最短路徑專題-含答案(共226頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上最短路徑專題 含答案 1. 某同學(xué)的茶杯是圓柱體，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從 A 處爬行到對面的中點 B 處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖解：如圖1，將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形，如圖示，則 A，B 分別位于如圖所示的位置，連接 AB，即是這條最短路線圖問題：某正方形盒子，如圖左邊下方 A 處有一只螞蟻，從 A 處爬行到側(cè)棱 GF 上的中點 M 點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖 2. 如圖，一圓柱體的底面周長為 24cm，高 AB 為 16cm，BC 是上底面的直徑一只昆蟲從點 A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點 C，求昆蟲

2、爬行的最短路程 3. 如圖一只螞蟻要從正方體的一個頂點 A 爬一個頂點 B，如果正方體棱是 2，求最短的路線長 4. 如圖，長方體的底面邊長分別為 2cm 和 4cm，高為 5cm，若一只螞蟻從 P 點開始經(jīng)過 4 個側(cè)面爬行一圈到達 Q 點，求螞蟻爬行的最短路徑長 5. 如圖，有一半徑為 2cm，高為 10cm 的圓柱體，在棱 AA1 的 P 點上有一只蜘蛛，PA=3cm，在棱 BB1 的 Q 點上有一只蒼蠅，QB2=2cm蜘蛛沿圓柱爬到 Q 點吃蒼蠅，請你算出蜘蛛爬行的最短路線長（ 取 3.14；結(jié)果精確到 0.01cm） 6. 一只蜘蛛在一個正方體的頂點 A 處，一只蚊子在正方體的頂點

3、B 處，如圖所示，假設(shè)蚊子不動，現(xiàn)在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來，這樣的最短路線有幾條? 7. 如圖，圓柱的高為 8cm，底面直徑 4cm，在圓柱下底面的 A 點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與 A 點相對的 B 點處的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?3 8. 如圖 1，是一個長方體盒子，長 AB=4，寬 BC=2，高 CG=1（1）一只螞蟻從盒子下底面的點 A 沿盒子表面爬到點 G，求它所行走的最短路線的長（2）這個長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒的長度為多少? 9. 如圖，ABC 中，AB=BC，BEAC 于點 E，ADBC 于點 D，BAD=45，

4、AD 與 BE 交于點 F，連接 CF（1）求證：BF=2AE；（2）若 CD=2，求 AD 的長 10. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，AB=2，AD=1，ADC=60，將平行四邊形 ABCD 沿過點 A 的直線 l 折疊，使點 D 落到 AB 邊上的點 D 處，折痕交 CD 邊于點 E（1）求證：四邊形 BCED 是菱形；（2）若點 P 時直線 l 上的一個動點，請計算 PD+PB 的最小值 11. 已知，O 為 ABC 的外接圓，BC 為直徑，點 E 在 AB 上，過點 E 作 EFBC，點 G 在 FE 的延長線上，且 GA=GE（1）求證：AG 與 O 相切；（2）若 AC=6，A

5、B=8，BE=3，求線段 OE 的長 12. 已知拋物線 C1 的函數(shù)解析式為 y=ax22x3a，若拋物線 C1 經(jīng)過點 0,3（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若 Px1,y1，Qx2,y2，則 P，Q 兩點間的距離為 x2x12+y2y12）（1）求拋物線 C1 的頂點坐標(biāo)（2）已知實數(shù) x>0，請證明 x+1x2，并說明 x 為何值時才會有 x+1x=2（3）若將拋物線先向上平移 4 個單位，再向左平移 1 個單位后得到拋物線 C2，設(shè) Am,y1，Bn,y2 是 C2 上的兩個不同點，且滿足：AOB=90，m>0，n<0請你用含 m 的表達式表示出 AOB 的面積 S

6、，并求出 S 的最小值及 S 取最小值時一次函數(shù) OA 的函數(shù)解析式 13. 如圖，已知：四邊形 ABCD 中，E 為 AB 的中點，連接 CE，DE，CD=CE=BE，DEBC（1）求證：四邊形 ADCE 是菱形；（2）若 BC=6，CE=5，求四邊形 ADCE 的面積 14. 如圖，一個正方體木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角 A 處沿著木柜表面爬到柜角 C1 處（1）請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快達到目的地的可能路徑；（2）當(dāng)正方體木柜的棱長為 4 時，求螞蟻爬過的最短路徑的長 15. 如圖，四邊形 ABCD 為矩形，E 為 BC 邊中點，連接 A

7、E，以 AD 為直徑的 O 交 AE 于點 F，連接 CF（1）求證：CF 與 O 相切；（2）若 AD=2，F(xiàn) 為 AE 的中點，求 AB 的長 16. 已知圓錐的底面半徑為 r=20cm，高 h=2015cm，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點 A 出發(fā)在側(cè)面上爬行一周又回到 A 點，求螞蟻爬行的最短距離 17. 已知，點 P 是 RtABC 斜邊 AB 上一動點（不與 A，B 重合），分別過 A，B 向直線 CP 作垂線，垂足分別為 E，F(xiàn)，Q 為斜邊 AB 的中點（1）如圖 1，當(dāng)點 P 與點 Q 重合時，AE 與 BF 的位置關(guān)系是  ，QE 與 QF 的數(shù)量關(guān)系是  ；

