角速度與角加速度

1、轉(zhuǎn)動8-1 角速度與角加速度一、轉(zhuǎn)動的角量：1.角位置（）：如下圖（一）所示，一任意形狀的剛體（內(nèi)部各點的相對距離永遠保持不變的物體）繞一垂直於紙面並經(jīng)過定點的固定軸轉(zhuǎn)動，一固定於物體內(nèi)的線段與參考軸在時刻之夾角若為，則稱此時質(zhì)點（或剛體）的角位置為，單位為弧度（弳）或轉(zhuǎn)（），而1轉(zhuǎn)（）弧度（）。 2.角位移（）：在某時距內(nèi)剛體所轉(zhuǎn)過的角度（單位與角位置相同）若在時刻之角位置為，而在時刻之角位置為，則。3.角速度：單位時間內(nèi)所轉(zhuǎn)動的角位移（單位：弧度秒；轉(zhuǎn)秒）(1) 平均角速度（）：令及各表示在時刻及時固定於物體上的線段與參考軸之夾角，如上圖（三）所示。圖之割線斜率 (2) 瞬時角速度（）：當

2、趨近於零時的的極限值方向：右手螺旋，拇指方向（即對的導(dǎo)函數(shù)）圖之切線斜率4.角加速度：單位時間內(nèi)所改變的角速度（單位：弧度秒；轉(zhuǎn)秒）(1) 平均角加速度（）：令及各表示在時刻及的角速度圖之割線斜率等角加速度運動公式 P.8-1 (2) 瞬時角加速度（）：當時的極限值（即對的導(dǎo)函數(shù)）圖之切線斜率二、角量（轉(zhuǎn)動的物理量）與線量（移動的物理量）的關(guān)係：1.線速度與角速度之關(guān)係：當質(zhì)點通過點之瞬間，產(chǎn)生的極小位移，對應(yīng)轉(zhuǎn)過的圓心角為，則過點之瞬時速度與瞬時角速度關(guān)係為： 2.加速度：在上圖中過點之：(1) 瞬時切線加速度的量值為 (2) 瞬時法線加速度的量值為 (3) 瞬時加速度且量值例一：某一質(zhì)點作

3、等角加速度運動，其初角速為-2弧度秒，經(jīng)過20秒後其角位移為20弧度，則：(1) 其角加速度為何？(2) 第5秒末之角速度為若干？例二：某物體作等角加速度運動，於第4秒之角位移為，於第8秒內(nèi)之角位移為，則：(1)初角速度若干？(2)角加速度若干？練習：1.一圓輪在做等角加速度運動。經(jīng)過25轉(zhuǎn)之後，角速度由100轉(zhuǎn)秒增到150轉(zhuǎn)秒；其角加速度為若干？P.8-22.一物體上一點繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動，其角位置（弧度）與時間（秒）之關(guān)係為，則該點：(1) 第2秒末之角速度為何？ (2) 2秒內(nèi)之平均角速度為何？(3) 第2秒末之角加速度為何？ (4) 2秒內(nèi)之平均角加速度為何？例三：剛體中，一點固定轉(zhuǎn)軸為0.5

4、0公尺，點作等角加速度運動，其角位移（弧度）與時間（秒）之關(guān)係，求(1)角加速度；(2)第2秒末之角速度、切線速度、向心加速度及加速度各為何？例四：1.一圓盤繞過其圓心且垂直於盤面之固定軸轉(zhuǎn)動。設(shè)由靜止作等角加速度轉(zhuǎn)動，則輪緣一點之向心加速度之大小與其角位移之關(guān)係為：(A) (B) (C) (D) (E) 2.承上題，當該點之加速度與切線加速度成37角之瞬間，此飛輪恰好轉(zhuǎn)過若干弧度？(A) 1/4 (B) 3/8 (C) 5/8 (D) 7/8 (E) 3/4練習：一質(zhì)點在半徑0.4公尺的圓周上運動，在某瞬時的角速度為2弧度秒，角加速度為5弧度秒，求此質(zhì)點的加速度大小為若干？例五：一電動機以飛

5、輪（輪半徑0.2米）帶動飛輪（軸半徑0.5米，輪半徑1米）。若連動皮帶與輪間無滑動現(xiàn)象，求：(1) 輪緣與軸緣的切線速率比。(2) 兩輪的角速度值之比。(3) 飛輪之軸緣與輪緣的法線加速度值之比。(4) 若輪由靜止以等角加速度（弧度秒）轉(zhuǎn)動，則當?shù)霓D(zhuǎn)速為5（）時，共費時多久？P.8-3練習：1.一飛輪傳動系統(tǒng)（如右圖），各輪的轉(zhuǎn)軸均固定且相互平行，甲、乙兩輪同軸且無相對轉(zhuǎn)動，已知甲、乙、丙、丁四輪的半徑比為5：2：3：1，若傳動帶在各輪轉(zhuǎn)動中不打滑，則丙和丁輪角速度之比為若干？2.腳踏車前後兩齒輪分別為60齒及20齒，以鏈條連接，若腳每踩動一圈，兩齒輪切線速率比為。3.承上題，設(shè)後車輪的輪緣距

