極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型及解題方法

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型及解題方法高考題中極坐標(biāo)與參數(shù)方程主要考查簡單圖形的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程等。其中以考查基本概念，基 本知識，基本運算為主，一般屬于 中檔難度題。常以選考題的形式出現(xiàn)，此外在高考數(shù)學(xué)的 選擇題和填空題中。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1. 曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程：對于簡單的我們可以直接代入公式 Tcosr二X，Tsin - = y，= x2 y2，但有時需要作 適當(dāng)?shù)淖兓?，如將式子的兩邊同時平方，兩邊同時乘以等。2. 直角坐標(biāo)x,y化為極坐標(biāo)小的步驟：運用：:=x2 y2， tan - - x0 ；x 在

2、0,2二內(nèi)，由tan“.X = 0求二時，由直角坐標(biāo)的符號特征判斷點所在的象限(即x 的終邊位置)。解題時必須注意： 確定極坐標(biāo)方程，極點、極軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可。 平面上點的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點的極坐標(biāo)的表示形式不唯一。當(dāng)規(guī)定；?_0，0_2二，使得平面上的點與它的極坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)的，但仍然不包括極點。 進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時，應(yīng)注意兩點：i注意：、，二的取值范圍及其影響。n 重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用。例I在直角坐標(biāo)系xOy中，直線G：x = -2，圓C2 : (x-12+(y-2=1，以坐標(biāo)原點為極點， x軸的正半軸為

3、極軸建立極坐標(biāo)系。(I)求G，C2的極坐標(biāo)方程；(n )若直線C3的極坐標(biāo)方程為，設(shè)C2與C3的交點為M和N，求C2MN的面積。4解：(I )因為X =卜cosh，y = 9 nr，所以G的極坐標(biāo)方程為:?co - -2，C2的極坐標(biāo)方程 為?2 -2 ：、cos j -4飛inr 4=0。(n )將 代入，2-2'cosv-4s in ” 4 =0 ,得2-3、24=0，解得 g=2、2j2=2， 41故MN | =| R - P2 =邁。由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為？。曲線的參數(shù)方程在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo) x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即!x fxtl

4、y=fy(t)并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點 M x,y都在這條曲線上，那么方程組就 叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系 x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。1. 將參數(shù)方程化為普通方程的基本途徑就是消參 ，消參過程注意兩點： 準(zhǔn)確把握參數(shù)形式 之間的關(guān)系； 注意參數(shù)取值范圍對曲線形狀的影響。2. 已知曲線的普通方程求參數(shù)方程時，選取不同含義的參數(shù)時可能得到不同的參數(shù)方程。3. 一般地，如果題目中涉及圓、橢圓上的動點或求最值范圍問題時可考慮用參數(shù)方程，設(shè)曲線上點的坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問題解決，使解題過程簡單明了 X2 y2"x = 2 +1例II已知曲線c： Z

5、+£=1，直線I:x2 1(t為參數(shù))。4 9y = 2 - 2t(I)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線I的普通方程；(n )過曲線C上任一點P作與I夾角為30的直線，交I于點A，求PA的最大值與最小值?！癤 = 2 cosfi解：(I )曲線C的參數(shù)方程為丿(日為參數(shù))；y =3si n 日直線I的普通方程為2x y 6 = 0。(n)曲線C上任意一點P 2cos,3sin=到直線I的距離為|4cos日 +3sin日-6則 pa = d=B!|5sin但+g)-6，其中 tanasi n30°5當(dāng) sin : - -1 時,當(dāng) sin - :- -1 時，PA取得最大值，最大值

6、為年P(guān)A取得最小值，最小值為2,55參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用x = 2 + t例川在直角坐標(biāo)系xOy中，直線h的參數(shù)方程為丿(t為參數(shù))，直線I2的參數(shù)方程為畀=ktx _ -2 my m(m為參數(shù))。設(shè)h與I2的交點為P,當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線Cor(1) 寫出C的普通方程； 以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)I3 :匸cos，si nr -、2=0, M 為I3與C的交點，求M的極徑。解：(1)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程：l1: y = k x-21 I2: yx 2k聯(lián)合l1和12，消k可得：x2-y2=4，即P的軌跡方程為x2-y2=4。I3: x y - 2

7、= 0'3恵x =2_<2。y牙(2) 將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程：解得聯(lián)立曲線c和I3， x/y70& - y =4由i':>x2y2解得 亠5，即M的極半徑是'- 52 2例W中心在原點O的橢圓X + y =1，點F是其左焦點，在橢圓上任取三個不同點 P，P2，3627P，使 NRFP2 =NF2FP3 =NRFR =120®。FR FP2 FP3證明： 丄丄 為定值，并求此定值。證明：以點F為極點建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：92 cos 日推導(dǎo)：設(shè)橢圓上一點P坐標(biāo)為P x,y，以點F為原點建立坐標(biāo)系xFy，則點P在坐標(biāo)系x Fy

8、沖的坐 'x= x+3。y=y Xie。曲，則 y" = PsinG標(biāo)為P x,y，其中直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，令22x二九如-3，代入橢圓方程X . y =1得:ysi36272-cos v -120.2 -cos 1202-cos -12099+FP1 FP2 FP33P，與P3的極=為定值。(PcosT 3'日'=1 4P2 P2cos20 18PCOS日81 =0 4P2 (PcosT +9$ = 036276< - co 一3 乞6 3 乞 Tcosv <9 ：co 9 _6 cos 9 = 2 ；92 - cos0設(shè)點R對應(yīng)的極角為，則點P2與P3對應(yīng)的