考點透析11.三角證明與計算(陳飛林)docdoc

1、考點透析 11：三角證明與計算【考點聚焦】考點 1：同角的三角函數(shù)關(guān)系式；考點 2：誘導(dǎo)公式；考點 3：和、差、倍角公式考點 4：正弦定理、余弦定理、面積公式?！究碱}形式】與倍角公式有關(guān)的計算與證明?！究键c小測】1.cos43° cos77°+sin43° cos167°的值為解析： cos43°cos77°+sin43 °cos167°= cos43 cos77sin 43 sin77cos120 = 1 22已知 f(cosx)=cos3x，則 f(sin30o)的值為 13. 如果 cos1，且是第四象限的角

2、，那么cos() 52解： 已知cos(2 )sin(12)2 6 ；cos54. 已知 (,)， sin=3,則 tan()=254解：由(,),sin3 , 則 tan3， tan(4) =1tan1 ，。2541tan75已知 sin= 3 ， (， )， tan()=1 ，則 tan( 2)=_523 (4 )2tan27tan( 2tan43)tantan 2342411()(436設(shè) (, 3)， (0，) ，cos()=3 ， sin( 3+)=5 ，則 sin(+)=_ 56444456sin4cos13657.已知 tan=2，則 tan() =；=。3sin2cos24解：

3、（ I） tan=2, tan2 tan22 24 ;21tan21432tantan4tan14所以 tan()=11 ；1tan341tantan14743（ II ）由 (I), tan = 43, 所以 6sincos= 6 tan1=6()1.43sin2cos3tan237463(2)38.（江蘇卷） cot 20cos103 sin 10 tan 70 2 cos 40【思路點撥】本題考查三角公式的記憶及熟練運用三角公式計算求值解： cot 200 cos1003 sin10 0 tan 7002cos 400cos200 cos1003 sin10 0 sin 7002cos

4、400sin 200cos 700cos20 0 cos1003 sin10 0 cos 20 02cos 400cos 200 (cos10 003 sin10 0 )2cos 400sin 200sin 20cos200 (cos1003 sin100 )2cos 4002cos 200 (cos100 sin 300sin100 cos30 0 )2cos 400sin 200sin 2002cos 200 sin 4002sin 200 cos4002sin 200【典型考例】【問題 1】“拆項”與“添項”巧湊“和角、差角”公式例 1（ 1）例 2已知：sin 7cos15sin 83

5、 ；（ 2） 2 cos10sin 20 =3cos7sin 15= 2sin 8cos 20tan()2 , tan()1，求： tan() 的值.3524422點評：進行三角變換的技巧常常是變角注意角的和、差、倍、半、互余、互補關(guān)系，根據(jù)實際情況，對角進行“拆”或“添”變形，這樣可以大大減少運算量.【問題 2】弦切互化 例3P44例1例 4 P44例 2P46 T5（安徽卷） 已知 02,sin4（）求 sin2sin 2的值；（）求 tan(5) 的值。5cos2cos244322解：()由0,sin，所以sinsin 2 sin2sincos20 。，得 cos525cos2cos23

6、cos21（） tansin4， tan(5)tan1 1 ?！締栴} 3】 sincos341tan7cos與 sincos對偶互化例 5 已知2x0,sin xcos x1 .（I ）求 sinx cosx 的值；53sin2x2 sin x cos xcos2x（）求2tan x222的值.cot x思路分析： 將 sinx-cosx= 1 平方，求出 sinxcosx 的值，進而求出（ sinx-cosx）2，然后由角的范圍確定sinx-cosx的符號 .5解法一：（）由 sin xcos x1,平方得 sin 2 x2 sin x cos x cos2 x1 ,525即 2 sin x

7、 cos x24 .(sin xcos x) 212sin x cos x49 .25257 .又2x0,sin x0, cos x0, sin xcos x0, 故 sin xcos x52xxx2x2x( 12)1)108（） 3sin2sin2cos2cos22 sin2sin x1sin x cosx(2cosxsin x)(2tan xcot xsin xcosx255125cos xsin x解法二：（）聯(lián)立方程sin xcosx1 ,5sin 2cos2 x1.1由得 sin xcos x, 將其代入，整理得25 cos2x5cos x 120,534s i nx3 ,故 sin

