佩爾方程與群牛問題

1、佩爾方程與群牛問題王元1、佩爾方程所謂佩爾方程即方程2 . 2x dy = 1,其中d為非零整數(shù)，試求正整數(shù)解x, y.例如d=5,我們有解x=9, y=4我們總可以假定d>0,而且不是一個平方，否那么，無解這是一個不定方程，或丟番圖方程。2、簡史這個方程跟英國數(shù)學(xué)家佩爾(J. Pell, 1610-1685)無關(guān)。 歐拉(L. Euler)錯誤地將這個方程的一個解法歸于佩爾。 這個解法是另一個英國數(shù)學(xué)家布龍克爾(W. Brouncker )為響應(yīng)費(fèi)馬(Fermat 1601-1665 )的挑戰(zhàn)而創(chuàng)造的，但欲改變 歐拉的提法總是無效的。布龍克爾的方法本質(zhì)上等同于至少早六個世紀(jì)的印度 數(shù)學(xué)

2、家就知道的一個方法。我們也看到，這個方程曾出現(xiàn)在 希臘數(shù)學(xué)中，但并無證據(jù)證明希臘人能解出這個方程。一個非常清楚的“印度人的或“英國人的解佩爾方程的方法包含在歐拉的書“代數(shù)學(xué)(仃70)中。現(xiàn)代教科書利用連分?jǐn)?shù)來表述這個方法，例如華羅庚“數(shù)論 導(dǎo)引。這也是歐拉提供的。這個方法證明了，假設(shè)存在一個解，那么這個方法就能夠找 出一個解。拉格朗日Lagrange仃36-1813于1773年第一個發(fā)表 了這樣一個證明，即佩爾方程總有一個解。3、最小解我們將佩爾方程改寫為x y. d x - y、d =1假設(shè)按x y、d的大小排序，其中最小者記為這稱為最小解，其他解都是 右 y八d的方幕，即xn yn d =

3、 x y八 d ,n _ 1否那么通過除法即可知 xyd不是最小解了。4、解法考慮d=14將 14展成連分?jǐn)?shù)門4 二 31216截取一段15"I所以得最小解15 4J14 .152 - 14 42 - 1，其次小的解由 2 15 4 14 1 = 449120、14 = x2 y 14得出，我們有下面的表nXnyn115424491203134553596636207404996768360由此看出隨n增長，Xn yn'd是指數(shù)增長5、群牛問題列辛 (Lessing 仃29-仃81) 在沃爾芬布臺爾(Wolffenbuttel)圖書館發(fā)現(xiàn)一份手稿，并于仃73年發(fā)表，將這個問題

4、歸于阿基米德(Archimedes)名下。問題寫成22行希臘哀歌體的對句詩。用數(shù)學(xué)語言可以表述于下：要求滿足一些算術(shù)限制的屬于太陽神的白色的，黑色的，有斑點(diǎn)的與棕色的公牛個數(shù)，設(shè)這四種公牛的個數(shù)分別為x,y,z,t那么他們滿足方程(1)1+ y+ t<23丿門 1 z + t145丿1 1、一 + 一x +1167丿x =y 二 I Iz =其次，命x',y',z',t'分別表示為同樣顏色的母牛個數(shù)，那么 滿足 真正的挑戰(zhàn)在于方程3與4,即挑選k使x y二4657 3828 k 為平方數(shù)z t二4657 2471 k 為三角數(shù)由因子分解得46573828

5、二 2 2 3 1129 4657所以x+y為一個平方，那么相當(dāng)于2k = al ， a 二 3 11 29 4657z+t為三角數(shù)的充要條件為8 z+t+1為平方數(shù)，即h2 = 8 z t 1 = 8 4657 2471 al21改寫為h2 = dl21其中 d = 2 3 7 11 29 353 2 4657 2這是一個佩爾方程。6解答解佩爾方程首先要將 展成連分?jǐn)?shù)，1867年德國數(shù)學(xué) 家梅耶C.F. Meyer將展成了 240步，未查出周期而 放棄了。1991年 Grosjean與 De Meyer發(fā)現(xiàn)周期長度為 203254。1880年愛莫紹爾A. Amthor用了一些技巧對群牛問題

6、的解決取得了突破。他沒有給出最小解，當(dāng)然沒有給出群牛 問題的對應(yīng)解答。他證明了最小解是一個206548位數(shù)，即約有 10 206545這么大的數(shù)，這個數(shù)的前四位數(shù)是 7766但第四個數(shù)錯的，應(yīng)為77602000年，倫斯查(Lenstra)完全解決了，其結(jié)果為 阿基米德群牛問題的所有解w = 300426607914281 1336 5 609 + 8412 950_(5" _85S39325S J7転匕=(w4658 j - w*658 j )7368238304( j = 1,2,3)第j個解公牛母牛白色的10366482 kj7 2 0 6 3k§ 0黑色的7 4 6 0 5k 44 8 9 3 2k