯儀視準軸誤差c 操作時抵消(盤左盤右取平均)1.系統(tǒng)誤差-在相同觀測條件下，對某量進行一系列觀測，若出現(xiàn)的誤差在數(shù)值、符號上都保持不變，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。測量誤差按性質(zhì)分為：系統(tǒng)誤差和偶然誤差2 2.偶然誤差在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。 例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產(chǎn)生誤差 。 例如，對三角形的三個內(nèi)角進行測量，由于觀測值含有偶然誤例如，對三角形的三個內(nèi)角進行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)

5、角之和差，三角形各內(nèi)角之和l不等于其真值不等于其真值180。用用X表示真值，則表示真值，則l與與X的差值的差值稱為真誤差（即偶然誤差），即稱為真誤差（即偶然誤差），即Xl 四、四、 偶然誤差的特性偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，測次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。 在某測區(qū)，等精度觀測了在某測區(qū)，等精度觀測了358358個三角形的內(nèi)角之和，個三角形的內(nèi)角之和，得到得到3583

6、58個三角形閉合差個三角形閉合差 i i( (偶然誤差，也即真誤偶然誤差，也即真誤差差) ) ，然后對三角形閉合差，然后對三角形閉合差 i i進行分析。分析結(jié)果進行分析。分析結(jié)果表明，當觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出表明，當觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越統(tǒng)計學上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。明顯。用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近近,對稱于對稱于y軸。軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在頻率直方圖

7、中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該該區(qū)間的頻率區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于，而所有條形的總面積等于1。各條形頂邊中點連線各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律規(guī)律 誤差統(tǒng)計直方圖 0limnn n 21偶然誤差的四個特性：偶然誤差的四個特性：（1）在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值，）在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零； (有界性有界性)（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；）絕對值較小的誤差比絕對值

8、較大的誤差出現(xiàn)的概率大； (趨向性趨向性) （3）絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同）絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同(對稱性對稱性)（4）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數(shù)測次數(shù)n n的無限增大而趨于零，的無限增大而趨于零， (抵償性抵償性)即即式中式中 偶然誤差的代數(shù)和，偶然誤差的代數(shù)和，偶然誤差具有正態(tài)分布的特性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當觀測次數(shù)當觀測次數(shù)n n無限增多無限增多(n(n)、誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 無限無限縮小縮小( (d d 0)0)時，各矩形的時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，頂邊就連

9、成一條光滑的曲線，這條曲線稱為這條曲線稱為“正態(tài)分布曲正態(tài)分布曲線線”，又稱為，又稱為“高斯誤差分高斯誤差分布曲線布曲線”。所以偶然誤差具所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。有正態(tài)分布的特性。誤差統(tǒng)計直方圖 在相同的觀測條件下，對某量進行多次觀測，為在相同的觀測條件下，對某量進行多次觀測，為了鑒定觀測結(jié)果的精確程度，必須有一個衡量精度的了鑒定觀測結(jié)果的精確程度，必須有一個衡量精度的標準。在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量標準。在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。成果的精度。中誤差中誤差 相對中誤差相對中誤差 極限誤差極限誤差 第二節(jié)第二節(jié) 精度評定的標準精度評定的標準一、中誤

10、差一、中誤差 設在相同的觀測條件下，對某量進行n次重復觀測，其觀測值為l1，l2，ln，相應的真誤差為1，2，n。則觀測值的中誤差m為： nm 式中式中 真誤差的平方和真誤差的平方和，22221n 例例5-1 設有甲、乙兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真設有甲、乙兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真誤差分別為：誤差分別為： 甲組：1,3,2,3,4,0 ,2,4,2,3 乙組：1,3,0 ,8,1,1,2,7,1,0 試計算甲、乙兩組各自的觀測精度。試計算甲、乙兩組各自的觀測精度。解: 1013234024232222222222 甲甲m7 . 2 10130811271022222

11、22222 乙乙m6 . 3 中誤差所代表的是某一組觀測值的精度。 m m1 1小于小于m m2 2, ,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，說明第一組觀測值的誤差分布比較集中， 其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比 較離散，其精度較低：較離散，其精度較低：m m1 1= = 2.72.7 是第一組觀測值的中誤差；是第一組觀測值的中誤差； m m2 2= = 3.63.6 是第二組觀測值的中誤差。是第二組觀測值的中誤差。mDDmmK1 二、相對中誤差二、相對中誤差測量工作中，有時僅用中誤差還不能完全表達觀測結(jié)果的精測量工作中，有時僅用中誤差還

12、不能完全表達觀測結(jié)果的精度。還需采用另一種衡量精度的方法，這就是相對中誤差或相度。還需采用另一種衡量精度的方法，這就是相對中誤差或相對誤差，它是中誤差的絕對值與觀測值的比值，通常用分子為對誤差，它是中誤差的絕對值與觀測值的比值，通常用分子為1 1的分數(shù)形式表示的分數(shù)形式表示 例例 丈量兩段距離，丈量兩段距離，D1=100m，m1=1cm和和D2=30m，m2=1cm， 試計算兩段距離的相對中誤差。試計算兩段距離的相對中誤差。100001m100m01. 0111 DmmK30001m30m01. 0222 DmmK解m2允m3允三、極限誤差 在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應超過的限值，稱

13、在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。為極限誤差，也稱限差或容許誤差。或 如果某個觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認為該觀如果某個觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認為該觀測值含有粗差，應舍去不用或返工重測。測值含有粗差，應舍去不用或返工重測。 第三節(jié)第三節(jié) 誤差傳播定律誤差傳播定律 在實際測量工作中在實際測量工作中，某些未知量往往不能直接測某些未知量往往不能直接測得，而是由某些直接觀測值通過一定的函數(shù)關系間接得，而是由某些直接觀測值通過一定的函數(shù)關系間接計算而得。由于直接觀測值含有誤差，因而它的函數(shù)計算而得。由于直接觀測值含有誤差，因而