8、（2）如圖 2，當(dāng)點 P 在線段 AB 上不與點 Q 重合時，試判斷 QE 與 QF 的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖 3，當(dāng)點 P 在線段 BA（或 AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立?請畫出圖形并給予證明 18. 已知四邊形 ABCD 是平行四邊形，以 AB 為直徑的 O 經(jīng)過點 D，DAB=45（1）如圖，判斷 CD 與 O 的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖，E 是 O 上一點，且點 E 在 AB 的下方，若 O 的半徑為 3cm，AE=5cm，求點 E 到 AB 的距離 19. 圖，圖為同一長方體房間的示意圖，圖為該長方體的表面展開圖（1）已知蜘蛛在頂點 A 處；蒼蠅在

9、頂點 B 處時，試在圖中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；蒼蠅在頂點 C 處時，圖中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板 ABCD 爬行的最近路線 AGC 和往墻面 BBCC 爬行的最近路線 AHC，試通過計算判斷哪條路線更近；（2）在圖中，半徑為 10dm 的 M 與 DC 相切，圓心 M 到邊 CC 的距離為 15dm，蜘蛛 P 在線段 AB 上，蒼蠅 Q 在 M 的圓周上，線段 PQ 為蜘蛛爬行路線若 PQ 與 M 相切，試求 PQ 的長度的范圍 20. 如圖所示，長方體的長為 15cm，寬為 10cm，高為 20cm，點 B 與點 C 之間相距 5cm，一只螞蟻如果要沿著長方

10、體的表面從點 A 爬到點 B，需要爬行的最短距離是多少? 21. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，AB=3，BC=5，B=60，G 是 CD 的中點，E 是邊 AD 上的動點，EG 的延長線與 BC 的延長線交于點 F（1）求證：四邊形 CEDF 是平行四邊形；（2）當(dāng) AE=   時，四邊形 CEDF 是矩形；當(dāng) AE=   時，四邊形 CEDF 是菱形 22. 葛藤是一種植物，它自己腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一個絕招，就是它繞樹盤升的路線，總是沿最短路線螺旋前進的（1）如果樹的周長為 3m，繞一圈升高 4m，則它爬行路程是多少?（2）如果樹

11、的周長為 8m，繞一圈爬行 10m，則爬行一圈升高多少 m?如果爬行 10 圈到達樹頂，則樹干多高? 23. 實踐操作在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，現(xiàn)將紙片折疊，點 D 的對應(yīng)點記為點 P，折痕為 EF（點 E，F(xiàn) 是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原（1）初步思考若點 P 落在矩形 ABCD 的邊 AB 上（如圖）當(dāng)點 P 與點 A 重合時，DEF=   ，當(dāng)點 E 與點 A 重合時，DEF=   ；當(dāng)點 E 在 AB 上，點 F 在 DC 上時（如圖），求證：四邊形 DEPF 為菱形，并直接寫出當(dāng) AP=7 時菱形 EPFD 的邊長（2）深入探究若點 P

12、落在矩形 ABCD 的內(nèi)部（如圖），且點 E，F(xiàn) 分別在 AD，DC 邊上，請直接寫出 AP 的最小值（3）拓展延伸若點 F 與點 C 重合，點 E 在 AD 上，射線 BA 與射線 FP 交于點 M（如圖）在各種不同的折疊位置中，是否存在某一種情況，使得線段 AM 與線段 DE 的長度相等?若存在，請直接寫出線段 AE 的長度；若不存在，請說明理由 24. 如圖，已知拋物線 y=x2+bx+3 與 x 軸相交于點 A 和點 B（點 A 在點 B 的左側(cè)），與 y 軸交于點 C，且 OB=OC，點 D 是拋物線的頂點，直線 AC 和 BD 交于點 E（1）求點 D 的坐標(biāo)；（2）連接 CD，B

13、C，求 DBC 的余切值；（3）設(shè)點 M 在線段 CA 的延長線上，如果 EBM 和 ABC 相似，求點 M 的坐標(biāo) 25. 如圖，已知拋物線經(jīng)過原點 O，頂點為 A1,1，且與直線 y=x2 交于 B，C 兩點（1）求拋物線的解析式及點 C 的坐標(biāo)；（2）求證：ABC 是直角三角形；（3）若點 N 為 x 軸上的一個動點，過點 N 作 MNx 軸與拋物線交于點 M，則是否存在以 O，M，N 為頂點的三角形與 ABC 相似?若存在，請求出點 N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 26. 閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，點 E，F(xiàn) 分別在正方形 ABCD 的邊 BC，CD 上，EAF=4