6、軸0.5公尺，且和地面間沒有滑動現(xiàn)象，則車子每秒前進公尺。例六：甲、乙兩人沿圓軌道同向賽跑，甲沿半徑的外跑道跑，乙則沿著半徑為的內(nèi)跑道 跑。設(shè)甲以的速率經(jīng)過乙時，乙開始起跑，此後甲始終以的速率跑，而乙則以等角 加速度追甲，則在乙追及甲時，乙的速率為若干？例七：下列有關(guān)圓周運動的敘述，何者正確？ (A) 等速率圓周運動為變角速度運動 (B)物體作平移運動時，物體中每點的運動軌 跡均與質(zhì)心運動的軌跡相同 (C)剛體繞某一定軸作等角加速度轉(zhuǎn)動時，則向心加速 度量直在變化中 (D)一質(zhì)點作半徑R等角速度運動，此質(zhì)點與圓心的連線，在單 位時間內(nèi)掃過的面積為R2。8-2 質(zhì)點的角動量與轉(zhuǎn)動運動定律一、質(zhì)點

7、的角動量：1.定義：質(zhì)量之質(zhì)點以速度，線動量對一參考坐標之原點運動，若質(zhì)點對點之位置向量為，如右下圖示，則質(zhì)點對點之角動量為：（單位：公斤-公尺秒）P.8-4 2.量值：（：與之夾角）式中為在垂直方向之分量為在垂直方向之分量特例：若質(zhì)點作圓周運動，且點為圓心，因與垂直且，為質(zhì)點角速度的量值二、質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量：1.定義：一質(zhì)點繞著一定軸（或定點）轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點之質(zhì)量和質(zhì)點與轉(zhuǎn)動軸的距離平方之乘積，此乘積稱為質(zhì)點對該軸的轉(zhuǎn)動慣量，以表之。 2.數(shù)學(xué)式：設(shè)質(zhì)點之質(zhì)量為，其與轉(zhuǎn)動軸的距離為（單位：公斤-公尺）三、轉(zhuǎn)動的運動定律：1.內(nèi)容：當有外力作用於一繞點作圓周運動的質(zhì)點時，質(zhì)點角動量的變化率，即等於

8、作用於質(zhì)點的的外力對點所施的力矩。 2.數(shù)學(xué)式： (1) 若質(zhì)點在時間內(nèi)角動量的變化為力矩 (2) 若質(zhì)點對點的點的轉(zhuǎn)動慣量為且角加速度為角動量守恆定律一、內(nèi)容：當一繞定軸轉(zhuǎn)動的質(zhì)點（或物體或系統(tǒng)）受外力作用時，若外力對轉(zhuǎn)軸所生的總力矩為零時，質(zhì)點（或物體或系統(tǒng)）的角動量為一常數(shù)，即角動量將保持不變，謂之角動量守恆定律。二、數(shù)學(xué)式：若質(zhì)點之轉(zhuǎn)動慣量為時，角速度為，即角動量，而轉(zhuǎn)動慣量為時，角速度為，即角動量，則因常量P.8-5註：由質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸之位置向量與外力之夾角為，則因力矩，故，即有三種可能：例一：如右圖，三質(zhì)點質(zhì)量各為2公斤，位於一正三角形（邊長2公尺）的三個頂點。如三角形繞垂直於平面，則

9、：(1) 通過其重心的軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量的值為何？(2) 通過其中一個頂點的軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量的值為何？例二：質(zhì)量為和的雙子星，其間的距離為，重力常數(shù)為，則雙子星對質(zhì)心的總角動量大小為何？例三：如右圖，有四個質(zhì)量分別為、及之質(zhì)點位於一直線上，今如繞垂直於紙面且通過質(zhì)心的軸，以之角速度轉(zhuǎn)動，則總角動量大小為何？例四：質(zhì)量為2公斤的質(zhì)點以25公尺秒之初速度，拋射仰角為53斜向拋出，當質(zhì)點達最大高度時，該質(zhì)點對拋出原點之角動量為若干公斤-公尺秒？（公尺秒）(A) 100 (B) 150 (C) 300 (D) 450 (E) 600例五：如右圖，一單擺自水平位置放手，當達60時之瞬時加速度大小為：(

