圓中常作的輔助線

1、圓中常作的輔助線一、連結(jié)半徑圓的半徑是圓的重要元素，圓中的許多性質(zhì)如：“同圓的半徑相等”和“過切點(diǎn)的半徑與切線相互垂直”都與圓的半徑有關(guān).連結(jié)半徑是常用的方法之一.例2已知：ABC中，B=900，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓切AC與D點(diǎn)，交AB與E點(diǎn)，AD=2，AE=1.ABCDEO求:CD的長.證明: 連結(jié)DO ODAC于D, OCP=900. AB過O點(diǎn), B=900.BC為O的切線, CD=CB設(shè)CD=CB=x,DO=EO=y在RtADO中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1(1+y)2=22+y2, y=在RtABC中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x

2、)2=(1+)2+x2, x=3CD=3.二、連結(jié)公共弦在處理有關(guān)兩圓相交的問題時(shí)，公共弦像一把“鑰匙”，常?？梢源蜷_相應(yīng)的“鎖”，因此“遇到相交圓，連接公共弦.”。例3已知：如圖，O1和O2相交于點(diǎn)A和B，O2O1的延長線交O1于點(diǎn)C，CA、CB的延長線分 別和O2相交于點(diǎn)D、E，求證：AD=BE. 分析：O1和O2是相交的兩圓，作公共弦AB為輔助線.證明：連結(jié)AB交O2O1于P點(diǎn) ，O1 O2A B且O1 O2的平分ABCA=CBACP=BCP點(diǎn)O2到線段AD、CE的距離相等AD=BE. 三、作連心線 兩圓相交，連心線垂直平分兩圓的公共弦；兩圓相切，連心線必過切點(diǎn).通過作兩圓的連心線，可溝

3、通圓心距、公共弦、兩圓半徑之間的關(guān)系.因此，“已知有兩圓，常畫連心線.”.例4已知：如圖，A和B外切于P點(diǎn)，A的半徑為r和B的半徑為3r, CD為A、B的外公切線，C、D為切點(diǎn)，求：（1）CD的長；（2）CD與弧PD及弧PC所圍成的陰影部分的面積.解：連結(jié)AB、AC、BDA和B外切于P點(diǎn)，AB過P點(diǎn)CD為A、B的外公切線，C、D為切點(diǎn)，ACCD，BDCD過A點(diǎn)作AEBD于E，則四邊形ACDE為矩形.DE=AC= r，BE=BD-DE=3r-r=2r在RtAEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2rAE=.CD=2 r .COSB=，B=600.CAB=CAE+BAE=900+300=

4、1200.S陰影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP=4r2r2r2=（4）r 2.四、作公切線分析：相切兩圓過切點(diǎn)有一條公切線，這條公切線在解題時(shí)起著非常重要的作用，如本題中，所作的內(nèi)公切線MN起到溝通兩圓的作用.因此，相切兩圓過切點(diǎn)的公切線是常用輔助線.例已知：O1和O2外切于點(diǎn)A，是O1和O2外公切線，、為切點(diǎn).求證：A證明：過切點(diǎn)作公切線交于點(diǎn)，是O1和O2外公切線，PBA=PAB，PAC=PCAPBA+PAB+PAC+PCA= 180 0.BAC= 90 0.A.五、切線判定分兩種：公共點(diǎn)未知作垂線、公共點(diǎn)已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線

5、是圓的切線.”，就是說，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時(shí)滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時(shí), 往往需要通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線,才能順利地解決問題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1無點(diǎn)作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例6已知：如圖，AB是半圓的直徑，ADAB于A， BCAB于B，若DOC= 90 0.求證：DC是半圓的切線.分析：DC與O沒有交點(diǎn)，“無點(diǎn)作垂線”，過圓心O作OEDC，只需證OE等于圓的半徑.因?yàn)锳O為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在DEO、D

6、AO中，如何證明DEODAO呢？證明：作OEDC于E點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF.圖1 圖2又DOC= 90 0. FO=FD1=3. ADAB，BCAB,BCAD,OF為梯形的中位線.OFAD . 2=3.1=2.DO是ADE的角平分線. OADA，OEDCOA=OE=圓的半徑. DC是半圓的切線.2有點(diǎn)連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點(diǎn)與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例7AB為O的直徑，BC為O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證：CD是O的切線.分析：D在O上，“有點(diǎn)連圓心”，連結(jié)DO，證明DODC即可. 證明：連結(jié)DO，OCAD DAO=COB，D

7、AO=DOCDOC=COB，又OC=OC，DO=BODOCBOC ODC=OBC，BC為O的切線，切點(diǎn)為BOBC=900，ODC=900，又D 在O上，CD是O的切線.一、證明解答題1已知：P是O外一點(diǎn)，PB，PD分別交O于A、B和C、D，且AB=CD.求證：PO平分BPD.2如圖，ABC中，C=90，圓O分別與AC、BC相切于M、N，點(diǎn)O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圓O的半徑.3已知如圖1：ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，BC切O于E點(diǎn).求證：AD也和O相切.4如圖2，學(xué)校A附近有一公路MN，一拖拉機(jī)從P點(diǎn)出發(fā)向PN方向行駛，已知NPA=30，AP=160米，假使拖拉機(jī)行使時(shí)，A周圍100米以內(nèi)受到噪音影響，問：當(dāng)拖拉機(jī)向PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪音影響？請(qǐng)說明理由.如果拖拉機(jī)速度為18千米小時(shí)，則受噪音影響的時(shí)間是多少秒？6如圖，O2是O1 上的一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心，O