8、 xcos x7 .c o sxx 0,5或 c o sx.4 .5552c o sx53sin2xsin x cos xcos2 x2 x（）22222 sin2sin x1tan xcot xsin xcos xcos xsin xsin xcos x(2cos xsin x)( 3)4( 243)1085555125點評：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)在各象限符號等基本知識，以及推理和運算能力.例 6 ：已知 sin()7 2 , cos27,求 sin及 tan(3) .41025解法一： 由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得7 2sin()2 (sincos)

9、即 sincos71042，5由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得7cos2cos2sin 2(cossin)(cossin)7(cossin)2515故 cossin53 , cos43 ，由兩角和的正切公式由式和式得sin.因此， tan5354tan3343348253tan()413 tan3343311.414解法二： 由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得7cos212sin 225解得 sin 29,即 sin3由 sin()72 , 可得 sincos72554105由于 sin7cos0,且 cossin70 ，故在第二象限，于是sin355.745從而 cossin5，以下同解法一

10、.5【問題 4】向量與三角小綜合例 7 已知向量 m(cos,sin)和 n(2 sin ,cos),(,2 ), 且 mn82 ，5求 cos() 的值.28解法一： m n (cossin2, cossin)m n( c o s s i n2) 2( c o s s i n ) 24 2 2( c o s s i n )4 4 cos()21cos()44由已知 mn82，得 cos(4)7又 cos()2cos2 () 1525428所以 cos2 ()162,5289cos(8)0c o s ()282588228解法二：m n (m n) 2m 22m n n 22n22m nm22

11、222222 c o s( 2 s i n ) s i n c o s( c o ss i n )( ( 2 s i n )c o s )42 2 (cossin)41cos(4)8 cos2 (28) 由已知 mn82，得 cos()528259cos()0c o s ()4,2885828284545例 7 已知A, B,C是三角形ABC三內(nèi)角， 向量m1,3 , ncos A,sin A，且（）m n 1.求角 A ；（）若1sin 2B3，求 tan B .cos2Bsin 2 B解：（） mn11,3cos A,sin A1即3 sin Acos A1 2sin A3cos A 11

12、 ,22sinA1 0A,A5 A A66666362（）由題知 12sin B cos B3 ，整理得 sin 2 Bsin B cos B2cos 2 B0cos2 Bsin2 B cosB0 tan2 Btan B20 tanB2 或 tan B1而 tan B1使 cos2 Bsin 2 B0 ，舍去 tan B2 tan CtanABtanA Btan Atan B238531 tan A tan B12311例 9 已知向量 a(cos ，sin )， b= (cos ，sin )，| ab |2 5，55(1)求 cos( ) 的值； (2) 若0 0，且 sin，求 sin 的

13、值。，2213解： (1) 因為 a(cos ，sin )， b=(cos ，sin )，所以 ab(cos cos ，sin sin )，又因為 | a b |25，所以 (cos cos )2(sin sin )225 ，54，cos( )35即 22cos( )；5534 ，0， ，又因為 ，所以sin( (2)，220 0cos()5)5sin 5，所以 cos 12，所以 sin sin( )63131365例 10 平面直角坐標系有點P(1, cos x), Q(cos x,1), x4, 求向量 OP 和 OQ 的夾角的余弦用x 表示的函數(shù)f ( x) ；求4的最值 .解：（ 1

14、）OP OQOPOQcos，cos xcosx(1cos2 x) coscos12 cosxxcos2即f ( x)2cos x(x)1cos2 x44（ 2）cos2，又cos x132，1cos x 2,cosx2cosx2 2cos,1，min0 ，max arccos2 2 .3【問題 6】函數(shù)與三角小綜合例 11 已知函數(shù) f ( x) 4x3 3x2 cos1, 其中 x R, 為參數(shù)，且 02 . （ I ）當(dāng) cos032時，判斷函數(shù) f (x) 是否有極值；（ II ）要使函數(shù)f (x) 的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍； （ III ）若對（ II ）中所求的取值范圍內(nèi)的任

15、意參數(shù)，函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 (2 a 1,a) 內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a 的取值范圍。解：本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力。滿分12 分。（ I）解：當(dāng) cos0時 f ( x)4x31, 則 f ( x) 在 (,) 內(nèi)是增函數(shù)，故無極值。32cos .（ II ）解： f '( x)12 x26xcos , 令f '( x) 0,得 x0, x122由 02及（ I），只需考慮 cos0 的情況。當(dāng) x 變化時， f '( x) 的符號及 f (x) 的變化情況如下表：x(,0)0(0, cos )