10、A) (B) (C) (D) (E) P.8-6例六：質(zhì)量為m的甲求與質(zhì)量為5m的乙球分別固定一長為L的細桿二端，並繞其質(zhì)心以 角頻率旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)軸與細桿垂直，旋轉(zhuǎn)時細桿長度不變，設(shè)細桿質(zhì)量可忽略，則相 對於質(zhì)心，此轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角動量的量值為何？ 練習：1.如右圖，有一球形的碗，固定於地面上，今有一質(zhì)量為的質(zhì)點由碗緣下滑至碗底，在此下滑過程中對碗心之下列五個物理量值哪些變大？(A) 角速度 (B) 角加速度 (C) 轉(zhuǎn)動慣量 (D) 所受力矩 (E) 角動量2.如右圖，質(zhì)量比為2：1的、兩物，以等長的兩條輕繩連接好後，使其共繞點作等速圓周運動，兩點之：(A) 角速度之比為1：2 (B) 切線速率比為

11、1：2 (C) 動量大小之比為1：2 (D) 對點角動量之比為1：2 (E) 向心加速度之比為1：23.一質(zhì)量為之質(zhì)點，繫在長度為，質(zhì)量可略去的細繩之一端，細繩之另一端以釘子固定在牆上，使質(zhì)點在鉛垂面上做圓周運動。設(shè)在圓周底端時質(zhì)點之速率為，則下列敘述何者正確？(A) 在圓周底端時，質(zhì)點對釘子的角動量為(B) 在圓周頂端時，繩上張力為(C) 在圓周頂端時，質(zhì)點之速率為(D) 當細繩水平時，質(zhì)點之動能為(E) 當細繩水平時，質(zhì)點之角速度為P.8-74.兩條長度分別為及的細繩，各有一端固定在一光滑水平面上的及點。細繩之另一端則分別繫有質(zhì)量同為的小物體，並使小物體在水平面上作等速圓周運動，如右圖所示

12、。已知，下列有關(guān)兩細繩的張力及之比值的敘述，何者為正確？(A) 如兩物體之角速度比為，則(B) 如兩物體之速率比為，則(C) 如兩物體之圓周運動之週期比為，則(D) 如兩物體之動能比為，則(E) 如兩物體之角動量比為，則5.一長度為，質(zhì)量可略去的細桿，其中心點固定，兩端各置有質(zhì)量為及的質(zhì)點；細桿與鉛垂方向之夾角為（如右圖所示）。設(shè)重力加速度為，則重力對點所產(chǎn)生的力矩之量值為。6.一質(zhì)量為的質(zhì)點，在一無摩擦，半徑為的鉛直圓形軌道上運動，如右圖所示。已知在最高點的速率為，為重力加速度，則下列敘述何者為正確？(A) 此質(zhì)點之最大速率為 (B) 在最高點處，軌道對質(zhì)點作用力的量值為(C) 在任一直徑的

13、兩端點上，質(zhì)點動能之和不變(D) 此圓周運動之週期大於(E) 在運動過程中，質(zhì)點對圓心之角動量守恆P.8-87.兩小球質(zhì)量分別為及，由一長度為之細桿（質(zhì)量可忽略）相連，並以通過兩球質(zhì)量中心且垂直於細桿的軸，作等角速度的轉(zhuǎn)動，則下列敘述何者正確？(A) 旋轉(zhuǎn)軸與的距離為 (B) 兩球均作速率為的等速圓周運動(C) 兩球的動量量值相等 (D) 兩球的角動量量值相等(E) 兩球的動能和為例七：一行星質(zhì)量，繞太陽作橢圓軌道運動，在近日點當行星與太陽的為時，行星對太陽的角動量大小為，則在遠日點行星與太陽的距離變?yōu)闀r，行星對太陽的角動量大小為。若以無窮遠為重力位能之零位面，則此系統(tǒng)之總力學(xué)能為。例八：在光

14、滑的水平面上，細線的一端繫住一質(zhì)點，而在細線的另一端施以水平拉力，使質(zhì)點在桌面上作速率為的等速圓周運動，不考慮細線的重量，今增加拉力，使質(zhì)點作圓周運動的半徑改變，而其運動的週期減為原來的一半，則該質(zhì)點的速率變?yōu)椋?A) (B) (C) (D) (E) 例九：水平光滑桌面上有一小球質(zhì)量，接一細繩通過一小孔下垂，起初以切線速度在半徑之圓周上旋轉(zhuǎn)，用力把細繩拉下使之變?yōu)樵诎霃街畧A周上旋轉(zhuǎn)，則作功多少？練習：1.某行星之質(zhì)量為，其繞太陽之角動量為，則此行星與太陽之連線在單位時間內(nèi)所掃過之面積為。P.8-92.質(zhì)量為的某行星繞太陽運行，其軌道為圓形。若在單位時間內(nèi)半徑掃過的面積為，則此行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角

