數(shù)學(xué)高考題分類選編解三角形

1、2013年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編及答案解析（解三角形）姓名： 沈金鵬 院 、 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2015年10月10日正弦定理和余弦定理一、選擇題1.（2013北京高考文科5）在ABC中，a=3,b=5,sinA=,則sinB=( )A. B. C. D.1【解題指南】已知兩邊及一邊的對角利用正弦定理求解?！窘馕觥窟xB。由正弦定理得。2.（2013新課標(biāo)全國高考文科4）的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的面積為（ ）A. B. C. D.【解題指南】利用正弦定理和三角形的面積公式可得【解析】選B.因為,所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面積為.因為，所以，選B.3.（2013

2、新課標(biāo)高考文科10）已知銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，c=6，則（ ）A.10B.9C.8D.5【解題指南】由，利用倍角公式求出的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得的值.【解析】選D.因為，所以，解得，方法一:因為ABC為銳角三角形，所以,.由正弦定理得，.，.又，所以，.由正弦定理得, ，解得.方法二:由余弦定理，則，解得4.（2013陜西高考文科9）【備注：（2013陜西高考理科7）與之題干相同】設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若, 則ABC的形狀為 ( )A. 直角三角形B. 銳角三角形C. 鈍角三角形D. 不確定【解題指南】在含有邊角關(guān)系式的三角函

3、數(shù)恒等變形中,利用正弦定理將邊的關(guān)系式化為角的正弦式或利用余弦定理將余弦式化為邊的關(guān)系式,這是判斷三角形形狀的兩個轉(zhuǎn)化方向.【解析】選A.因為bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.5.（2013安徽高考文科9）【備注：（2013安徽高考理科12）與之題干相同】設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,則3sinA=5sinB,則角C=()A. B. C. D. 【解題指南】 根據(jù)正弦定理、余弦定理進行解三角

4、形計算?！窘馕觥窟xB.由題設(shè)條件可得，由余弦定理得，所以。6. （2013山東高考文科7）的內(nèi)角的對邊分別是，若，則（ ）A. B. 2 C. D.1【解析】選B.由,則，由正弦定理知,即,所以cosA=，所以A=，所以，所以，c=2.7.（2013湖南高考理科3）在銳角中，角所對的邊長分別為.若（ ）A B C D【解題指南】本題先利用正弦定理化簡條件等式，注意條件“銳角三角形” . 【解析】選D.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=.8. （2013天津高考理科6）在ABC中, 則 = ()A. B. C. D. 【解題指南】先由余弦定理求AC邊長，

5、然后根據(jù)正弦定理求值.【解析】選C. 在ABC中，由余弦定理得，所以由正弦定理得即所以.9. （2013湖南高考文科5）在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b. 若2asinB=b，則角A等于（ ）A. B. C. D.【解題指南】本題先利用正弦定理化簡條件等式，注意條件“銳角三角形” . 【解析】選A.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=.二、填空題10.(2013浙江高考理科T16)在ABC中,C=90,M是BC的中點.若,則sinBAC=.【解題指南】分別在RtABC和ABM中應(yīng)用勾股定理和正弦定理.【解析】設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,

6、在ABM中由正弦定理得,因為,又,所以.又由得,兩邊平方化簡得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,所以.【答案】11.（2013上海高考理科T4）已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)邊分別為a,b,c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,則角C的大小是(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).【解析】3a2+2ab+3b2-3c2=0c2=a2+b2+ab,故【答案】12.（2013上海高考文科T5）已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，則角C的大小是 .【解析】【答案】 三、解答題13. （2013大綱版全國卷高考文科18）與（2013大綱版

7、全國卷高考理科18）相同設(shè)的內(nèi)角，的對邊分別為，（I）求;（II）若,求.【解題指南】（I）由條件確定求應(yīng)采用余弦定理.（II）應(yīng)用三角恒等變換求出及的值，列出方程組確定的值.【解析】（I）因為.所以.由余弦定理得，因此.（II）由（I）知，所以.故或，因此或14. （2013新課標(biāo)高考理科17）如圖，在中，為內(nèi)一點，.（）若，求；（）若，求.【解析】由已知得，所以.在，由余弦定理得,故.（）設(shè)，由已知得，在中，由正弦定理得，化簡得，所以，即.15. （2013天津高考文科16）在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求

8、的值. 【解題指南】()根據(jù)正弦定理及, a = 3求出a,c的值，再由余弦定理求b的值；()根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式求出，再由兩角差的正弦公式求值.【解析】() 在ABC中，由正弦定理得，即，又由，可得，,又 a = 3，故c=1，由且可得()由，得，進而得到所以16.(2013浙江高考文科T18)與(2013浙江高考理科T18)相同在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asinB=b.(1)求角A的大小.(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面積.【解題指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根據(jù)余弦定理,借助三角形的面積公式求解.【解析】(1)由2