14、5，連接 EF，則 EF=BE+DF，試說明理由小明是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對集中他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段 AB，AD 是共點并且相等的，于是找到解決問題的方法他的方法是將 ABE 繞著點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 得到 ADG，再利用全等的知識解決了這個問題（如圖2）參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，四邊形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90，點 E，F(xiàn) 分別在邊 BC，CD 上，EAF=45若 B，D 都不是直角，則當(dāng) B 與 D 滿足   關(guān)系時，仍有 EF=BE+DF；（2）如圖4，在 ABC

15、 中，BAC=90，AB=AC，點 D，E 均在邊 BC 上，且 DAE=45，若 BD=1，EC=2，求 DE 的長 27. 如圖，在 MNQ 中，MN=11，NQ=35，cosN=55在矩形 ABCD 中，BC=4，CD=3，點 A 與點 M 重合，AD 與 MN 重合，矩形 ABCD 沿著 MQ 方向平移，且平移速度為每秒 5 個單位，當(dāng)點 A 與點 Q 重合時停止運動（1）MQ 的長度是  ；（2）運動   秒，BC 與 MN 重合；（3）設(shè)矩形 ABCD 與 MNQ 重疊部分的面積為 S，運動時間為 t，求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出 t 的取值范

16、圍 28. 如圖1，對稱軸為直線 x=12 的拋物線經(jīng)過 B2,0 、 C0,4 兩點，拋物線與 x 軸的另一交點為 A .（1）求拋物線的解析式；（2）若點 P 為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)四邊形 COBP 的面積為 S，求 S 的最大值；（3）如圖2，若 M 是線段 BC 上一動點，在 x 軸是否存在這樣的點 Q，使 MQC 為等腰三角形且 MQB 為直角三角形?若存在，求出點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 29. 如圖，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=23，將矩形沿對角線 AC 剪開，請解決以下問題：（1）將 ACD 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 90 得到 ACD，請在備用圖中畫出旋

17、轉(zhuǎn)后的 ACD，連接 AA，并求線段 AA 的長度；（2）在（1）的情況下，將 ACD 沿 CB 向左平移的長度為 t0<t<23，設(shè)平移后的圖形與 ABC 重疊部分的面積為 S，求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出 t 的取值范圍 30. 如圖甲，在 ABC 中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm如果點 P 由點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動，同時點 Q 由點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動，它們的速度均為 1cm/s連接 PQ，設(shè)運動時間為 ts0<t<4，解答下列問題：（1）設(shè) APQ 的面積為 S，當(dāng) t 為何值時，S 取得最大值

18、?S 的最大值是多少?（2）如圖乙，連接 PC，將 PQC 沿 QC 翻折，得到四邊形 PQPC，當(dāng)四邊形 PQPC 為菱形時，求 t 的值；（3）當(dāng) t 為何值時，APQ 是等腰三角形? 31. 如圖，拋物線與 x 軸交于 Ax1,0，Bx2,0 兩點，且 x1>x2，與 y 軸交于點 C0,4，其中 x1，x2 是方程 x22x8=0 的兩個根（1）求這條拋物線的解析式；（2）點 P 是線段 AB 上的動點，過點 P 作 PEAC，交 BC 于點 E，連接 CP，當(dāng) CPE 的面積最大時，求點 P 的坐標(biāo)；（3）探究：若點 Q 是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點 Q，使 QBC

19、成為等腰三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 32. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=x2+14 與 y 軸相交于點 A，點 B 與點 O 關(guān)于點 A 對稱（1）填空：點 B 的坐標(biāo)是  ；（2）過點 B 的直線 y=kx+b（其中 k<0 與 x 軸相交于點 C，過點 C 作直線 l 平行于 y 軸，P 是直線 l 上一點，且 PB=PC，求線段 PB 的長（用含 k 的式子表示），并判斷點 P 是否在拋物線上，說明理由；（3）在（2）的條件下，若點 C 關(guān)于直線 BP 的對稱點 C 恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點

20、 P 的坐標(biāo) 33. 已知：如圖，在 RtACB 中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，點 P 由 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動，速度為 1cm/s；點 Q 由 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動，速度為 2cm/s；連接 PQ若設(shè)運動的時間為 ts（0<t<2），解答下列問題：（1）當(dāng) t 為何值時，PQBC ?（2）設(shè) AQP 的面積為 ycm2，求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使線段 PQ 恰好把 RtACB 的周長和面積同時平分?若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；（4）如圖，連接 PC，并把 PQC 沿 QC 翻折，得

21、到四邊形 PQPC，那么是否存在某一時刻，使四邊形 PQPC 為菱形?若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由 34. 如圖，四邊形 ABCD，BEFG 均為正方形，（1）如圖1，連接 AG，CE，試判斷 AG 和 CE 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；（2）將正方形 BEFG 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 角 0<<180，如圖2，連接 AG，CE 相交于點 M，連接 MB，當(dāng)角 發(fā)生變化時，EMB 的度數(shù)是否發(fā)生變化?若不變化，求出 EMB 的度數(shù)；若發(fā)生變化，請說明理由（3）在（2）的條件下，過點 A 作 ANMB 交 MB 的延長線于點 N，請直接寫出線段 CM 與 BN 的數(shù)量