15、動量的量值為：(A) (B) (C) (D) 03.如右圖在一光滑桌面上有一孔，一繩穿過此孔，桌面上的繩端繫有一質(zhì)量為之小球，桌下的繩端繫有一質(zhì)量為的砝碼，讓作半徑為，角速率為的等速率圓周運動時，恰可成平衡。今將砝碼的質(zhì)量改為時，發(fā)現(xiàn)之軌道半徑縮小為原來的一半，則：(1) 之角速率變?yōu)榈膸妆叮?2) ？(3) 後來所受之力矩量值為若干？應(yīng)用角動量守恆的實例1.克卜勒第二定律，其實也是角動量守恆定律的結(jié)果。如下圖?！菊f明】行星以橢圓軌道繞太陽運行，行星可視為質(zhì)量的質(zhì)點，不管其在軌道上的任何位置，行星只受太陽引力，而萬有引力為連心力通過二者之質(zhì)心，故行星對太陽不產(chǎn)生力矩，依角動量守恆定律知，行星在

16、軌道上環(huán)繞對太陽的角動量為一常數(shù)。故定值，則克卜勒第二定律定值P.8-102.花式溜冰的表演者：【說明】該演員因無淨外力矩的作用，其任何時刻的角動量為一常量。當演員平伸雙手時，其轉(zhuǎn)動慣量大，故其角速率小，但如縮回雙手時，其轉(zhuǎn)動慣量變?。ㄒ蜃冃。?，角速率變大，故身體旋轉(zhuǎn)加快，如下圖所示。3.花式跳水者或馬戲團的空中飛人：【說明】利用手腳及身體屈曲伸直以改變其轉(zhuǎn)動慣量，俾控制滾翻的轉(zhuǎn)動速率，此亦係利用角動量守恆定律，見上圖。4.直升機利用主、副螺旋漿來保持機身穩(wěn)定：【說明】直升機除了在機體上設(shè)置一主螺旋槳外，尚須在機尾設(shè)置一可繞水平軸轉(zhuǎn)動的副螺旋槳，這也是為了角動量守恆的緣故。因如無副螺旋槳的設(shè)置

17、，則直升機為保持角動量守恆，主螺旋槳轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的角動量將須由機體反方向轉(zhuǎn)動的角動量來平衡，而使直升機不穩(wěn)定，機身會打轉(zhuǎn)，甚至有傾覆的危險，機尾的小旋轉(zhuǎn)翼旋轉(zhuǎn)時會把空氣搧出去，此時空氣即會給旋轉(zhuǎn)翼（即直升機）一個反作用力，利用這個反作用力可以平衡機身，使其不會打轉(zhuǎn)，見下圖。5.貓由高處落下時，其腳及尾巴相對轉(zhuǎn)動以使四腳著地?！菊f明】以雙手將貓的四足抓牢，使其四腳朝天，從高處使之落下，每見貓的尾巴及四腳作反方向的旋轉(zhuǎn)，終至四腳落地的情形，如下圖所示，此亦係角動量守恆定律的另一運用，貓?zhí)焐亩眠@部分的物理。P.8-11例一：選出下列正確的敘述：(A) 角動量的量值與所選取的轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)(B) 一鐵

18、棒繞棒上固定軸轉(zhuǎn)動時，除固定軸外，棒上各點的角速度相同(C) 同(B)，各點有相同的法線加速度(D) 質(zhì)點繞固定軸轉(zhuǎn)動時，角動量的方向垂直於轉(zhuǎn)動平面(E) 花式滑冰的演員兩手（或一腳）平伸或縮回可改變角動量，進而改變角速度的大小例二：二飛輪繞其共同軸反方向轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速分別為20轉(zhuǎn)秒順時針及以15轉(zhuǎn)秒逆時針，轉(zhuǎn)動慣量依次為及。今設(shè)法使二飛輪之盤面貼合，使繞同一軸往同方向轉(zhuǎn)動，則貼合後的共同轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)秒。例三：如右圖，轉(zhuǎn)動慣量為的木轉(zhuǎn)盤以角速度旋轉(zhuǎn)，今質(zhì)量之子彈以速度正打到盤面距軸為處，並沾在盤上，求轉(zhuǎn)動角速度變?yōu)槿舾?？例四：有一個質(zhì)量為的女孩，站在不動的旋轉(zhuǎn)木馬（質(zhì)量，半徑，轉(zhuǎn)動慣量為）邊緣。旋轉(zhuǎn)木馬沒有摩擦。那女孩沿木馬外緣切線方向水平拋出一石頭（質(zhì)量為）。石頭相對於地之速率為，試求： (1) 木馬可獲得之角速度為何？ (2) 女孩拋出石頭後的線速率為何？練習：1.繞地球