9、asinB=b及正弦定理,得sinA=,因為A是銳角,所以.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以,由三角形面積公式S=bcsinA,得ABC的面積為.17.（2013江西高考理科16）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B的大?。?2)若，求b的取值范圍.【解題指南】(1)借助三角形內(nèi)角和為，結(jié)合三角恒等變換將條件中的等式轉(zhuǎn)化為只含B的方程，求出B的三角函數(shù)值，進而可求出角B.（2）根據(jù)（1）求出的B與，由余弦定理可得b2關(guān)于a的函數(shù)，注意到可知，進而可求出b的范圍.【解析】（1）由已知得，即.因為，所以,

10、又,所以,又，所以.（2）由余弦定理，有，因為，,所以，又因為，所以，即.18. （2013江西高考文科17）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；（2）若C=，求的值.【解題指南】（1）先利用二倍角公式把角2B化為角B，再進行角化邊的處理；（2）借助第（1）問的結(jié)果結(jié)合余弦定理進行求解.【解析】(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因為sinB,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可知a+c=2b，即a，b，c成等差數(shù)列.(2) 由C=，c=2b-a及余弦定

11、理得，即有，所以.19.（2013北京高考理科15）在ABC中，a=3，b=2，B=2A.(I)求cosA的值，(II)求c的值【解題指南】（1）由條件可以看出，已知兩角關(guān)系求角，可以利用正弦定理解決問題；（2）由已知兩邊和角求第三邊，所以應(yīng)用余弦定理求解。【解析】（1）由正弦定理得，所以，即.（2）由余弦定理得，所以，即，解得或（舍）。20.(2013新課標(biāo)全國高考理科T17)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求ABC面積的最大值.【解題指南】(1)將a=bcosC+csinB“邊化角”,化簡求得B.(2)利用角B、邊b

12、將ABC面積表示出來,借助均值不等式求最大值.【解析】(1)因為a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因為sinC0,所以tanB=1,解得B=(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-ac,由不等式得a2+c22ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,取等號,所以4(2-)ac,解得ac4+2,所以ABC的面積為acsin(4+2)=+1.所以ABC面積的最大值為+1.解三角形應(yīng)用舉例一、填空題1. (2013福建高考理科T13)如

13、圖,在ABC中,已知點D在BC邊上,ADAC, sinBAC=,AB=,AD=3,則BD的長為. 【解題指南】顯然,sinBAC=cosBAD,用余弦定理.【解析】sinBAC=cosBAD,在BAD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=18+9-23=3,所以BD=.【答案】 二、解答題2.（2013重慶高考理科20）在中，內(nèi)角、的對邊分別是、，且（）求；（）設(shè)，求的值【解題指南】直接利用余弦定理可求出的值，由和差公式及的值通過化簡可求出的值.【解析】（）因為由余弦定理有故.（）由題意得因此因為,所以因為即解得由得,解得或.3. （2013重慶高考文科18）在ABC中,內(nèi)角A,

14、B,C的對邊分別是a,b,c,且a2=b2+c2+ab.（）求；（）設(shè)a=,S為ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此時B的值.【解題指南】直接利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理求解S+3cosBcosC的最大值，并指出此時的值.【解析】（）由余弦定理得又因為,所以（）由（）得又有正弦定理及得因此,所以,當(dāng),即時, 取最大值4. （2013山東高考理科17）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=.（1）求a，c的值；（2）求sin（A-B）的值.【解題指南】（1）先由余弦定理可得到ac的關(guān)系式，再和已知a+c=6聯(lián)立方程，可得a

15、，c的值；（2）由知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB的值，可先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA，進而求得cosA，從而本題得解.【解析】（1）由與余弦定理得，得又a+c=6，b=2，cosB=，所以ac=9，解得a=3,c=3.（2）在ABC中，,由正弦定理得.因為a=c，所以A為銳角.所以.因此.5.（2013福建高考文科21）如圖,在等腰直角中, ,點在線段上.（I）若,求的長;（II）若點在線段上,且,問:當(dāng)取何值時,的面積最小?并求出面積的最小值.【解題指南】由等腰知，此時，可解；第(II)問,按“求什么設(shè)什么”列式求解，將面積表達式寫

16、出，利用三角函數(shù)計算公式求解。【解析】（）在中，由余弦定理得，得，解得或（）設(shè)，在中，由正弦定理，得，所以，同理故因為，所以當(dāng)時，的最大值為，此時的面積取到最小值即時，的面積的最小值為6.(2013江蘇高考數(shù)學(xué)科T18)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量, ，.(1)求索

17、道AB的長.(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?【解題指南】(1)利用正弦定理確定出AB的長.(2)先設(shè)再建立時間t與甲、乙間距離d的函數(shù)關(guān)系式,利用關(guān)系式求最值.(3)利用條件“使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘”建立不等式求解.【解析】(1)在ABC中,因為cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.從而sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=，由正弦定理=,得AB=sinC= =1040(m).所以索道AB的長為1040m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為