22、關(guān)系：   35. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 的頂點 A，C 分別在 x 軸和 y 軸的正半軸上，頂點 B 的坐標(biāo)為 2m,m，翻折矩形 OABC，使點 A 與點 C 重合，得到折痕 DE設(shè)點 B 的對應(yīng)點為 F，折痕 DE 所在直線與 y 軸相交于點 G，經(jīng)過點 C，F(xiàn)，D 的拋物線為 y=ax2+bx+c（1）求點 D 的坐標(biāo)（用含 m 的式子表示）；（2）若點 G 的坐標(biāo)為 0,3，求該拋物線的解析式（3）在（2）的條件下，設(shè)線段 CD 的中點為 M，在線段 CD 上方的拋物線上是否存在點 P，使 PM=12EA ?若存在，直接寫出 P 的坐標(biāo)，若不存在，說明理

23、由 36. 如圖，在 ABC 中，點 D，E，F(xiàn) 分別在 AB，BC，AC 上，且 ADF+DEC=180，AFE=BDE（1）如圖 1，當(dāng) DE=DF 時，圖 1 中是否存在與 AB 相等的線段?若存在，請找出并加以證明若不存在說明理由（2）如圖 2，當(dāng) DE=kDF（其中 0<k<1）時，若 A=90，AF=m，求 BD 的長（用含 k，m 的式子表示） 37. 如圖，頂點為 C1,1 的拋物線經(jīng)過點 D5,3，且與 x 軸交于 A，B 兩點（點 B 在點 A 的右側(cè)）（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線上存在點 Q，使得 SOAQ=32，求出點 Q 的坐標(biāo)；（3）點 M 在

24、拋物線上，點 N 在 x 軸上，且 MNA=OCD，是否存在點 M，使得 AMN 與 OCD 相似?若存在，直接寫出點 M 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 38. 閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，ABC 中，AB=AC，點 D 在 BC 邊上，DAB=ABD，BEAD，垂足為 E，求證：BC=2AE小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點 A 作 AFBC，垂足為 F，得到 AFB=BEA，從而可證 ABFBAE（如圖 2），使問題得到解決（1）根據(jù)閱讀材料回答：ABF 與 BAE 全等的條件是  （填" SSS "、 " SAS " 、" AS

25、A " 、 " AAS“或”HL "中的一個）參考小明思考問題的方法，解答下列問題：（2）如圖3，ABC 中，AB=AC，BAC=90，D 為 BC 的中點，E 為 DC 的中點，點 F 在 AC 的延長線上，且 CDF=EAC，若 CF=2，求 AB 的長；（3）如圖 4，ABC 中，AB=AC，BAC=120，點 D，E 分別在 AB，AC 邊上，且 AD=kDB（其中 0<k<33），AED=BCD，求 AEEC 的值（用含 k 的式子表示） 39. 如圖，已知二次函數(shù) y=x2+bx+c（b，c 為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點 A3,1，點 C0,4，頂

26、點為點 M，過點 A 作 ABx 軸，交 y 軸于點 D，交該二次函數(shù)圖象于點 B，連接 BC（1）求該二次函數(shù)的解析式及點 M 的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移 mm>0 個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在 ABC 的內(nèi)部（不包括 ABC 的邊界），求 m 的取值范圍；（3）點 P 是直線 AC 上的動點，若點 P，點 C，點 M 所構(gòu)成的三角形與 BCD 相似，請直接寫出所有點 P 的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程） 40. 在平面直角坐標(biāo)系中，O 為原點，四邊形 OABC 是矩形，點 A，C 的坐標(biāo)分別為 3,0，0,1點 D 是邊 BC 上的動點（與端點 B

27、，C 不重合），過點 D 作直線 y=12x+b 交邊 OA 于點 E（1）如圖（1），求點 D 和點 E 的坐標(biāo)（用含 b 的式子表示）；（2）如圖（2），若矩形 OABC 關(guān)于直線 DE 的對稱圖形為矩形 O1A1B1C1，試探究矩形 O1A1B1C1 與矩形 OABC 的重疊部分的面積是否發(fā)生變化?若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請說明理由；（3）矩形 OABC 繞著它的對稱中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形，請直接寫出這個菱形的面積的最小值和最大值 41. 如圖 1，在菱形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，AB=13，BD=24，在菱形 ABCD 的外部以 AB

28、 為邊作等邊三角形 ABE點 F 是對角線 BD 上一動點（點 F 不與點 B 重合），將線段 AF 繞點 A 順時針方向旋轉(zhuǎn) 60 得到線段 AM，連接 FM（1）求 AO 的長；（2）如圖2，當(dāng)點 F 在線段 BO 上，且點 M，F(xiàn)，C 三點在同一條直線上時，求證：AC=3AM；（3）連接 EM，若 AEM 的面積為 40，請直接寫出 AFM 的周長（溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便作答） 42. 如圖，矩形紙片 ABCD 中，AB=6，BC=8折疊紙片使點 B 落在 AD 上，落點為 B點 B 從點 A 開始沿 AD 移動，折痕所在直線 l 的位置也隨之改變，當(dāng)直線

