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1、第三節(jié) 函數(shù)的極值與最大值、最小值 一、函數(shù)極值的定義 二、函數(shù)極值的判定和求法三、函數(shù)的最大值和最小值 1. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a ,b上的最大值和最小值 一般方法:求出所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值,并與端點(diǎn)的函數(shù)值直接比較即知最值。 例1 求函數(shù) 在區(qū)間-2 ,6上的最大值和最小值。593)(23xxxxf 2. 一個(gè)特殊情形 結(jié)論:若函數(shù)f(x)在一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且有唯一的極值點(diǎn)x0,則當(dāng)f(x0)為極大小值時(shí),f(x0)就是f(x)在該區(qū)間內(nèi)的最大小值。 例2 求函數(shù) 的最大值。342xxy3. 實(shí)際問(wèn)題 在實(shí)際問(wèn)題中,若函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)x0,且從實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道
2、f(x)在該區(qū)間內(nèi)必有最值,則f(x0)就是所要求的最值不必判斷)。 例3 用邊長(zhǎng)為48厘米的正方形鐵皮做一 個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí),在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形,然后把四邊折起,就能焊成鐵盒。問(wèn)怎樣截才能使鐵盒容積最大?48x48-2x48-2xx 例4 如圖所示的電路中,已知電源電壓為 E,內(nèi)阻為r,求負(fù)載電阻R為多大時(shí),輸出功率最大?rER第四節(jié) 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 一、凹凸性 定義 如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其上任一點(diǎn)切線的上方,則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)為凹的;如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其上任一點(diǎn)切線的下方,則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)為凸的。OxyABCDE 例如,右圖中,曲線弧 ABC在
3、區(qū)間(a ,c)內(nèi)是凸的;弧CDE 在區(qū)間(c ,b)內(nèi)是凹的。acb 幾何上,對(duì)于凹的曲線弧,切線的斜率隨x的增大而增大,即 為x的增函數(shù),即 )(xf )(xf 0。對(duì)于凸的曲線弧,切線的斜率隨x的增大而減小,即 為x的減函數(shù),即 。)(xf 。0)( xf 定理凹凸性判定定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)。 (1若在(a ,b)內(nèi) ,則曲線y=f(x)在(a ,b)內(nèi)為凹的;0)( xf (2若在(a ,b)內(nèi) ,則曲線y=f(x)在(a ,b)內(nèi)為凸的。0)( xf凹凸 例1 判定曲線 的凹凸性。xy1 x +)0 ,(), 0( y xy1 例2 判定曲線y=x3
4、的凹凸性。 x 0 0 +y=x3)0 ,(), 0( y 二、拐點(diǎn)的定義和求法 定義 連續(xù)曲線上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)。例如,例2中的點(diǎn)(0,0)即為曲線y=x3的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的求法:(1確定函數(shù)y=f(x)的定義域(2求出)(xfy (3令 ,解出這個(gè)方程在函數(shù)y= f(x)的定義域內(nèi)的實(shí)根0 y (4對(duì)于解出的方程 的每個(gè)實(shí)根x0,考察 在x0左右近旁的符號(hào)。假設(shè)0 y)( xf 的符號(hào)相反,則點(diǎn)(x0,f(x0)為拐點(diǎn);否則不是拐點(diǎn)。)( xf 例3 求曲線 的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。233xxy x 1 0 +曲線y=f(x) 拐點(diǎn)(1,-2) 1 ,(), 1 ( y
5、例4 判斷曲線 是否有拐點(diǎn)?1) 12(4xy 三、函數(shù)圖形的描繪微分法作圖) 例5 用微分法作函數(shù) 的圖象。xxy331 x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1) 1,(), 1 ( 曲線 極大值 拐點(diǎn) 極小值yy + 0 0 +y=f(x) (0,0) 0 + + +323232132-1Oxxy33112-2xy33-1 有時(shí),還可結(jié)合所謂水平、垂直漸近線作圖。 定義 對(duì)于函數(shù)y=f(x),假設(shè)bxfxxx)(lim)()(存在,則稱直線y=b 為曲線y=f(x)的水平漸近線;假設(shè))(lim)0()0(000 xfxxxxxx存在,則稱直線x=x0 為曲線y=f(x)的垂直漸近線。 例如,直線y=1及x=2分別為曲線 的水平和垂直漸近線。121xyOyx1 2 31y=1121xy 注意:曲線是由雙曲線 平移而得到的。xy1x=2 用微分法作函數(shù)圖象的一般步驟:(1求函數(shù)的定義域 (2判斷函數(shù)的有界性、奇偶性、周期性 (3求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),并解出駐點(diǎn);求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),解出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) (4用函數(shù)的駐點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間,列出一個(gè)綜合表,以綜合判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值及曲線的凹凸性和拐點(diǎn)包括凸增、凸減、凹增、凹減等) (5判斷曲線有無(wú)水平或垂直漸近線若有的話,則求出之
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