數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽-簡(jiǎn)介

1、風(fēng)洞中的飛機(jī)風(fēng)洞中的飛機(jī)物理模型物理模型地圖、電路圖地圖、電路圖符號(hào)模型符號(hào)模型模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物替代物。模型模型集中反映了原型中集中反映了原型中人們需要人們需要的那一部分特征的那一部分特征.我們常見(jiàn)的模型什么是數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型一、什么是數(shù)學(xué)一、什么是數(shù)學(xué) 建模建模玩具、照片玩具、照片實(shí)物模型實(shí)物模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模指建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程。指建

2、立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程。包括模型建立、求解、分析、檢驗(yàn)包括模型建立、求解、分析、檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)根據(jù)其內(nèi)規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐過(guò)程實(shí)踐過(guò)程. 即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后理過(guò)程后, 將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，以建立起數(shù)將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，以建立起數(shù)學(xué)模型學(xué)模型, 然后

3、運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解求解. 觀點(diǎn)：觀點(diǎn)：“所謂所謂高科技高科技就是一種就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)技術(shù)”數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系1. 解釋解釋孟德?tīng)栠z傳定律的孟德?tīng)栠z傳定律的“3:1”數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模三大功能三大功能解釋解釋, 判斷判斷, 預(yù)見(jiàn)預(yù)見(jiàn) 美國(guó)原子能委美國(guó)原子能委員會(huì)提出如下處理員會(huì)提出如下處理濃縮放射性廢物：濃縮放射性廢物：封裝入密封性很好封裝入密封性很好的堅(jiān)固的圓桶中，的堅(jiān)固的圓桶中，沉入沉入300ft的海里的海里，而一些工程師提出而一些工程師提出質(zhì)疑？需要判斷方質(zhì)疑？需要判斷方案的合理性。案的合理性。2.判斷判斷放射性廢物處理放射性廢物處

4、理Rr Rr)( Rr RRRrrRrr3.預(yù)見(jiàn)預(yù)見(jiàn)谷神星的發(fā)現(xiàn)谷神星的發(fā)現(xiàn) nR234101 行星的軌行星的軌道半徑道半徑5 ,4 ,2 , 1 ,0 ,10 n?水、金、地、火、木、土水、金、地、火、木、土1781年年, 利用這個(gè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)了天王利用這個(gè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)了天王星星, 1802年，發(fā)現(xiàn)了谷神星與年，發(fā)現(xiàn)了谷神星與3對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)(有故事有故事)，之后還發(fā)現(xiàn)了海王星、，之后還發(fā)現(xiàn)了海王星、冥王星。冥王星。浮浮Fvf08. 0 阻阻重重Fsftv/40300 ? 你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型航行問(wèn)題航行問(wèn)題用用x表示船速，表示船速，y表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(

5、75030)( yxyx求解得到求解得到 x=20=20, , y=5,=5,答：船速每小時(shí)答：船速每小時(shí)2020公里公里. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫泄?，船從甲到乙順?biāo)叫行栊?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少？度是多少？航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)作出簡(jiǎn)化假設(shè)(船速、水速為常數(shù)船速、水速為常數(shù), 方向一致方向一致); 用符號(hào)表示有關(guān)量用符號(hào)表示有關(guān)量(x, y表示船速和水速表示船速和水速)； 用物理定律用物理定律(勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以勻速運(yùn)動(dòng)的距離等

6、于速度乘以 時(shí)間時(shí)間)列出數(shù)學(xué)式子列出數(shù)學(xué)式子(二元一次方程二元一次方程)； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20公里）。公里）。錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的用途錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的用途問(wèn)問(wèn)題題經(jīng)試驗(yàn)，一盤錄像帶從頭走到尾，經(jīng)試驗(yàn)，一盤錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了時(shí)間用了183分分30秒，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從秒，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到變到6152。在一次使用中錄在一次使用中錄像像帶已帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4580，問(wèn)剩，問(wèn)剩下的一段還能否錄下下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？小時(shí)的節(jié)目？要要求求不僅僅回答問(wèn)題不僅僅回答

7、問(wèn)題, 而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄錄像像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系關(guān)系一個(gè)數(shù)學(xué)模型一個(gè)數(shù)學(xué)模型!思考思考本題中計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？本題中計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？日常問(wèn)題：日常問(wèn)題：常見(jiàn)的錄音機(jī)的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)是勻速的嗎常見(jiàn)的錄音機(jī)的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)是勻速的嗎?問(wèn)問(wèn) 題題 分分 析析錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理0000左輪盤左輪盤右輪盤右輪盤磁頭磁頭主動(dòng)輪主動(dòng)輪壓輪壓輪計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)器錄象帶錄象帶錄象帶運(yùn)動(dòng)方向錄象帶運(yùn)動(dòng)方向錄象帶運(yùn)動(dòng)錄象帶運(yùn)動(dòng)右輪盤半徑增大右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄象帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)錄象帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢計(jì)數(shù)器讀數(shù)增

