帶電粒子在有界磁場中運動和復合場運動題型和解題技巧

1、 .wd.帶電粒子在有界磁場中運動及復合場運動題型及解題技巧近年來在考題中屢次出現(xiàn)求磁場的最小范圍問題；或帶電粒子在空間運動范圍問題，這類題對學生的平面幾何知識與物理知識的綜合運用能力要求較高。其難點在于帶電粒子的運動軌跡不是完整的圓，其進入邊界未知的磁場后一般只運動一段圓弧后就飛出磁場邊界，運動過程中的臨界點如運動形式的轉(zhuǎn)折點、軌跡的切點、磁場的邊界點等難以確定。一、對稱法 帶電粒子如果從勻強磁場的直線邊界射入又從該邊界射出，那么其軌跡關(guān)于入射點和出射點線段的中垂線對稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等如圖1；帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強磁場，那么其射出磁場時速度

2、延長線必過圓心如圖2。利用這兩個結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運動軌跡，找出相應的幾何關(guān)系。例1如圖3所示，直線MN上方有磁感應強度為B的勻強磁場。正、負電子同時從同一點O以與MN成30°角的同樣速度v射入磁場電子質(zhì)量為m，電荷為e，它們從磁場中射出時相距多遠？射出的時間差是多少？解析：正、負電子的半徑和周期是一樣的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡如圖4，由對稱性知：射入、射出點和圓心恰好組成正三角形。所以兩個射出點相距s=2r=，由圖還看出經(jīng)歷時間相差，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對稱。例2如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個勻強磁場。一帶電粒子以速度v0從

3、M點沿半徑方向射入磁場區(qū)，并由N點射出，O點為圓心。當MON120°時，求：帶電粒子在磁場區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場區(qū)中的運動時間。解析：分別過M、N點作半徑OM、ON的垂線，此兩垂線的交點O'即為帶電粒子作圓周運動時圓弧軌道的圓心，如圖6所示。由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧MN所對的軌道圓心角為60°，O、O'的邊線為該圓心角的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為R=r/tan30°=又帶電粒子的軌道半徑可表示為： 故帶電粒子運動周期：帶電粒子在磁場區(qū)域中運動的時間二、旋轉(zhuǎn)圓法在磁場中向垂直于磁場的各個方向發(fā)射速度大小一樣的帶電粒子時，帶電粒子的運動軌

4、跡是圍繞發(fā)射點旋轉(zhuǎn)的半徑一樣的動態(tài)圓如圖7，用這一規(guī)律可快速確定粒子的運動軌跡。例3如圖8所示，S為電子源，它在紙面360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為v0，質(zhì)量為m，電量為q的電子q<0，MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為mv0/qL，求擋板被電子擊中的范圍為多大？解析：由于粒子從同一點向各個方向發(fā)射，粒子的軌跡為繞S點旋轉(zhuǎn)的動態(tài)圓，且動態(tài)圓的每一個圓都是逆時針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡，如圖9所示，最高點為動態(tài)圓與MN的相切時的交點P，最低點為動態(tài)圓與MN相割，且SQ為直徑時Q為最低點，帶電粒子在磁

5、場中作圓周運動，由洛侖茲力提供向心力，由 得：SQ為直徑，那么：SQ=2L，SO=L ，由幾何關(guān)系得：P為切點，所以OPL ，所以粒子能擊中的范圍為。例42010全國新課程卷如圖10所示，在0xA0y范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小一樣，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的：1速度

6、大??；2速度方向與y軸正方向夾角正弦。解析：設粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運動的半徑為R，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：，解得：。從O點以半徑RRa作“動態(tài)圓，如圖11所示，由圖不難看出，在磁場中運動時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切。設該粒子在磁場中的運動時間為t，依題意，所以OCA。設最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為，由幾何關(guān)系得：，再加上，解得：，三、縮放圓法帶電粒子以大小不同，方向一樣的速度垂直射入勻強磁場中，作圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動態(tài)圓如圖12，利用縮放的動態(tài)圓，可以探索出臨界點的軌跡，使問題得到解決