29、l 經(jīng)過點 A 時，點 B 停止移動，連接 BB設(shè)直線 l 與 AB 相交于點 E，與 CD 所在直線相交于點 F，點 B 的移動距離為 x，點 F 與點 C 的距離為 y（1）求證：BEF=ABB；（2）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出 x 的取值范圍 43. 如圖1， ABC 中，C=90，線段 DE 在射線 BC 上，且 DE=AC，線段 DE 沿射線 BC 運動，開始時，點 D 與點 B 重合，點 D 到達點 C 時運動停止，過點 D 作 DF=DB，與射線 BA 相交于點 F，過點 E 作 BC 的垂線，與射線 BA 相交于點 G設(shè) BD=x，四邊形 DEGF 與 ABC 重

30、疊部分的面積為 S，S 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象如圖 2 所示（其中 0<xm，1<xm，m<x3 時，函數(shù)的解析式不同）（1）填空：BC 的長是  ；（2）求 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍 44. 如圖，拋物線 y=12x2+bx2 與 x 軸交于 A，B 兩點，與 y 軸交于 C 點，且 A1,0（1）求拋物線的解析式及頂點 D 的坐標(biāo)；（2）判斷 ABC 的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點 Mm,0 是 x 軸上的一個動點，當(dāng) MC+MD 的值最小時，求 m 的值 45. 定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做"友好三角形&q

31、uot;性質(zhì)：如果兩個三角形是"友好三角形"，那么這兩個三角形的面積相等理解：如圖 1，在 ABC 中，CD 是 AB 邊上的中線，那么 ACD 和 BCD 是“友好三角形”，并且 SACD=SBCD（1）應(yīng)用：如圖2，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，點 E 在 AD 上，點 F 在 BC 上，AE=BF，AF 與 BE 交于點 O（i）求證：AOB 和 AOE 是“友好三角形”；（ii）連接 OD，若 AOE 和 DOE 是“友好三角形”，求四邊形 CDOF 的面積（2）探究：在 ABC 中，A=30，AB=4，點 D 在線段 AB 上，連接 CD，ACD 和

32、BCD 是“友好三角形”，將 ACD 沿 CD 所在直線翻折，得到 ACD，若 ACD 與 ABC 重合部分的面積等于 ABC 面積的 14，請直接寫出 ABC 的面積 46. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 OABC 的頂點 O 是坐標(biāo)原點，點 A 在第一象限，點 C 在第四象限，點 B 的坐標(biāo)為 60,0，OA=AB，OAB=90，OC=50點 P 是線段 OB 上的一個動點（點 P 不與點 O 、 B 重合），過點 P 與 y 軸平行的直線 l 交邊 OA 或邊 AB 于點 Q，交邊 OC 或邊 BC 于點 R，設(shè)點 P 橫坐標(biāo)為 t，線段 QR 的長度為 m已知 t=40 時，直線

33、l 恰好經(jīng)過點 C（1）求點 A 和點 C 的坐標(biāo)；（2）當(dāng) 0<t<30 時，求 m 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng) m=35 時，請直接寫出 t 的值；（4）直線 l 上有一點 M，當(dāng) PMB+POC=90，且 PMB 的周長為 60 時，請直接寫出滿足條件的點 M 的坐標(biāo) 47. 如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸的一個交點為 A3,0，與 y 軸的交點為 B0,3，其頂點為 C，對稱軸為 x=1（1）求拋物線的解析式；（2）已知點 M 為 y 軸上的一個動點，當(dāng) ABM 為等腰三角形時，求點 M 的坐標(biāo)；（3）將 AOB 沿 x 軸向右平移 m 個單位長度

34、 0<m<3 得到另一個三角形，將所得的三角形與 ABC 重疊部分的面積記為 S，用 m 的代數(shù)式表示 S 48. 在四邊形 ABCD 中，對角線 AC，BD 相交于點 O，將 COD 繞點 O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到 C1OD1，旋轉(zhuǎn)角為 0<<90，連接 AC1，BD1，AC1 與 BD1 交于點 P（1）如圖1，若四邊形 ABCD 是正方形 求證：AOC1BOD1 請直接寫出 AC1 與 BD1 的位置關(guān)系（2）如圖 2，若四邊形 ABCD 是菱形，AC=5，BD=7，設(shè) AC1=kBD1判斷 AC1 與 BD1 的位置關(guān)系，說明理由，并求出 k 的值（3）如圖 3