14、它的函數(shù)必然要受其影響而存在誤差，必然要受其影響而存在誤差，闡述觀測值中誤差與函闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間關系的定律，稱為誤差傳播定律。數(shù)中誤差之間關系的定律，稱為誤差傳播定律。 現(xiàn)就線性與非線性兩種函數(shù)形式分別討論如下?，F(xiàn)就線性與非線性兩種函數(shù)形式分別討論如下。 一、線性函數(shù)一、線性函數(shù) 線性函數(shù)的一般形式為：線性函數(shù)的一般形式為：Z=k1x1k2x2knxn 式中式中x1、x2xn為獨立觀測值，其中誤差分別為為獨立觀測值，其中誤差分別為m1、 m2mn，k1、k2kn為常數(shù)。為常數(shù)。 設函數(shù)設函數(shù)Z的中誤差為的中誤差為mz，下面來推導兩者中誤差的關系。為下面來推導兩者中誤差的關系。為

15、推導簡便，先以兩個獨立觀測值進行討論，則上式為：推導簡便，先以兩個獨立觀測值進行討論，則上式為： Z=k1x1k2x2（）（）若若x1和和x2的真誤差為的真誤差為x1和和x2，則函數(shù)則函數(shù)Z必有真誤差必有真誤差Z即：即：222111xxkxxkZZ由上兩式由上兩式（）、）（）、）相減可得：相減可得：2211xkxkZ若對觀測值均進行了若對觀測值均進行了n次觀測，可得：次觀測，可得： nnxkxkZnxkxkZxkxkZ221122221121221111（）（）將上式等號兩邊平方求和，并處以將上式等號兩邊平方求和，并處以n，則得：則得：nxxkknxknxknZ21212222212122 由

16、于由于x1、x2均為獨立觀測值的偶然誤差，因此乘積均為獨立觀測值的偶然誤差，因此乘積x1x2也必然呈現(xiàn)偶然性，根據(jù)偶然誤差的第四特性，有：也必然呈現(xiàn)偶然性，根據(jù)偶然誤差的第四特性，有：021211nxxkkimn根據(jù)中誤差的定義，得中誤差的關系式：根據(jù)中誤差的定義，得中誤差的關系式：222221212mkmkmz推廣之，可得線性函數(shù)中誤差的關系式推廣之，可得線性函數(shù)中誤差的關系式22212221212nnzmkmkmkm 二、非線性函數(shù)二、非線性函數(shù) 非線性函數(shù)即一般函數(shù)，其形式為：非線性函數(shù)即一般函數(shù)，其形式為： 式中式中Xi 具有真誤差具有真誤差i時，函數(shù)時，函數(shù)Z相應地產(chǎn)生真誤差相應地產(chǎn)

17、生真誤差z。這些真誤差都是一個小值，這些真誤差都是一個小值，由數(shù)學分析可知，變由數(shù)學分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關系，可以近似地用函數(shù)量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達。的全微分來表達。為此，求函數(shù)的全微分，以真誤差為此，求函數(shù)的全微分，以真誤差“”替代微分的符號替代微分的符號“d”，得：得：nxxfZ 21x,nndxxfdxxfdxxfdZ 2211nnxxfxxfxxfZ 2211nixif , 2 , 1是函數(shù)對各個變量所取得偏導數(shù)，以觀測值代入所算是函數(shù)對各個變量所取得偏導數(shù)，以觀測值代入所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此，上式是線性函數(shù)的真出的數(shù)值

18、，它們是常數(shù)，因此，上式是線性函數(shù)的真誤差關系式，按線性函數(shù)的真誤差關系可得：誤差關系式，按線性函數(shù)的真誤差關系可得：22222221212nnzmxfmxfmxfm 應用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)中誤差時，可歸納為如下三步：應用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)中誤差時，可歸納為如下三步： 1 1）應根據(jù)問題的性質(zhì)列出函數(shù)關系式）應根據(jù)問題的性質(zhì)列出函數(shù)關系式。nxxfZ 21x,2 2）對函數(shù)式進行全微分，獲得函數(shù)的真誤差與觀測值真誤）對函數(shù)式進行全微分，獲得函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關系式。差之間的關系式。nnxxfxxfxxfZ 22113 3）寫出函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關系式。）

19、寫出函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關系式。22222221212nnzmxfmxfmxfm 1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設有函數(shù)式 (x為觀測值，K為x的系數(shù)) 全微分 得中誤差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22 例：量得：地形圖上兩點間長度例：量得：地形圖上兩點間長度 68.5mm 0.2mm, 計算該兩點實地距離計算該兩點實地距離S及其中誤差及其中誤差ms：m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：列函數(shù)式解：列函數(shù)式 求全微分求全微分 中誤差式中誤差式三三.幾種常用函數(shù)的中誤差應用舉例幾種常用函數(shù)的中誤差應用舉例

20、.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式：函數(shù)式： 全微分：全微分： 中誤差中誤差式：式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm當?shù)染扔^測時：當?shù)染扔^測時： 上式可寫成：上式可寫成：mmmmmn321nmmZ例：測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設測量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh. 非線性函數(shù)的中誤差非線性函數(shù)的中誤差 例1已知：測量斜邊D=50.000.05m，測得傾角=15000030求：水平距離D的中誤差。應用時應注意幾點：應用時應注意幾點：1. 上式寫出的規(guī)律是：將偏導數(shù)值平方，把真誤差換成中誤差平方。2.各項的單位要統(tǒng)一；3.觀測值必須是獨立的觀測值，即函數(shù)式等號右邊的各自變量