7、。例5如圖13所示，勻強磁場中磁感應強度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強磁場射入，入射方向與邊界的夾角為，電子的質(zhì)量為m，電量為e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。解析：如圖14所示，當入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，設此時的速率為v0，帶電粒子在磁場中作圓周運動，由幾何關(guān)系得：r+rcos=d電子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力：，所以：聯(lián)立解得：，所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于。例62010全國II卷如圖15所示，左邊有一對平

8、行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U，兩板間有勻強磁場，磁感應強度為B0，方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFGEF邊與金屬板垂直，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里。假設一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點H射入磁場區(qū)域。不計重力。1這些離子中的離子甲到達邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量；2這些離子中的離子乙從EG邊上的I點圖中未畫出穿出磁場，且GI長為3a/4，求離子乙的質(zhì)量；3假設這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，

9、而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達？解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，那么有：qvB0=qU/d，解得離子的速度為：v=U/B0d為一定數(shù)值。雖然離子速度大小不變，但質(zhì)量m改變，結(jié)合帶電離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑公式R=mv/qB分析，可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場中的運動軌跡，如圖16中的動態(tài)圓。1由題意知，離子甲的運動軌跡是圖17中的半圓，半圓與EG邊相切于A點，與EF邊垂直相交于B點，由幾何關(guān)系可得半徑：R甲=acos30°tan15°=a，從而求得離子甲的質(zhì)量m甲=。2離子乙的運動軌跡如圖18所示，在EIO2中，

10、由余弦定理得：，解得R乙=a/4，從而求得乙離子的質(zhì)量m乙=。關(guān)于帶電粒子在電場的運動問題，高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，下面我們先看一個例題：例：如下圖，質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子以平行于極板的初速度v0射入長L板間距離為d的平行板電容器間，兩板間電壓為U，求射出時的側(cè)移、偏轉(zhuǎn)角和動能增量解：分解為兩個獨立的分運動：平行極板的勻速運動運動時間由此分運動決定，垂直極板的勻加速直線運動，偏角：，得：穿越電場過程的動能增量是：EK=qEy 注意，一般來說不等于qU，從例題可以得出結(jié)論有三：結(jié)論一、不同帶電粒子從靜止進入同一電場加速后再垂直進入同一偏轉(zhuǎn)電場，射出時的偏轉(zhuǎn)角度總和位移偏轉(zhuǎn)量y是一樣的，與粒子的q

11、、m無關(guān)。例1如下圖，電子在電勢差為U1的加速電場中由靜止開場運動，然后射入電勢差為U2的兩塊平行極板間的電場中，射入方向跟極板平行，整個裝置處在真空中，重力可忽略，在滿足電子能射出平行板區(qū)的條件下，下述四種情況中，一定能使電子的偏轉(zhuǎn)角變大的是 AU1變大、U2變大BU1變小、U2變大CU1變大、U2變小DU1變小、U2變小解析：電子在加速電場中由動能定理得,電子在偏轉(zhuǎn)電場中有： 由以上各式得：，可知要使增大必然U2變大，U1變小，應選B答案：B結(jié)論二、粒子垂直進入電場偏轉(zhuǎn)射出后，速度的反向延長線與初速度延長線的交點為粒子水平位移中點。粒子好似是從中點直線射出！例2證明：在帶電的平行金屬板電容

12、器中，只要帶電粒子垂直電場方向射入不一定在正中間，且能從電場中射出如下圖，那么粒子射入速度v0的方向與射出速度vt的方向的交點O必定在板長L的中點證明：粒子從偏轉(zhuǎn)電場中射出時偏距，粒子從偏轉(zhuǎn)電場中射出時的偏向角，作粒子速度的反向延長線，設交于O點，O點與電場邊緣的距離為x，那么?？芍Ｗ訌钠D(zhuǎn)電場中射出時，就好似是從極板間的處沿直線射出似的，即證。結(jié)論三、粒子垂直飛入電場偏轉(zhuǎn)射出時，速度偏轉(zhuǎn)角正切值等于位移偏轉(zhuǎn)角正切值的兩倍。例32009山東如圖甲所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，第一四象限有磁場，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸間右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度一樣、重力不計的帶電粒子在03t時間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓不考慮極邊緣的影響。t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在t0時，刻經(jīng)極板邊緣射入磁場。上述m、q、l、l0、B為量。不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況1求電壓U的大小。2求時進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑。解析：1時刻進入兩極板的帶電粒子在電