35、，若四邊形 ABCD 是平行四邊形，AC=5，BD=10，連接 DD1，設(shè) AC1=kBD1請直接寫出 k 的值和 AC12+kDD12 的值 49. 如圖，四邊形 ABCD 為一個矩形紙片AB=3，BC=2，動點 P 自 D 點出發(fā)沿 DC 方向運動至 C 點后停止ADP 以直線 AP 為軸翻折，點 D 落到點 D1 的位置設(shè) DP=x，AD1P 與原紙片重疊部分的面積為 y（1）當(dāng) x 為何值時，直線 AD1 過點 C?（2）當(dāng) x 為何值時，直線 AD1 過 BC 的中點 E?（3）求出 y 與 x 的函數(shù)表達式 50. 如圖，以點 P1,0 為圓心的圓，交 x 軸于 B，C 兩點（B

36、在 C 的左側(cè)），交 y 軸于 A，D 兩點（A 在 D 的下方），AD=23，將 ABC 繞點 P 旋轉(zhuǎn) 180，得到 MCB（1）求 B，C 兩點的坐標(biāo)；（2）請在圖中畫出線段 MB，MC，并判斷四邊形 ACMB 的形狀（不必證明），求出點 M 的坐標(biāo)；（3）動直線 l 從與 BM 重合的位置開始繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)，到與 BC 重合時停止，設(shè)直線 l 與 CM 交點為 E，點 Q 為 BE 的中點，過點 E 作 EGBC 于 G，連接 MQ，QG請問在旋轉(zhuǎn)過程中 MQG 的大小是否變化?若不變，求出 MQG 的度數(shù)；若變化，請說明理由 51. 定義：當(dāng)點 P 在射線 OA 上時，把 OP

37、OA 的值叫做點 P 在射線 OA 上的射影值；當(dāng)點 P 不在射線 OA 上時，把射線 OA 上與點 P 最近點的射影值，叫做點 P 在射線 OA 上的射影值例如：如圖 1，OAB 三個頂點均在格點上，BP 是 OA 邊上的高，則點 P 和點 B 在射線 OA 上的射影值均為 OPOA=13（1）在 OAB 中，點 B 在射線 OA 上的射影值小于 1 時，則 OAB 是銳角三角形；點 B 在射線 OA 上的射影值等于 1 時，則 OAB 是直角三角形；點 B 在射線 OA 上的射影值大于 1 時，則 OAB 是鈍角三角形；其中真命題有   A B C D（2）已知：點 C 是射線

38、OA 上一點，CA=OA=1，以 O 為圓心，OA 長為半徑畫圓，點 B 是 O 上任意一點如圖 2，若點 B 在射線 OA 上的射影值為 12，求證：直線 BC 是 O 的切線如圖 3，已知 D 為線段 BC 的中點，設(shè)點 D 在射線 OA 上的射影值為 x，點 D 在射線 OB 上的射影值為 y，直接寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 52. 如圖，已知一條直線過點 0,4，且與拋物線 y=14x2 交于 A，B 兩點，其中點 A 的橫坐標(biāo)是 2（1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點 B 的坐標(biāo)；（2）在 x 軸上是否存在點 C，使得 ABC 是直角三角形?若存在，求出點 C 的坐標(biāo)；若不存在，

39、請說明理由；（3）過線段 AB 上一點 P，作 PMx 軸，交拋物線于點 M，點 M 在第一象限，點 N0,1，當(dāng)點 M 的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3MP 的長度最大?最大值是多少? 53. 已知：如圖，AB 是半圓 O 的直徑，弦 CDAB，動點 P，Q 分別在線段 OC，CD 上，且 DQ=OP，AP 的延長線與射線 OQ 相交于點 E 、與弦 CD 相交于點 F（點 F 與點 C，D 不重合），AB=20，cosAOC=45設(shè) OP=x，CPF 的面積為 y（1）求證：AP=OQ；（2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的自變量 x 的取值范圍；（3）當(dāng) OPE 是直角三角形時，求線

40、段 OP 的長 54. 如圖，拋物線 y=12x2+bx+c 與 x 軸分別相交于點 A2,0，B4,0，與 y 軸交于點 C，頂點為點 P（1）求拋物線的解析式；（2）動點 M，N 從點 O 同時出發(fā)，都以每秒 1 個單位長度的速度分別在線段 OB，OC 上向點 B，C 方向運動，過點 M 作 x 軸的垂線交 BC 于點 F，交拋物線于點 H（i）當(dāng)四邊形 OMHN 為矩形時，求點 H 的坐標(biāo)；（ii）是否存在這樣的點 F，使 PFB 為直角三角形?若存在，求出點 F 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 55. 如圖，在 RtABC 中，ACB=90，AC=5cm，BAC=60，動點 M 從點 B

41、 出發(fā)，在 BA 邊上以每秒 2cm 的速度向點 A 勻速運動，同時動點 N 從點 C 出發(fā)，在 CB 邊上以每秒 3cm 的速度向點 B 勻速運動，設(shè)運動時間為 t 秒（0t5），連接 MN（1）若 BM=BN，求 t 的值；（2）若 MBN 與 ABC 相似，求 t 的值；（3）當(dāng) t 為何值時，四邊形 ACNM 的面積最小?并求出最小值 56. 愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖1，圖2，圖3中，AM，BN 是 ABC 的中線，ANBN 于點 P，像 ABC 這樣的三角形均為“中垂三角形”設(shè) BC=a，