8、長(zhǎng)變慢觀察或分析觀察或分析: 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！模 型 假 設(shè) 錄象帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)錄象帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) v ； 計(jì)數(shù)器讀數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記成正比，記 m=kn； 錄象帶厚度錄象帶厚度(含夾在兩圈間的空隙含夾在兩圈間的空隙)為常數(shù)為常數(shù) w； 空右輪盤半徑記作空右輪盤半徑記作 r ； 時(shí)間時(shí)間 t=0 時(shí)讀數(shù)時(shí)讀數(shù) n=0 .建 模 目 的建立建立時(shí)間時(shí)間t與讀數(shù)與讀數(shù)n之間的關(guān)系之間的關(guān)系( (設(shè)設(shè)v，k ，w ，r 為已知參數(shù)為已知參數(shù)) )模 型 建 立建立建立t與與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法的函數(shù)關(guān)系有多種方法:1. 右輪盤

9、轉(zhuǎn)過(guò)第右輪盤轉(zhuǎn)過(guò)第 i 圈的半徑為圈的半徑為r+wi, m圈的總長(zhǎng)度圈的總長(zhǎng)度 等于錄象帶在時(shí)間等于錄象帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt, 所以所以 knm vtwirmi 1)(2 nvrkvwknnvwkt222222wkrktnnvvrw，舍掉一項(xiàng)模 型 建 立2. 考察右輪盤面積的考察右輪盤面積的變化變化,等于錄象帶厚度等于錄象帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度,即即wvtrwknr )(22 3. 考察考察t到到t+dt錄象帶在錄象帶在右輪盤纏繞的長(zhǎng)度右輪盤纏繞的長(zhǎng)度,有有vdtkdnwknr 2)(nvrknvwkt 222 思思 考考wvtrwknr )(22 vdtkdn

10、wknr 2)(1. 31. 3種建模方法得到同一結(jié)果種建模方法得到同一結(jié)果2.2.模型中有待定參數(shù)模型中有待定參數(shù),kvwr 確定參數(shù)的一種辦法是測(cè)量或調(diào)查，試設(shè)計(jì)確定參數(shù)的一種辦法是測(cè)量或調(diào)查，試設(shè)計(jì)測(cè)量方法測(cè)量方法參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì).nvrknvwkt 222 vtwirni 1)(2 參 數(shù) 估 計(jì)將模型改記作將模型改記作,2bnant只需估計(jì)只需估計(jì),ba理論上，已知理論上，已知t=183.5, n=6152, 再有一組再有一組(t, n)數(shù)據(jù)即可；數(shù)據(jù)即可；實(shí)際上實(shí)際上, 由于測(cè)試有誤差由于測(cè)試有誤差, 最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合。最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合。若現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)若現(xiàn)有一批

11、測(cè)試數(shù)據(jù)：用用最小二乘法最小二乘法可得可得.1044.1,1051.226 ba模模 型型 檢檢 驗(yàn)驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停簯?yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停篵nant 2)1044.1,1051.2(26 ba模模 型型 應(yīng)應(yīng) 用用回答提出的問(wèn)題：由模型算得回答提出的問(wèn)題：由模型算得 n = 4580 時(shí)時(shí) t = 118.5分分, 剩下的錄象帶能錄剩下的錄象帶能錄 183.5-118.5 = 65分鐘的節(jié)目，可分鐘的節(jié)目，可以錄制以錄制60分鐘的節(jié)目。分鐘的節(jié)目。2. 揭示了揭示了“t 與與 n 之間呈二次函數(shù)關(guān)系之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)這一普遍規(guī) 律，當(dāng)錄象帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需

12、重新估計(jì)律，當(dāng)錄象帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì) a, b 即可。即可?；痉椒C(jī)理分析機(jī)理分析測(cè)試分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律。映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律。將研究對(duì)象看作將研究對(duì)象看作“黑箱黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型二者結(jié)合二者結(jié)合 機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),測(cè)試分析確定模型參數(shù)測(cè)試分析確定模型參數(shù) 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟機(jī)理分析機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究實(shí)例研究(Case Stu

13、dies)來(lái)學(xué)習(xí)來(lái)學(xué)習(xí).以下建模主要指機(jī)理分析以下建模主要指機(jī)理分析.數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 的的 一一 般般 步步 驟驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的分類：數(shù)學(xué)模型的分類： 按研究按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型等。論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型等。 按研究按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域?qū)ο蟮膶?shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模分：人

14、口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。為了便于學(xué)習(xí)掌握，可對(duì)數(shù)學(xué)模型做適當(dāng)為了便于學(xué)習(xí)掌握，可對(duì)數(shù)學(xué)模型做適當(dāng)?shù)姆诸悾旱姆诸悾簲?shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 的的 重重 要要 意意 義義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。越來(lái)越受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)計(jì)算機(jī)技術(shù)如虎添翼如虎添翼知識(shí)經(jīng)濟(jì)知識(shí)經(jīng)濟(jì)編程寫作 盡可能地讓不同專業(yè)的學(xué)生組成一隊(duì)，以利學(xué)科交叉； 盡可能地讓能力、素質(zhì)方面不同的學(xué)生（創(chuàng)新能力強(qiáng)的，認(rèn)真踏實(shí)的，有組織能力的，文筆好的，）組成