16、cos( cos , )f '(x)22200f (x)極大值極小值因此，函數(shù)f (x) 在 xcos處取得極小值f ( cos ), 且f ( cos)1 cos31 .222432要使 f ( cos) 0,必有1 cos310, 可得 0 cos1 ,所以322432,0) 與 ( cos ,2（ III ）解：由（ II ）知，函數(shù)f (x) 在區(qū)間 () 內(nèi)都是增函數(shù)。2由題設(shè)，函數(shù)f (x) 在 (2 a1,a) 內(nèi)是增函數(shù)，則 a 須滿足不等式組2a1aa02a1a或12a1cos2由（ II），參數(shù)( ,)時， 0cos1 .要使不等式 2a11 cos 關(guān)于參數(shù)恒成立

17、，必有32222a 11 . 綜上，解得a0 或5a1. 所以 a 的取值范圍是 (,0 5 ,1).488課后訓(xùn)練一、選擇題：1設(shè)函數(shù) f (x)asin xbcos x 圖象的一條對稱軸方程為x4,則直線 axbyc0 的傾斜角為32A.B.C.D.44332已知 tan()2 , tan()3，那么 tan()A.1B.1C.13D.13542245418223若函數(shù) f(x) 同時具有以下兩個性質(zhì)： f(x) 是偶函數(shù)， 對任意實數(shù)x，都有 f(x )= f(4x )，則 f(x)4的解析式可以是A f(x)=cosxBf(x)=cos(2x)Cf(x)=sin(4x)D f(x) =

18、cos6x224把函數(shù) ycos x3 sin x 的圖象沿向量 a( m, m)( m0)的方向平移后，所得的圖象關(guān)于y 軸對稱，則 m 的最小值是A B C253D5(0,2)cosx636內(nèi)，使sin x tan x成立的x 的取值范圍是在（A） (, 3) （B）( 5,3 ) （C）（ 3 ,2）（D）(3 ,7 )44422246函數(shù) y=cosx （ sinx+cosx）的最小正周期為 A4BCD227如果,，且 sin4，那么 sin4cos4A.4 2B.42C.3 2D.3 22555558已知 sin( x) 3 ，則 sin2x的值為（）A.19B.16C.14D.74

19、5252525259函數(shù) f(x) sin(x )3 cos(x )的圖像關(guān)于點（5， 0）對稱，則 的值是（）A. 2 10B. 5C.2k 2 10D . k 5 （ k Z）333310已知向量 oP1(cos, sin) ， oP2(1sin,1cos ) （ O 為原點，R ），則向量 P1 P2 的長度的最大值是（）A 2B 22C32D 4211曲線 y2sin( x) cos( x) 和直線 y1 在 y 軸右側(cè)的交點按橫坐標從小到大依次記為P1，P2，P3 ， ，則 | P2P4 |等于442A B 2C 3D 412已知ABC 中， a, b, c 分別為角 A, B,C

20、所對的邊，且 a4 ， bc5 ，tan Atan B33 tan Atan B ，則3（B） 33 （C）33ABC 的面積為（ A ）3（ D）二、填空題：222設(shè)向量 p(ac,b)q(ba, ca)p / q 則13ABC的三內(nèi)角A, B,C所對邊的長分別為a, b, c,若,角 C =314對于函數(shù)f (x) sin x ,sinxcosx（ xR ），則它的值域為;cosx ,sin xcos x15已知 sin 4 ， cos( ) 3 ， 、 （ 0，），則 sin2 的值為。55216定義運算 ab 為： aba ab , 例如， 121 ,則函數(shù) f (x)sin xcosx 的值域為b ab三、解答題：1已知 tan2 ，求（ 1） cossin；（ 2） sin 2sin.cos2 cos2的值 .cossin解：（ 1） cos1sin；sincos1tan1232cossinsin1tan1221cossin 22 cos2(2)sin2sincos2 cos2sincossin2sin 2cos2sin222242 .cos2cossin21213cos25sin42 (上海卷 )已知是第一象限的角，且cos，求的值。13cos 24sin()=2 (cossin)2 (co