42、AC=b，AB=c（1）【特例探究】如圖 1，當(dāng) tanPAB=1，c=42 時，a=  ，b=  ；如圖 2，當(dāng) PAB=30，c=2 時，a=  ，b=  ；（2）【歸納證明】請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想 a2 、 b2 、 c2 三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖 3 證明你的結(jié)論（3）【拓展證明】如圖 4， 平行四邊形 ABCD 中，E 、 F 分別是 AD 、 BC 的三等分點，且 AD=3AE，BC=3BF，連接 AF 、 BE 、 CE，且 BECE 于 E，AF 與 BE 相交點 G，AD=35，AB=3，求 AF 的長 57.

43、 在某次海上軍事學(xué)習(xí)期間，我軍為確保 OBC 海域內(nèi)的安全，特派遣三艘軍艦分別在 O，B，C 處監(jiān)控 OBC 海域，在雷達顯示圖上，軍艦 B 在軍艦 O 的正東方向 80 海里處，軍艦 C 在軍艦 B 的正北方向 60 海里處，三艘軍艦上裝載有相同的探測雷達，雷達的有效探測范圍是半徑為 r 的圓形區(qū)域（只考慮在海平面上的探測）（1）若三艘軍艦要對 OBC 海域進行無盲點監(jiān)控，則雷達的有效探測半徑 r 至少為多少海里?（2）現(xiàn)有一艘敵艦 A 從東部接近 OBC 海域，在某一時刻軍艦 B 測得 A 位于北偏東 60 方向上，同時軍艦 C 測得 A 位于南偏東 30 方向上，求此時敵艦 A 離 OB

44、C 海域的最短距離為多少海里?（3）若敵艦 A 沿最短距離的路線以 202 海里 / 小時的速度靠近 OBC 海域，我軍軍艦 B 沿北偏東 15 的方向行進攔截，問 B 軍艦速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦 A? 58. 如圖，在坐標(biāo)系 xOy 中，已知 D5,4，B3,0，過 D 點分別作 DA，DC 垂直于 x 軸、 y 軸，垂足分別為 A，C 兩點動點 P 從 O 點出發(fā)，沿 x 軸以每秒 1 個單位長度的速度向右運動，運動時間為 t 秒（1）當(dāng) t 為何值時，PCDB；（2）當(dāng) t 為何值時，PCBC；（3）以點 P 為圓心，PO 的長為半徑的 P 隨點 P 的運動而變化，當(dāng) P

45、 與 BCD 的邊（或邊所在的直線）相切時，求 t 的值 59. 如圖，拋物線 y=12x2+mx+n 與 x 軸交于 A 、 B 兩點，與 y 軸交于點 C，拋物線的對稱軸交 x 軸于點 D，已知 A1,0，C0,2（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點 P，使 PCD 是以 CD 為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫出 P 點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點 E 是線段 BC 上的一個動點，過點 E 作 x 軸的垂線與拋物線相交于點 F，當(dāng)點 E 運動到什么位置時，四邊形 CDBF 的面積最大?求出四邊形 CDBF 的最大面積及此時 E 點的坐標(biāo) 60. 如圖1，

46、在 RtABC 中，ACB=90，AB=10，BC=6，扇形紙片 DOE 的頂點 O 與邊 AB 的中點重合，OD 交 BC 于點 F，OE 經(jīng)過點 C，且 DOE=B（1）證明 COF 是等腰三角形，并求出 CF 的長；（2）將扇形紙片 DOE 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)，OD，OE 與邊 AC 分別交于點 M，N（如圖2），當(dāng) CM 的長是多少時，OMN 與 BCO 相似? 61. 如圖，在每個小正方形的邊長為 1 的網(wǎng)格中，A，B 為小正方形邊的中點，C，D 為格點，E 為 BA，CD 的延長線的交點（1）CD 的長等于  ；（2）若點 N 在線段 BE 上，點 M 在線段 CE 上

47、，且滿足 AN=NM=MC，請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段 MN，并簡要說明點 M，N 的位置是如何找到的（不要求證明） 62. 如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+2 的圖象與 x 軸相交于點 A1,0，B4,0，與 y 軸相交于點 C（1）求該函數(shù)的表達式；（2）點 P 為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點，過點 P 作 PQBC，垂足為點 Q，連接 PC求線段 PQ 的最大值；若以點 P，C，Q 為頂點的三角形與 ABC 相似，求點 P 的坐標(biāo) 63. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=2x+10 與 x 軸，y 軸相交于 A，B 兩點點 C 的坐標(biāo)是 8,4，連接 AC，B

48、C（1）求過 O，A，C 三點的拋物線的解析式，并判斷 ABC 的形狀；（2）動點 P 從點 O 出發(fā)，沿 OB 以每秒 2 個單位長度的速度向點 B 運動；同時，動點 Q 從點 B 出發(fā)，沿 BC 以每秒 1 個單位長度的速度向點 C 運動規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動設(shè)運動時間為 t 秒，當(dāng) t 為何值時，PA=QA?（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點 M，使以 A，B，M 為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，求出點 M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 64. 將矩形紙片 OABC 放在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點，點 A 在 y 軸上，點 C 在 x 軸上，點

49、B 的坐標(biāo)是 8,6，點 P 是邊 AB 上的一個動點，將 OAP 沿 OP 折疊，使點 A 落在點 Q 處（1）如圖 ，當(dāng)點 Q 恰好落在 OB 上時，求點 P 的坐標(biāo)（2）如圖 ，當(dāng)點 P 是 AB 中點時，直線 OQ 交 BC 于 M 點（a）求證：MB=MQ；（b）求點 Q 的坐標(biāo) 65. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，給出如下定義：對于 C 及 C 外一點 P，M，N 是 C 上兩點，當(dāng) MPN 最大時，稱 MPN 為點 P 關(guān)于 C 的“視角”（1）如圖，O 的半徑為 1，已知點 A0,2，畫出點 A 關(guān)于 O 的“視角”；若點 P 在直線 x=2 上，求點 P 關(guān)于 O 的最大“

50、視角”的度數(shù)；在第一象限內(nèi)有一點 Bm,m，點 B 關(guān)于 O 的“視角”為 60，求點 B 的坐標(biāo)；若點 P 在直線 y=33x+2 上，且點 P 關(guān)于 O 的“視角”大于 60，求點 P 的橫坐標(biāo) xP 的取值范圍（2）C 的圓心在 x 軸上，半徑為 1，點 E 的坐標(biāo)為 0,1，點 F 的坐標(biāo)為 0,1，若線段 EF 上所有的點關(guān)于 C 的“視角”都小于 120，直接寫出點 C 的橫坐標(biāo) xC 的取值范圍 66. 已知拋物線的解析式為 y=14x212x+14，P 是拋物線上的一個動點，R1,1 是拋物線對稱軸上的一點（1）求拋物線的頂點及與 y 軸交點的坐標(biāo)；（2）l 是過點 0,1 且

51、平行于 x 軸的直線，l 與拋物線的對稱軸的交點為 N，PMl，垂足為點 M，連接 PR，RM當(dāng) RPM 是等邊三角形時，求 P 點的坐標(biāo)；求證：PR=PM 67. 如圖（1），在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，點 E 是射線 CD 上的一個動點，把 BCE 沿 BE 折疊，點 C 的對應(yīng)點為 F（1）若點 F 剛好落在線段 AD 的垂直平分線上時，求線段 CE 的長；（2）若點 F 剛好落在線段 AB 的垂直平分線上時，求線段 CE 的長；（3）當(dāng)射線 AF 交線段 CD 于點 G 時，請直接寫出 CG 的最大值   68. （背景）某班在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，對矩形紙片進行

52、折疊實踐操作，并將其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題進行相關(guān)探究（操作）如圖，在矩形 ABCD 中，AD=6，AB=4，點 P 是 BC 邊上一點，現(xiàn)將 APB 沿 AP 對折，得 APM，顯然點 M 位置隨 P 點位置變化而發(fā)生改變（問題）試求下列幾種情況下：點 M 到直線 CD 的距離（1）APB=75；（2）P 與 C 重合；（3）P 是 BC 的中點 69. 如圖，已知拋物線 y=x2+2x 經(jīng)過原點 O，且與直線 y=x2 交于 B，C 兩點（1）求拋物線的頂點 A 的坐標(biāo)及點 B，C 的坐標(biāo)；（2）求證：ABC=90；（3）在直線 BC 上方的拋物線上是否存在點 P，使 PBC 的面積最大?若存在，

53、請求出點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）若點 N 為 x 軸上的一個動點，過點 N 作 MNx 軸與拋物線交于點 M，則是否存在以 O，M，N 為頂點的三角形與 ABC 相似?若存在，請求出點 N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 70. 如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+ca0 經(jīng)過一點 A3,2，B0,2，其對稱軸為直線 x=52，C0,12 為 y 軸上一點，直線 AC 與拋物線交于另一點 D（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）試在線段 AD 下方的拋物線上求一點 E，使得 ADE 的面積最大，并求出最大面積；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點 F，使得 ADF 是直角三角形?如果存在，求出點 F 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由 71. 如圖，在正方形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，點 E 是 BC 上的一個動點，連接 DE，交 AC 于點 F（1）如圖，當(dāng) CEEB=13 時，求 SCEFSCDF 的值；（2）如圖當(dāng) DE 平分 CDB 時，求證：AF=2OA；（3）如圖，當(dāng)點 E 是 BC 的中點時，過點 F 作 FGBC 于點 G，求證：CG=12BG 72. 如圖，拋物線 y=x2+bx+c 與 x 軸交于 A1,0 和 B3,0 兩點，與 y 軸交于點 C，對稱軸與 x 軸交于點 E，點 D 為頂點，連接 BD，CD，BC（1）